5.4.1二项式定理的推导课件(北师大版)
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2．原式＝C (x－1) ＋C (x－1) ＋C (x－1) ＋C (x－1) ＋C (x－1)＋C －1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
答案：x5－1
3.(x＋2 )
16.
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＝C4 x420＋C4 x321＋C4 x222＋C4 x123＋C4 x024＝x4＋8x3＋24x2＋32x＋
∴ 第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为4052，-61 236，295 245 −2 .
题组训练
x－ 2 n
的展开式共有 11 项，则 n 等于(
1.
x
)
D．8
C．11
x－ 2 n
【解析】选 B.
的展开式共有 n＋1 项，所以 n＋1＝11，故 n＝10.
§4 二项式定理
4.1二项式定理的推导
学习目标
1.理解二项式定理的内容及有关概念，理解二项式定理的推导过程.
2.掌握二项展开式的项数、系数、二项式系数、二项式通项的特征及运用.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
新知学习
问题导入
根据多项式的乘法法则，容易知道（ + ）2＝2 + 2 + 2，（ +
3 +
1 4
＝C40 （3
）4+C1 （3
4
1
）3·
+C42 （3
1
）2·
2
+C43 ·3
·
4
1 3
4 1
+C4 ·
12 1
＝812+108+54+ + 2 .
（方法二 先变形，再用二项式定理展开）
3 +
1 4
3+1 4
1
12 1
＝ 2 ＝ 2 （814+1083+542+12+1）＝812+108+54+ + 2 .
解 通项为 ＝C 3 −3
＝C −3 3 .
+1
（1）∵ 第6项为常数项，∴
−2
＝5时，有
＝0，即＝10.
3
10−2
1
＝2，得＝ （10-6）＝2，∴
3
2
（2）令
（3）由题意得，
2
所求的系数为C10
（-3）2＝405.
3
则10 − 2＝3，即＝5− .
2
∵ ∈ ，∴应为偶数，＝2，0，-2，即＝2，5，8，
答案：3
运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项
展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n 的展开式中
会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的
特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
n
提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b) 的形式．
二、求二项展开式中的特定项或其系数
例1
已知在
3
3
−3
的展开式中，第6项为常数项.
（1）求；（2）求含2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
−
−2
−
3
数，求解方式与求有理项一致.
求二项展开式特定项的步骤
课堂小结
1.知识清单：
(1)二项式定理.
（ + ）＝C0 +C1 −1 +…+C - +…+C .
(2)二项式通项、二项式系数.
+1＝C -
2.常见误区：
混淆二项式系数与项的系数致误.
A．－32
B．－2
C．1
)
D．32
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________．
3．写出(x＋2)
4
的展开式并化简．
5
2
5
【解析】1.选 D.x ＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2) ＋…＋a5(x－2) ，令 x－2＝0，即 x
＝2，可得 a0＝25＝32.
(4)在排列方式上,按照字母的降幂排列,从第一项起,次数由次逐项减少1次
直到0次,同时字母按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到次.
即时训练
判断正误
(1)(＋)展开式中共有的顺序对各项没有影响．
(3)C － 是(＋)展开式中的第项．
(
(
×
×
)
)
(4)(－)与(＋)的二项式展开式的二项式系数相同．
(
√
)
k
(1)二项展开式中的项 Cn an－kbk 是第几项？
k
提示：Cn an－kbk 是(a＋b)n 的第 k＋1 项．
(2)二项式中 a，b 能否交换位置，二项式(a＋b)n 与(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项是
4.设 f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x＋1，则 f(2)＝________．
0
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1
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4
1
2
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3
2
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2
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4
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4
【解析】f(x)＝C x (－1) ＋C x (－1) ＋C x (－1) ＋C x (－1) ＋C x(－1)
5
5
5
5
＋C ·(－1) ＋2＝(x－1) ＋2，
所以 f(2)＝3.
例 2．用二项式定理展开(x＋2y)4.
解
(x＋2y)4
＝C04 x4＋C14 x3(2y)＋C24 x2(2y)2＋C34 x(2y)3＋C44 (2y)4
＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
关键能力·合作学习
1．若 x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则 a0＝(
反思感悟
求二项展开式的特定项的常用方法
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）.
（2）对于有理项，一般是先写出通项，其所有的字母的指数恰好都是整
数.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于
整数，再根据数的整除性来求解.
（3）对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数应是非负整
C （＝0，1，2，…，）
x
B．10
A．9
9
6
2．二项式(1－2x) 的展开式中 x 的系数为(
6
9
A．C
6
9
6
9
B．－C
C．C 2
)
6
9
6
D．－C ·26
0
1
k
9
【解析】选 C.二项式(1－2x)9＝C 9 ＋C9 (－2x)＋…＋C9 (－2x)k＋…＋C 9 (－2x)9，
6
6
9
6
6
9
其展开式中 x 的系数为 C (－2) ＝C 26.
）3＝3 + 32 + 32 + 3，如果称等式的右边为左边的展开式，那么如
何求出（ + ）的展开式？
二项式定理情势上的特点
(1)二项展开式有 + 1项,而不是项.
(2)二项式系数都是C (=0,1,2,…,),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.
(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2,即C0 + C1 + C2 +…+C =2.
否相同？
k
提示：不能，(a＋b)n 展开式中的第 k＋1 项为 Cn an－kbk，(b＋a)n 展开式中的第 k
k
n
＋1 项为 C bn－kak，两者是有区别的，所以在应用二项式定理时，a 和 b 不能随便
交换位置．
典例剖析
一、二项式定理的应用
例1
解
（1）求 3 +
1 4
的展开式.
