2019-2020学年天津市南开区高一下学期期末数学试卷

2019-2020学年天津市南开区高一下学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分） 1.
已知两点
，向量
，若
，则实数的值为( )
A. −2
B. −l
C. 1
D. 2
2.
已知函数，点
为坐标原点，点
.若记直线
的倾斜角为
，则
A.
B.
C.
D.
3.
已知三角形△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为√3
2
，则这个三角形的
周长是( )
A. 18
B. 21
C. 24
D. 15
4.
在平行四边形ABCD 中，下列有关向量结论中正确的是( )．
A.
B.
C.
D.
5.
已知命题
，
则
为
A. B. C.
D.
6.
P 为四边形ABCD 所在平面上一点，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 为( )
A. 四边形ABCD 对角线交点
B. AC 中点
C. BD 中点
D. CD 边上一点
7.
如图所示，三视图的几何体是( )
A. 六棱台
B. 六棱柱
C. 六棱锥
D. 六边形
8.两直线l1：3x−2y−6=0，l2：3x−2y+8=0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为()
A. 3x−2y+24=0
B. 3x−2y−10=0
C. 3x−2y−20=0
D. 3x−2y+22=0
9.设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列推导正确的是()
A. a⊂α，α⊥β，b⊥β⇒a⊥b
B. a⊥α，b⊥β，α//β⇒a⊥b
C. a⊥α，α//β，b//β⇒a⊥b
D. a⊥α，α⊥β，b//β⇒a⊥b
10.直线与圆相交于，两点，若，则的取值
范围是()
A. B.
C. D.
二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.中，内角所对的边分别为，已知的面积为，
则的值为．
12.点(−2,1)到直线的距离等于_________．
13.如图A，B，C，D都在同一个与水平垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船
于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角分别为45°，60°，AC=1km.则B，D的距离为______．
(计算结果精确到0.1km，√2≈1.414，√6≈2.449)
14.已知正三棱锥V−ABC，其侧棱VA=4，底边正三角形边长AB=，其主视图和俯视图如下
图所示，则其左视图的面积是．
15.已知|c⃗|=2，向量b⃗ 满足2|b⃗ −c⃗|=b⃗ ⋅c⃗ .当b⃗ ,c⃗的夹角最大时，|b⃗ |=______．
三、解答题（本大题共5小题，共55.0分）
16.已知直线l经过点(−3,4)
(1)若直线l与直线x+2y−3=0垂直，求直线l的方程
(2)若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程．
17.设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m⃗⃗⃗ =(sinA+sinC,sinB−sinA)，n⃗=(sinA−
sinC,sinB)，且m⃗⃗⃗ ⊥n⃗．
(Ⅰ)求角C的大小；
)，试求|s⃗+t|的取值范围．
(Ⅱ)若向量s⃗=(0,−1),t=(cosA,2cos2B
2
18.已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，A、B是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C
上异于A、B的动点，且△ADB面积的最大值为12．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是圆M：上的一个动点，过动点P作直线使得与椭圆C都只有一
个交点，且与圆M的另一个交点分别为S，T，求证：ST为圆M的直径。

19. (1)在△ABC中，已知∠C=45°，∠A=60°，b=2，求此三角形最小边的长及a与∠B的值．(2)在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=120°，b=5，求∠C及a、c的值．
20. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBC．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：试题分析：由已知得，所以由得，，解得．考点：向量垂直的坐标表示
2.答案：A
解析：试题分析：根据题意，由于，那么可知
，那么根据裂项法可知
，因此可知为选C．
考点：直线的倾斜角，三角函数变换
点评：该试题巧妙的结合了数列的思想来求解，体现了知识点之间的交汇，是一个好题。

3.答案：D
解析：解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a>b>c>0，
设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，
则a−b=b−c=2，
a=c+4，b=c+2，
∵sinA=√3
2
，
∴A=60°或120°．
若A=60°，因为三条边不相等，
则必有角大于A，矛盾，故A=120°．
cosA=b2+c2−a2
2bc
=(c+2)2+c2−(c+4)2
2(c+2)⋅c
=
c−6
=−1
2
．
∴c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7．
∴这个三角形的周长=3+5+7=15． 故选D ．
设三角形的三边分别为a 、b 、c ，且a >b >c >0，设公差为d =2，三个角分别为、A 、B 、C ，则a −b =b −c =2，a =c +4，b =c +2，因为sinA =√3
2，所以A =60°或120°.若A =60°，因为三
条边不相等，则必有角大于A ，矛盾，故A =120°.由余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．
本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用．
4.答案：B
解析：本题考查向量的加法，减法运算及相等向量，结合几何图形，相加时找首尾顺次连接的向量，相减时用同起点的向量，即可化简． 解：由向量加法的平行四边形法则可得，故A 错误；
AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故B 正确； ，故
=2
，故C 、D 错误； 故选B ．
5.答案：D
解析：试题分析：由题意可知，命题，
，将存在改为任意，结论变为
否定
，则可知其命题的否定为：
，故选D ．
考点：本试题主要是考查了特称命题的否定。

点评：解决该试题的关键是将已知的存在改为任意，将结论变为否定，进而得到结论，属于基础题。

6.答案：B
解析：
本题考查了向量的三角形法则和中点公式，属于基础题．
利用向量的三角形法则可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .由于PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得PA
⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即可得出． 解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP
⃗⃗⃗⃗⃗ ，。