高考数学平面向量多选题测试及答案

高考数学平面向量多选题测试及答案
一、平面向量多选题
1．如图，A ､B 分别是射线OM ､ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）
A ．2OA O
B + B ．1123OA OB +
C ．
31
43
OA OB + D ．
3145
OA OB + 【答案】AC 【分析】
利用向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于：
OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1.据此即可判断出答案. 【详解】
由向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得
OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.
可以证明点P 位于阴影区域内等价于： OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1. 证明如下：如图所示，
点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；
PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，
则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；
同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''，
而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，
对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确； 对于B ，因为11
123
+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确； 对于C ，因为311314312
+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520
+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得
OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.
2．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）
A ．0GA G
B G
C ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =
D ．OA OB OC ==
【答案】ABD 【分析】
向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =
可得2
3
HG HO =，利用向量的线性运算()
266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】
因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心，
且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以1
2
GO HG =
， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；
对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，
3AM GM =，因为12GO HG =
，所以2
3
HG HO =， ()
226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫
+===-=- ⎪⎝⎭
()
646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，
故选项B 正确；
对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确； 对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即
OA OB OC ==，故选项D 正确；
故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得2
3
HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.
3．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且
(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）
A ．当0x =时，[]2,3y ∈
B ．当P 是线段CE 的中点时，1
2x =-，52
y =
C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段
D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】
利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】
当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，1
3()2
OP OE EP OB EB BC =+=+
+ 115
3(2)222
OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对
x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一
点，故P 的轨迹是线段，故C 对
如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：
OP ON OM =+；
又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；
由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；
此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确 故选：BCD 【点睛】
结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.
4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，
2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）
A ．0OC EO +=
B ．0AB CE ⋅=
C ．3OA OB OC O
D +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为
7
6
【答案】BD
【分析】
可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】
因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，
所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，
则()0,0E ，()1,0A -，()10
B ,，(3
C ， 由2A
D DC =可得2
223,333AD AC ⎛=
= ⎝⎭，则13,33D ⎛- ⎝⎭
， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且1
2
GE AD DC =
=， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则3O ⎛ ⎝⎭
，
对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误； 对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；
对于C ，31,OA ⎛=- ⎝⎭，31,OB ⎛= ⎝⎭，3OC ⎛= ⎝⎭，133OD ⎛=- ⎝⎭， 所以13,33OA OB OC OD ⎛+++=-- ⎝⎭
，所以2
3OA OB OC OD +++=，故C 错误； 对于D ，(3BC =-，1233ED ⎛=- ⎝⎭
，
所以ED在BC 方向上的投影为1
27
3
26
BC ED
BC
+
⋅
==，故D正确.
故选：BD.
【点睛】
关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.
5．如图，已知长方形ABCD中，3
AB=，2
AD=，()
01
DE DC
λλ
→→
=<<，则下列结论正确的是（）
A．当
1
3
λ=时，
12
33
E
A A E
D B
→→
→
=+
B．当
2
3
λ=时，10
cos,
10
AE BE
→→
=
C．对任意()
0,1
λ∈，AE BE
→→
⊥不成立
D．AE BE
→→
+的最小值为4
【答案】BCD
【分析】
根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC
λ
→→
=，根据向量坐标的运算可得
()
3,2
Eλ，当
1
3
λ=时，得出()
1,2
E，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出21
33
AD AE BE
→→→
=+，即可判断A选项；当
2
3
λ=时，()
2,2
E，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出
10
cos,
AE BE
→→
=，即可判断B选项；若AE BE
→→
⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C选项；根据向量坐标加法运算求得()
63,4
AE BEλ
→→
+=-，再根据向量模的运算即可判断D选项.
【详解】
解：如图，以A为坐标原点，,
AB AD所在直线分别为x轴､y轴建立平面直角坐标系，则()
0,0
A，()
3,0
B，()
3,2
C，()
0,2
D，由DE DC
λ
→→
=，可得
()
3,2
Eλ，
A项，当
1
3
λ=时，()
1,2
E，则()
1,2
AE
→
=，()
2,2
BE
→
=-，
设AD m AE n BE
→→→
=+，又()
0,2
AD
→
=，所以
02
222
m n
m n
=-
⎧
⎨
=+
⎩
，得
2
3
1
3
m
n
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
故
21
33
AD AE BE
→→→
=+，A错误；
B项，当
2
3
λ=时，()
2,2
E，则()
2,2
AE
→
=，()
1,2
BE
→
=-，
故
10
cos
10
,
225
AE BE
AE BE
AE BE
→→
→→
→→⋅
===
⨯
⋅
，B正确；
C项，()
3,2
AEλ
→
=，()
33,2
BEλ
→
=-，
若AE BE
→→
⊥，则()2
333229940
AE BEλλλλ
→→
⋅=-+⨯=-+=，
对于方程2
9940
λλ
-+=，()2
Δ94940
=--⨯⨯<，
故不存在()
0,1
λ∈，使得AE BE
→→
⊥，C正确；
D项，()
63,4
AE BEλ
→→
+=-，所以()22
6344
AE BEλ
→→
+=-+≥，
当且仅当
1
2
λ=时等号成立，D正确.
