高考数学理科全国一卷及详解答案
2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）一、选择题1.设2()3()46z z z z i ++-=+，则z =(）A.12i -B.12i +C.1i +D.1i -答案：C 解析：设z a bi =+，则z a bi =-，2()3()4646z z z z a bi i ++-=+=+，所以1a =，1b =，所以1z i =+.2.已知集合{|21,}S s s n n Z ==+∈，{|41,}T t t n n Z ==+∈，则S T = ()A.∅B.SC.TD.Z 答案：C 解析：21s n =+，n Z ∈；当2n k =，k Z ∈时，{|41,}S s s k k Z ==+∈；当21n k =+，k Z ∈时，{|43,}S s s k k Z ==+∈.所以T S Ü，S T T = .故选C.3.已知命题:p x R ∃∈﹐sin 1x <；命题||:,1x q x R e∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（）A.p q∧B.p q ⌝∧C.p q∧⌝D.()p q ⌝∨答案：A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，故x R ∃∈，sin 1x <，p 为真命题，而函数||x y y e ==为偶函数，且0x ≥时，||1x y e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.，则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.4.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案：B 解析：12()111x f x x x -==-+++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数.5.在正方体1111ABCD ABC D -中，P 为11BD 的中点，则直线PB 与1A D 所成的角为（）A.2πB.3πC.4πD.6π答案：D 解析：如图，1P B C ∠为直线PB 与1A D 所成角的平面角.易知11AB C ∆为正三角形，又P 为11AC 中点，所以16PBC π∠=.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种答案：C 解析：所求分配方案数为2454240C A =.7.把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin()4y x π=-的图像，则)(f x =（）A.7sin()212x π-B.sin()212x π+C.7sin(212x π-D.sin(212x π+答案：B解析：逆向：231sin()sin(sin() 412212 y x y x y xππππ=-−−−→=+−−−−−−−→=+左移横坐标变为原来的倍.故选B.8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.7 9B.23 32C.9 32D.2 9答案：B解析：由题意记(0,1)x∈，(1,2)y∈，题目即求74x y+>的概率，绘图如下所示.故113311123224411132 ABCDAM ANSPS==⨯-⋅-⨯⨯==⨯阴正.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点,,E H G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（）A.⨯+表高表距表高表目距的差B.⨯-表高表距表高表目距的差C.⨯+表高表距表距表目距的差D.⨯-表高表距表距表目距的差答案：A 解析：连接DF 交AB 于M ，则AB AM BM =+.记BDM α∠=，BFM β∠=，则tan tan MB MBMF MD DF βα-=-=.而tan FG GC β=，tan EDEHα=.所以11(()tan tan tan tan MB MB GC EH GC EH MB MB MB FG ED ED βαβα--=-=⋅-=⋅.故ED DF MB GC EH ⋅⨯==-表高表距表目距的差，所以高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差.10.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >答案：D 解析：若0a >，其图像如图（1），此时，0a b <<；若0a <，时图像如图（2），此时，0b a <<.综上，2ab a <.11.设B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A.[)2B.1[,1)2C.2D.1(0,2答案：C 解析：由题意，点(0,)B b ，设00(,)P x y ，则2222200002221(1)x y y x a a b b +=⇒=-，故22222222222000000022()(122y c PB x y b a y by b y by a b b b =+-=-+-+=--++，0[,]y b b ∈-.由题意，当0y b =-时，2PB 最大，则32b b c -≤-，22b c ≥，222a c c -≥，2c c a =≤，2(0,2c ∈.12.设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c -，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c a b <<答案：B 解析:设()ln(1)1f x x =+，则(0.02)b c f -=，易得1()1f x x '==+当0x ≥时，1x +=≥()0f x '≤.所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以(0.02)(0)0f f <=，故b c <.再设()2ln(1)1g x x =++，则(0.01)a c g -=，易得2()21g x x '==+当02x ≤<时，1x ≥=+，所以()g x '在[0.2)上0≥.故()g x 在[0.2)上单调递增，所以(0.01)(0)0g g >=，故a c >.综上，a c b >>.二、填空题13.