（1）（方法一 直接利用二项式定理展开并化简）
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2．原式＝C (x－1) ＋C (x－1) ＋C (x－1) ＋C (x－1) ＋C (x－1)＋C －1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
答案：x5－1
3.(x＋2 )
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＝C4 x420＋C4 x321＋C4 x222＋C4 x123＋C4 x024＝x4＋8x3＋24x2＋32x＋
∴ 第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为4052，-61 236，295 245 −2 .
题组训练
x－ 2 n
的展开式共有 11 项，则 n 等于(
1.
x
)
D．8
C．11
x－ 2 n
【解析】选 B.
的展开式共有 n＋1 项，所以 n＋1＝11，故 n＝10.
§4 二项式定理
4.1二项式定理的推导
学习目标
1.理解二项式定理的内容及有关概念，理解二项式定理的推导过程.
2.掌握二项展开式的项数、系数、二项式系数、二项式通项的特征及运用.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
新知学习
问题导入
根据多项式的乘法法则，容易知道（ + ）2＝2 + 2 + 2，（ +
3 +
1 4
＝C40 （3
）4+C1 （3
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）3·
+C42 （3
1
）2·
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+C43 ·3
·
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1 3
4 1
+C4 ·
12 1
＝812+108+54+ + 2 .
（方法二 先变形，再用二项式定理展开）
3 +
1 4
3+1 4
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12 1
＝ 2 ＝ 2 （814+1083+542+12+1）＝812+108+54+ + 2 .
解 通项为 ＝C 3 −3
＝C −3 3 .
+1
（1）∵ 第6项为常数项，∴
−2
＝5时，有
＝0，即＝10.
3
10−2
1
＝2，得＝ （10-6）＝2，∴
3
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（2）令
（3）由题意得，
2
所求的系数为C10
（-3）2＝405.
3
则10 − 2＝3，即＝5− .
2
∵ ∈ ，∴应为偶数，＝2，0，-2，即＝2，5，8，
答案：3
运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项
展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n 的展开式中
会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的
特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
n
提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b) 的形式．
二、求二项展开式中的特定项或其系数
例1
已知在
3
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−3
的展开式中，第6项为常数项.
（1）求；（2）求含2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
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−2
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3
数，求解方式与求有理项一致.
求二项展开式特定项的步骤
课堂小结
1.知识清单：
(1)二项式定理.
（ + ）＝C0 +C1 −1 +…+C - +…+C .
(2)二项式通项、二项式系数.
+1＝C -
2.常见误区：
混淆二项式系数与项的系数致误.
A．－32
B．－2
C．1
)
D．32
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________．
3．写出(x＋2)
4
的展开式并化简．
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【解析】1.选 D.x ＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2) ＋…＋a5(x－2) ，令 x－2＝0，即 x
＝2，可得 a0＝25＝32.
(4)在排列方式上,按照字母的降幂排列,从第一项起,次数由次逐项减少1次
直到0次,同时字母按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到次.
即时训练
判断正误
(1)(＋)展开式中共有的顺序对各项没有影响．
(3)C － 是(＋)展开式中的第项．
(
(
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)
)
(4)(－)与(＋)的二项式展开式的二项式系数相同．
(
√
)
k
(1)二项展开式中的项 Cn an－kbk 是第几项？
k
提示：Cn an－kbk 是(a＋b)n 的第 k＋1 项．
(2)二项式中 a，b 能否交换位置，二项式(a＋b)n 与(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项是
4.设 f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x＋1，则 f(2)＝________．
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【解析】f(x)＝C x (－1) ＋C x (－1) ＋C x (－1) ＋C x (－1) ＋C x(－1)
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＋C ·(－1) ＋2＝(x－1) ＋2，
所以 f(2)＝3.
例 2．用二项式定理展开(x＋2y)4.
解
(x＋2y)4
＝C04 x4＋C14 x3(2y)＋C24 x2(2y)2＋C34 x(2y)3＋C44 (2y)4
＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
关键能力·合作学习
1．若 x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则 a0＝(
反思感悟
求二项展开式的特定项的常用方法
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）.
（2）对于有理项，一般是先写出通项，其所有的字母的指数恰好都是整
数.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于
整数，再根据数的整除性来求解.
（3）对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数应是非负整
C （＝0，1，2，…，）
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2．二项式(1－2x) 的展开式中 x 的系数为(
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C．C 2
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【解析】选 C.二项式(1－2x)9＝C 9 ＋C9 (－2x)＋…＋C9 (－2x)k＋…＋C 9 (－2x)9，
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其展开式中 x 的系数为 C (－2) ＝C 26.
）3＝3 + 32 + 32 + 3，如果称等式的右边为左边的展开式，那么如
何求出（ + ）的展开式？
二项式定理情势上的特点
(1)二项展开式有 + 1项,而不是项.
(2)二项式系数都是C (=0,1,2,…,),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.
(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2,即C0 + C1 + C2 +…+C =2.
否相同？
k
提示：不能，(a＋b)n 展开式中的第 k＋1 项为 Cn an－kbk，(b＋a)n 展开式中的第 k
k
n
＋1 项为 C bn－kak，两者是有区别的，所以在应用二项式定理时，a 和 b 不能随便
交换位置．
典例剖析
一、二项式定理的应用
例1
解
（1）求 3 +
1 4
的展开式.
（1）（方法一 直接利用二项式定理展开并化简）