故选：BCD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.
6．正方形ABCD的边长为1，记AB a
=，BC b
=，AC c
=，则下列结论正确的是（）
A ．()
0a b c -⋅= B ．()
0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
【答案】ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
7．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．11
22
AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133
BM BA BD =
+ D ．12
33
CM CA CD =
+
【答案】ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】
解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11
22
AD AB AC =
+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，
2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；
对于C 选项，()
2212
=3333
BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()
2212
3333
CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.
8．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 【答案】BCD 【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=，
所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．
若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
二、立体几何多选题
9．已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B ．若N 到直线1BB 与直线D
C 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线
C ．若1
D N 与AB 所成的角为3π，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD
所成的角为3π，则N 的轨迹为椭圆 【答案】BC
【分析】
对于A ，连接MN ，ND ，DP ，得到直角MDN △，且P 为斜边MN 的中点，所以1PD =，进而得到P 点的轨迹为球面的一部分，即可判断选项A 错误；对于B ，可知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，利用抛物线定义知B 正确；对于C ，建立空间直角坐标系，设(,,0)N x y ，利用空间向量求夹角知122121cos 32
24D N AB
y
x y D N AB π
⋅===⨯++⋅，化简可知N 的轨迹为双曲线；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为3MND π
∠=，3ND =，可知N 的轨迹是以D 为圆心，
33
为半径的圆周； 【详解】 对于A ，如图所示，设P 为MN 的中点，连接MN ，ND ，DP ，由正方体性质知MDN △为直角三角形，且P 为MN 的中点，2MN =，根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，知MDN △不管怎么变化，始终有1PD =，即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D 为球心，1为半径的球的18，其面积214182
S ππ=⨯⨯=，故A 错误；
对于B ，由正方体性质知，1BB ⊥平面ABCD 由线面垂直的性质定理知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，所以点N 的轨迹是以点B 为焦点，直线DC 为准线的抛物线，故B 正确； 对于C ，如图以D 为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，(,,0)N x y ，1(0,0,2)D ，(0,2,0)A ，(2,2,0)B ，则1(,,2)D N x y =-，(0,2,0)AB =，利用空间向量求夹角知
1
22
1
21
cos
3
2
24
D N AB y
x y
D N AB
π⋅
===
⨯++
⋅
，化简整理得：22
34
y x
-=，即
22
1
44
3
y x
-=
，所以N的轨迹为双曲线，故C正确；
对于D，由正方体性质知，MN与平面ABCD所成的角为MND
∠，即
3
MND
π
∠=，在直角MDN
△中，
3
ND=，即N的轨迹是以D为圆心，
3
为半径的圆周，故D错误；故选：BC
【点睛】
关键点睛：本题考查立体几何与解析几何的综合，解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义，考查学生的逻辑推理能力，转化与划归能力与运算求解能力，属于难题.
10．如图，已知四棱锥P ABCD
-所有棱长均为4，点M是侧棱PC上的一个动点（不与点,P C重合），若过点M且垂直于PC的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（）
A．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形
B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4π
C ．当1PM =时，截面的面积为52
D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V
【答案】BCD
【分析】
点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可.
【详解】
A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，
由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以
DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；
若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，
在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；
B 选项中，因为截面总与P
C 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABC
D 所成的锐角为定值，
不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC 中，MN =2，2，故在直角三角形MNQ 中，2cos 2
NQ MNC MN ∠==，故4MNC π
∠=，故B 正确；
C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PM PE EPM
==∠，故E 为PD 的中点，同理，F 是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222
EF BD ==G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:
依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=， 面积是122122⨯=，四边形面积是22242=，故截面面积是52 故C 正确；
D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124
M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134
P ABCD V V -=
，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD.
【点睛】 本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.。