已知双曲线C ：221(0)x y m m-=>的一条渐近线为0my +=，则C 的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为by x a=±，由题意得2a m =，21b =，且一条渐近线方程为y x m=-，则有0m =（舍去），3m =，故焦距为24c =.14.已知向量(1,3)a = ，(3,4)b = ，若()a b b λ-⊥，则λ=.答案：35解析：由题意得()0a b b λ-⋅= ，即15250λ-=，解得35λ=.15.记ABC ∆的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒，223a c ac +=，则b =.答案：解析：1sin24ABC S ac B ac ∆===4ac =，由余弦定理，222328b a c ac ac ac ac =+-=-==，所以b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，BA BC =，2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB =，2BC =，俯视图为④.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y，样本方差分别己为21s 和22S .（1）求x ，y，21s ，22s ：（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2212210s s y x +-≥，否则不认为有显著提高)。
2022年全国新高考I卷数学真题及答案解析
又 A1C 平面 A1B1C ，所以 BC1 CA1 ，故 B 正确；
连接 A1C1 ，设 A1C1 B1D1 O ，连接 BO ，
因为 BB1 平面 A1B1C1D1 ， C1O 平面 A1B1C1D1 ，则 C1O B1B ，
因为 C1O B1D1 ， B1D1 B1B B1 ，所以 C1O 平面 BB1D1D ，
C. 1.4109 m3
D.
1.6109 m3
【参考答案】C
【参考解析】本题的解答过程如下：
依题意可知棱台的高为 MN 157.5 148.5 9 (m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．
棱台上底面积 S 140.0km2 140106m2 ，下底面积 S 180.0km2 180106m2 ，
库水位为海拔148．5m 时，相应水面的面积为140．0km2 ；水位为海拔157．5m 时，相应水面
的面积为180．0km2 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
148．5m 上升到157．5m 时，增加的水量约为（ 7 2.65 ）（ ）
A. 1.0109 m3
B. 1.2109 m3
所成的角，
因为四边形 BB1C1C 为正方形，则 B1C BC1 ，故直线 BC1 与 DA1 所成的角为 90 ，A 正确；
连接 A1C ，因为 A1B1 平面 BB1C1C ， BC1 平面 BB1C1C ，则 A1B1 BC1 ，
因为 B1C BC1 ， A1B1 B1C B1 ，所以 BC1 平面 A1B1C ，
交 C 于 P，Q 两点，则（ ）
A. C 的准线为 y 1
B. 直线 AB 与 C 相切
C. OP OQ | OA 2
2020年高考理科数学全国1卷(word版,含答案)
1.【ID:4002604】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，则．故选D．2.【ID:4002605】设集合，，且，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：易求得：，，则由，得，解得．故选B．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4002607】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意知，，则．故选C．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4002609】函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，则切线斜率，又，则切线方程为．故选B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4002611】的展开式中的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，要得到项，则应取项，则其系数为．故选C．9.【ID:4002612】已知，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，解得：或(舍)，又，则．故选A．10.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．11.【ID:4002614】已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：：，则，如图，由圆的切线性质，易知：，则，所以最小时，最短，即最短，此时，易求得：，则直线：，整理，得：．故选D．12.【ID:4002615】若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，有，若，则，不符合题意，因此．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4002617】设，为单位向量，且，则________．【答案】【解析】解：因为，，则，则．15.【ID:4002618】已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为________．【答案】2【解析】解：如图，，，则由题意得：，解得：，(舍)，所以的离心率为．16.【ID:4002619】如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则________．【答案】【解析】在中，；在中，，由展开图的生成方式可得，在中，由余弦定理可得，于是，因此在中，由余弦定理可得．17. 设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）【ID:4002620】求的公比．