湖南省永州市李达中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

湖南省永州市李达中学2024-2025学年九年级上学期第一次月
考数学试题
一、单选题
1．下列函数中，是反比例函数的为（ ） A ．21y x =+
B ．3y x
=
C ．56
x y =-
D ．2y x =
2．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）
A ．()2
30x x x -+=
B ．20ax bx c ++=
C ．2230x y -+=
D ．2230x x -+=
3．若a ，b ，c ，d 是比例线段，则下列结论正确的是（ ） A ．
a d
b c
= B ．
a c d b
= C ．2b ad = D ．ad bc =
4．关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+5x +m 2﹣4＝0的常数项是0，则（ ） A ．m ＝4
B ．m ＝2
C ．m ＝2或m ＝﹣2
D ．m ＝﹣2
5．如图是三个反比例函数11k y x
=，22k
y x =，33k y x =在x 轴上方的图象，则1k ，2k ，3k 的大
小关系为（ ）
A ．123k k k >>
B ．231k k k >>
C ．132k k k >>
D ．312k k k >>
6．已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP PB >，1AB =，那么AP
AB 为（ ）
A B C D
7．如图，△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，则下列条件中，不一定能使△AED ∽△ABC 的是（ ）
A ．∠2=∠
B B ．∠1=∠
C C ．
AE AD
AB AC
= D ．
AD DE
AB BC
= 8．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >-且0k ≠ B ．1k ≥-且0k ≠
C ．1k >
D ．1k <且0k ≠
9．已知反比例函数k
y x
=-图像经过点 −2,3 ，下列说法中不正确的是（ ）
A ．该函数图像在第二、四象限
B ．点()1,6-在该函数图像上
C ．当1x >时，60y -<<
D ．y 随x 的增大而增大
10．如图，正方形ABCD 中，AE 平分CAB ∠，交BC 于点E ，将ABE V 绕点B 顺时针旋转90︒得到CBF V ，延长AE 交CF 于点G ，连BG 、DG ，DG 交AC 于点H ．下列结论①BE BF =；
②ACF F ∠=∠；③BG DG ⊥；④AE 正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．②③
C ．①③
D ．①②
二、填空题
11．若点()12,A y -和点()21,B y -都在反比例函数2
y x
=的图象上，则1y 2y ．（用“<”“>”或“=”填空）
12．若一元二次方程2230x x --=的两根分别为m ，n ，则m n mn +-=．
13．给出一种运算：对于函数n y x =，规定1n y nx -'=．例如：若函数4y x =，则有34y x '=．已
知函数3y x =对应的36y '=，则x 的值是．
14．如图，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则:ADE BCED S S =△四边形．
15．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A 处立一根垂直于井口的木杆AB ，从木杆的顶端B 观察井水水岸D ．视线BD 与井口的直径AC 交于点E ，如果测得2AB =米， 3.2AC =米，0.8AE =米，那么CD 为米．
16．双曲线1y ，2y 在第二象限的图象如图所示，16
y x =-，过1y 上一点A 作x 轴的垂线交2
y 于点B ，交x 轴于点C ，若1AOB S =V ，则2y 的解析式为．
17．已知一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）．下列说法： ①若0a c +=，则方程一定有两个不相等的实数根； ②若0a b c ++=，则1一定是这个方程的实数根； ③若260b ac ->，则方程一定有两个不相等的实数根；
③若200ax bx c a ++=≠（）的两个根为2和3，则1211,23
x x ==是方200cx bx a a ++=≠（）
的根，
其中正确的是（填序号）
18．如图，在矩形ABCD 中，2,4AB CB ==，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向
作矩形11ACC B ，使矩形11ACC B 相似于矩形；再连接1AC ，以对角线1AC 为边，按逆时针方向作矩形122AC C B ，使矩形122AC C B 相似于矩形11ACC B ；……按照此规律作下去．若矩形ABCD 的面积记作1S ，矩形11ACC B 的面积记2S ，矩形122AC C B 的面积记作3S ，……，则2024S 的值为．
三、解答题 19．解方程： (1)22210x x --=； (2)()2
2324x x +=-．
20．已知O 是坐标原点，A 、B 的坐标分别为()3,1，()2,1-．
(1)以原点O 为位似中心，位似比为2:1，在y 轴的左侧，画出OAB △放大后的图形11OA B V
； (2)直接写出1A 点的坐标；若点(),D a b 在线段OA 上，点D 对应点1D 的坐标为． 21．如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，∠ABC ＝∠ACD ．
(1)求证：△ABC ∽△ACD ；
(2)当AD ＝2，AB ＝3时，求AC 的长．
22．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r 等于入射角i ．这就是光的反射定律．
【同题解决】如图2，小亮在湖对面P 处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在C 处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A ，此时测得小亮到平面镜的距离CP 为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离PB 为247.5米，小亮眼睛到地面的距离DC 为1.6米，C ，P ，B 在同一水平直线上，且DC ，AB 均垂直于CB ．请你帮小亮计算出长安塔的高度AB ． 23．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个. (1)求八，九两月销量的月平均增长率；
(2)十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利1800元？
24．如图，一次函数13y k x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数2
k y x
=的图象分别交于C ，D 两点，若点C 坐标是()3,6．
(1)求一次函数13y k x =+与反比例函数2
k y x
=
的解析式；
(2)求COD △的面积；
(3)直接写出当x 取何值时，2
13k k x x
+<
． 25．阅读下列材料：我们发现，关于x 的一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠，如果24b ac
∆=-的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，∆的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠称为“全整根方程”，代数式
244ac b a
-的值为该“全整根方程”的“最值码”，用(),,Q a b c 表示，即()2
4,,4ac b
Q a b c a -=；若
另一关于x 的一元二次方程()2
00px qx r p ++=≠也为“全整根方程”，其“最值码”记为
(),,Q p q r ，当满足()(),,,,Q a b c Q p q r c -=时，则称一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠是一
元二次方程()2
00px qx r p ++=≠的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”2320x x -+=的“最值码”是______；
(2)关于x 的一元二次方程()2221230x m x m m --+--=（m 为整数、且415m <<）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”；
(3)若关于x 的一元二次方程()2120x m x m +-+-=是()2
10x n x n +--=（m ，
n 均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m n -的值．
26．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】
（1）如图①，在等边ABC V 中，点P 是边BC 上一点，且BP =AP ，以AP 为边作等边APQ △，连接CQ ．则CQ 的长为______； 【问题提出】
（2）如图②，在等腰ABC V 中，AB BC =，点P 是边BC 上任意一点，以AP 为腰作等腰APQ △，
使,AP PQ APQ ABC =∠=∠，连接CQ ．试说明ABC ∠与ACQ ∠相等； 【问题解决】
（3）如图（3），在正方形ADBC 中，点P 是边BC 上一点，以AP 为边作正方形APEF ，点Q
是正方形APEF 的对称中心，连接CQ ．若正方形APEF 的边长为12，CQ =
方形ADBC的边长．。