【答案】【解析】解：设数列的公比为，则，，即，解得或(舍去)，的公比为．（2）【ID:4002621】若，求数列的前项和．【答案】【解析】解：记为的前项和．由及题设可得，．所以，．可得．所以．18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4002622】证明：平面．【答案】见解析【解析】方法：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，．，，，则，，，平面．方法：设，由题设可得，，，．因此，从而．又，故．所以平面．（2）【ID:4002623】求二面角的余弦值．【答案】【解析】由知，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，解得，，二面角的余弦值为．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）【ID:4002624】求甲连胜四场的概率．【答案】【解析】解：．（2）【ID:4002625】求需要进行第五场比赛的概率．【答案】【解析】(甲连胜场)(乙连胜场)(丙连胜场)．（3）【ID:4002626】求丙最终获胜的概率．【答案】【解析】丙最终获胜，有两种情况，丙连胜或输一场．(丙连胜)，丙输一场，则共进行场，丙可以在①第场输，、场胜；②第、场胜，场输；③第、、场胜，第场输，(丙第场输，，场胜)；(丙第，场胜，第场输)；(丙第，，场胜，第场输)，(丙胜)．20. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点．为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）【ID:4002627】求的方程．【答案】【解析】由题意知，，，故，，，故椭圆的方程为．（2）【ID:4002628】证明：直线过定点．【答案】见解析【解析】方法：设，，故：，，故：，联立，，同理可得，，①当时，：，②当时，，：，③当且时，，：，令，故直线恒过定点．方法：设，，．若，设直线的方程为，由题意可知．因为直线的方程为，所以．直线的方程为，所以．可得．又，故，可得，即．①将代入得．所以，．代入①式得．解得(舍去)，．故直线的方程为，即直线过定点．若，则直线的方程为，过点．综上，直线过定点．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。
2021年高考全国一卷理科数学答案及解析
2021年普通高等学招生全国统一考试〔全国一卷〕理科数学参考答案与解析一、选择题：此题有12小题，每题5分，共60分。
1、设z=，那么|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、集合A={x|x 2-x-2>0}，那么A = A 、{x|-1<x<2} B 、{x|-1x 2} C 、{x|x<-1}∪{x|x>2} D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建立，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地理解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建立前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：那么下面结论中不正确的选项是： A 、新农村建立后，种植收入减少。
B 、新农村建立后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建立后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建立后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建立后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，假设3S3=S2+S4，a1=2，那么a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f〔x〕=x3+(a-1)x2+ax，假设f〔x〕为奇函数，那么曲线y=f〔x〕在点〔0，0〕处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f〔x〕为奇函数，有f〔x〕+f〔-x〕=0整理得:f〔x〕+f〔-x〕=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f〔x〕=x3+x求导f‘〔x〕=3x2+1f‘〔0〕=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，那么=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱外表上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱外表上的点N 在左视图上的对应点为B ，那么在此圆柱侧面上，从M 到N 的途径中，最短途径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
2023年高考全国乙卷数学(理)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得z =2+i 1+i 2+i 5=2+i 1-1+i =i 2+i i2=2i -1-1=1-2i ，则z=1+2i.故选：B .2.设集合U =R ，集合M =x x <1 ，N =x -1<x <2 ，则x x ≥2 =()A.∁U M ∪NB.N ∪∁U MC.∁U M ∩ND.M ∪∁U N【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x |x ≥2 即可.【详解】由题意可得M ∪N =x |x <2 ，则∁U M ∪N =x |x ≥2 ，选项A 正确；∁U M =x |x ≥1 ，则N ∪∁U M =x |x >-1 ，选项B 错误；M ∩N =x |-1<x <1 ，则∁U M ∩N =x |x ≤-1 或x ≥1 ，选项C 错误；∁U N =x |x ≤-1 或x ≥2 ，则M ∪∁U N =x |x <1 或x ≥2 ，选项D 错误；故选：A .3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=3，点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1,C 1,D 1,A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2×2×2 +4×2×3 -2×1×1 =30.故选：D .4.已知f (x )=xe xe ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为f x =xe x e ax-1为偶函数，则f x -f -x =xexe ax -1--x e-xe -ax -1=x e x -e a -1xe ax -1=0，又因为x 不恒为0，可得e x -e a -1 x=0，即e x =e a -1x，则x =a -1 x ，即1=a -1，解得a =2.故选：D .5.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域x ,y 1≤x 2+y 2≤4 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.12【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域x ,y |1≤x 2+y 2≤4 表示以O 0,0 圆心，外圆半径R =2，内圆半径r =1的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON =π4，结合对称性可得所求概率P =2×π42π=14.故选：C .6.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3 单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f x 的图像的两条对称轴，则f -5π12 =()A.-32B.-12C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x =-5π12即可得到答案.【详解】因为f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3单调递增，所以T 2=2π3-π6=π2，且ω>0，则T =π，w =2πT =2，当x =π6时，f x 取得最小值，则2⋅π6+φ=2k π-π2，k ∈Z ，则φ=2k π-5π6，k ∈Z ，不妨取k =0，则f x =sin 2x -5π6 ，则f -5π12 =sin -5π3 =32，7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有C 16种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A 25种，根据分步乘法公式则共有C 16⋅A 25=120种，故选：C .8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120°，若△PAB 的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在△AOB 中，∠AOB =120°，而OA =OB =3，取AC 中点C ，连接OC ,PC ，有OC ⊥AB ,PC ⊥AB ，如图，∠ABO =30°，OC =32,AB =2BC =3，由△PAB 的面积为934，得12×3×PC =934，解得PC =332，于是PO =PC 2-OC 2=332 2-32 2=6，所以圆锥的体积V =13π×OA 2×PO =13π×(3)2×6=6π.9.已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接CE ,DE ，因为△ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE ⊥AB ，又△ABD 是等边三角形，则DE ⊥AB ，从而∠CED 为二面角C -AB -D 的平面角，即∠CED =150°，显然CE ∩DE =E ,CE ,DE ⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面ABC =CE ，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角，令AB =2，则CE =1,DE =3，在△CDE 中，由余弦定理得：CD =CE 2+DE 2-2CE ⋅DE cos ∠CED =1+3-2×1×3×-32=7，由正弦定理得DE sin ∠DCE =CDsin ∠CED，即sin ∠DCE =3sin150°7=327，显然∠DCE 是锐角，cos ∠DCE =1-sin 2∠DCE =1-3272=527，所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C10.已知等差数列a n 的公差为2π3，集合S =cos a n n ∈N * ，若S =a ,b ，则ab =()A.-1B.-12C.0D.12【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{a n }中，a n =a 1+(n -1)⋅2π3=2π3n +a 1-2π3，显然函数y =cos 2π3n +a 1-2π3的周期为3，而n ∈N ∗，即cos a n 最多3个不同取值，又{cos a n |n ∈N ∗}={a ,b }，则在cos a 1,cos a 2,cos a 3中，cos a 1=cos a 2≠cos a 3或cos a 1≠cos a 2=cos a 3，于是有cos θ=cos θ+2π3 ，即有θ+θ+2π3 =2k π,k ∈Z ，解得θ=k π-π3,k ∈Z ，所以k ∈Z ，ab =cos k π-π3 cos k π-π3 +4π3 =-cos k π-π3 cos k π=-cos 2k πcos π3=-12.故选：B11.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-4【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得k AB ⋅k =9，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则AB 的中点M x 1+x 22,y 1+y 22，可得k AB =y 1-y 2x 1-x 2,k =y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2，因为A ,B 在双曲线上，则x 21-y 219=1x 22-y 229=1，两式相减得x 21-x 22-y 21-y 229=0，所以k AB ⋅k =y 21-y 22x 21-x 22=9.对于选项A ：可得k =1,k AB =9，则AB :y =9x -8，联立方程y =9x -8x 2-y 29=1 ，消去y 得72x 2-2×72x +73=0，此时Δ=-2×72 2-4×72×73=-288<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得k =-2,k AB =-92，则AB :y =-92x -52，联立方程y =-92x -52x 2-y 29=1，消去y 得45x 2+2×45x +61=0，此时Δ=2×45 2-4×45×61=-4×45×16<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得k =3,k AB =3，则AB :y =3x由双曲线方程可得a =1,b =3，则AB :y =3x 为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：k =4,k AB =94，则AB :y =94x -74，联立方程y =94x -74x 2-y 29=1，消去y 得63x 2+126x -193=0，此时Δ=1262+4×63×193>0，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D .12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =2，则PA ⋅PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA ⋅PD =12-22sin 2α-π4 ，或PA ⋅PD =12+22sin 2α+π4 然后结合三角函数的性质即可确定PA ⋅PD的最大值.【详解】如图所示，OA =1,OP =2，则由题意可知:∠APO =45°，由勾股定理可得PA =OP 2-OA 2=1当点A ,D 位于直线PO 异侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α+π4=1×2cos αcos α+π4=2cos α22cos α-22sin α =cos 2α-sin αcos α=1+cos2α2-12sin2α=12-22sin 2α-π4 0≤α≤π4，则-π4≤2α-π4≤π4∴当2α-π4=-π4时，PA ⋅PD 有最大值1.当点A ,D 位于直线PO 同侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α-π4=1×2cos αcos α-π4=2cos α22cos α+22sin α =cos 2α+sin αcos α=1+cos2α2+12sin2α=12+22sin 2α+π40≤α≤π4，则π4≤2α+π4≤π2∴当2α+π4=π2时，PA ⋅PD 有最大值1+22.综上可得，PA ⋅PD 的最大值为1+22.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题13.已知点A 1,5 在抛物线C ：y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x =-54，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：5 2=2p ×1，则2p =5，抛物线的方程为y 2=5x ，准线方程为x =-54，点A 到C 的准线的距离为1--54 =94.故答案为：94.14.若x ，y 满足约束条件x -3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7，则z =2x -y 的最大值为.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.详解】作出可行域如下图所示：z =2x -y ，移项得y =2x -z ，联立有x -3y =-1x +2y =9，解得x =5y =2，设A 5,2 ，显然平移直线y =2x 使其经过点A ，此时截距-z 最小，则z 最大，代入得z =8，故答案为：8.15.已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【解析】【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【详解】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.16.设a ∈0,1 ，若函数f x =a x +1+a x 在0,+∞ 上单调递增，则a 的取值范围是.【答案】5-12,1 【解析】【分析】原问题等价于f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得1+a a x ≥-ln aln 1+a ，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可得f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0在区间0,+∞ 上恒成立，则1+a x ln 1+a ≥-a x ln a ，即1+a a x ≥-ln aln 1+a在区间0,+∞ 上恒成立，故1+a a 0=1≥-ln aln 1+a，而a +1∈1,2 ，故ln 1+a >0，故ln a +1 ≥-ln a 0<a <1即a a +1 ≥10<a <1 ，故5-12≤a <1，结合题意可得实数a 的取值范围是5-12,1.故答案为：5-12,1.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，y i (i =1,2,⋅⋅⋅10)，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率x i545355525754545659545312541868伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i =x i -y i (i =1,2,⋯,10)，记z 1，z 2，⋯，z 10的样本平均数为z，样本方差为s 2，(1)求z ，s 2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥2s 210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】(1)z =11，s 2=61；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出x ,y ，再得到所有的z i 值，最后计算出方差即可；(2)根据公式计算出2s 210的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】x =545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3，y =536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3，z =x -y=552.3-541.3=11，z i =x i -y i 的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12，故s 2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-110=61【小问2详解】由(1)知:z=11，2s 210=2 6.1=24.4，故有z ≥2s 210,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在△ABC 中，已知∠BAC =120°，AB =2，AC =1.(1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求△ADC 的面积.【答案】(1)21 14；(2)310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=7，然后由余弦定理可得cos B=5714，最后由同角三角函数基本关系可得sin B=21 14；(2)由题意可得S△ABDS△ACD=4，则S△ACD=15S△ABC，据此即可求得△ADC的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：BC2=a2=b2+c2-2bc cos A=4+1-2×2×1×cos120°=7，则BC=7，cos B=a2+c2-b22ac=7+4-12×2×7=5714，sin B=1-cos2B=1-2528=2114.【小问2详解】由三角形面积公式可得S△ABDS△ACD=12×AB×AD×sin90°12×AC×AD×sin30°=4，则S△ACD=15S△ABC=15×12×2×1×sin120°=310.19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF⎳平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)22.【解析】【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行判定推理作答.(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接DE ,OF ，设AF =tAC ，则BF =BA +AF =(1-t )BA +tBC ，AO =-BA +12BC ，BF ⊥AO ，则BF ⋅AO =[(1-t )BA +tBC ]⋅-BA +12BC =(t -1)BA 2+12tBC 2=4(t -1)+4t =0，解得t =12，则F 为AC 的中点，由D ,E ,O ,F 分别为PB ,PA ,BC ,AC 的中点，于是DE ⎳AB ,DE =12AB ,OF ⎳AB ,OF =12AB ，即DE ⎳OF ,DE =OF ，则四边形ODEF 为平行四边形，EF ⎳DO ,EF =DO ，又EF ⊄平面ADO ,DO ⊂平面ADO ，所以EF ⎳平面ADO .ABCDEO P【小问2详解】由(1)可知EF ⎳OD ，则AO =6,DO =62，得AD =5DO =302，因此OD 2+AO 2=AD 2=152，则OD ⊥AO ，有EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ,BF ∩EF =F ，BF ,EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .【小问3详解】过点O 作OH ⎳BF 交AC 于点H ，设AD ∩BE =G ，由AO ⊥BF ，得HO ⊥AO ，且FH =13AH ，又由(2)知，OD ⊥AO ，则∠DOH 为二面角D -AO -C 的平面角，因为D ,E 分别为PB ,PA 的中点，因此G 为△PAB 的重心，即有DG =13AD ,GE =13BE ，又FH =13 AH ，即有DH =32GF ，cos ∠ABD =4+32-1522×2×62=4+6-PA 22×2×6，解得PA =14，同理得BE =62，于是BE 2+EF 2=BF 2=3，即有BE ⊥EF ，则GF 2=13×622+622=53，从而GF =153，DH =32×153=152，在△DOH 中，OH =12BF =32,OD =62,DH =152，于是cos ∠DOH =64+34-1542×62×32=-22，sin ∠DOH =1--222=22，所以二面角D -AO -C 的正弦值为22.ABCD EFGH OP20.已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为53，点A -2,0 在C 上.(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解【解析】【分析】(1)根据题意列式求解a ,b ,c ，进而可得结果；(2)设直线PQ 的方程，进而可求点M ,N 的坐标，结合韦达定理验证y M +y N2为定值即可.【小问1详解】由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y 2x 2+22=k x 1+2 +3x 1+2+k x 2+2 +3x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2 x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +316k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段PQ 的中点是定点0,3 .【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．21.已知函数f(x)=1x +aln(1+x).(1)当a=-1时，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若f x 在0,+∞存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)ln2x+y-ln2=0；(2)存在a=12,b=-12满足题意，理由见解析.(3)0,12.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g x =ax2+x-x+1ln x+1，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥12和0<a<12三中情况即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当a=-1时，f x =1x-1ln x+1，则f x =-1x2×ln x+1+1x-1×1x+1，据此可得f1 =0,f 1 =-ln2，函数在1,f1处的切线方程为y-0=-ln2x-1，即ln2x+y-ln2=0.【小问2详解】由函数的解析式可得f1x=x+aln1x+1，函数的定义域满足1x+1=x+1x>0，即函数的定义域为-∞,-1∪0,+∞，定义域关于直线x=-12对称，由题意可得b=-12，由对称性可知f-12+m=f-12-mm>12，取m=32可得f1 =f-2，即a+1ln2=a-2ln 12，则a+1=2-a，解得a=12，经检验a=12,b=-12满足题意，故a=12,b=-12.即存在a=12,b=-12满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得f x =-1 x2ln x+1+1x+a1x+1，由f x 在区间0,+∞存在极值点，则f x 在区间0,+∞上存在变号零点;令-1 x2ln x+1+1x+a1x+1=0，则-x+1ln x+1+x+ax2=0，令g x =ax2+x-x+1ln x+1，f x 在区间0,+∞存在极值点，等价于g x 在区间0,+∞上存在变号零点，g x =2ax-ln x+1,g x =2a-1 x+1当a≤0时，g x <0，g x 在区间0,+∞上单调递减，此时g x <g0 =0，g x 在区间0,+∞上无零点，不合题意;当a≥12，2a≥1时，由于1x+1<1，所以g x >0,g x 在区间0,+∞上单调递增，所以g x >g 0 =0，g x 在区间0,+∞上单调递增，g x >g0 =0，所以g x 在区间0,+∞上无零点，不符合题意；当0<a<12时，由gx =2a-1x+1=0可得x=12a-1，当x∈0,12a-1时，g x <0，g x 单调递减，当x∈12a-1,+∞时，g x >0，g x 单调递增，故g x 的最小值为g12a-1=1-2a+ln2a，令m x =1-x+ln x0<x<1，则m x =-x+1x>0，函数m x 在定义域内单调递增，m x <m1 =0，据此可得1-x+ln x<0恒成立，则g 12a-1=1-2a +ln2a <0，令h x =ln x -x 2+x x >0 ，则hx =-2x 2+x +1x ，当x ∈0,1 时，h x >0,h x 单调递增，当x ∈1,+∞ 时，h x <0,h x 单调递减，故h x ≤h 1 =0，即ln x ≤x 2-x (取等条件为x =1)，所以g x =2ax -ln x +1 >2ax -x +1 2-x +1 =2ax -x 2+x ，g 2a -1 >2a 2a -1 -2a -1 2+2a -1 =0，且注意到g 0 =0，根据零点存在性定理可知:g x 在区间0,+∞ 上存在唯一零点x 0.当x ∈0,x 0 时，g x <0，g x 单调减，当x ∈x 0,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，所以g x 0 <g 0 =0.令n x =ln x -12x -1x ，则n x =1x -121+1x 2=-x -1 22x2≤0，则n x 单调递减，注意到n 1 =0，故当x ∈1,+∞ 时，ln x -12x -1x <0，从而有ln x <12x -1x，所以g x =ax 2+x -x +1 ln x +1 >ax 2+x -x +1 ×12x +1 -1x +1=a -12 x 2+12，令a -12 x 2+12=0得x 2=11-2a，所以g 11-2a>0，所以函数g x区间0,+∞ 上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是0,12.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】(10分)22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θπ4≤θ≤π2，曲线C 2：x =2cos αy =2sin α (α为参数，π2<α<π).(1)写出C 1的直角坐标方程；(2)若直线y =x +m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点，求m 的取值范围.【答案】(1)x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 (2)-∞,0 ∪22,+∞ 【解析】【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意x ,y 的取值范围；(2)根据曲线C 1,C 2的方程，结合图形通过平移直线y =x +m 分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为ρ=2sin θ，即ρ2=2ρsin θ，可得x 2+y 2=2y ，整理得x 2+y -1 2=1，表示以0,1 为圆心，半径为1的圆，又因为x =ρcos θ=2sin θcos θ=sin2θ,y =ρsin θ=2sin 2θ=1-cos2θ，且π4≤θ≤π2，则π2≤2θ≤π，则x =sin2θ∈0,1 ,y =1-cos2θ∈1,2 ，故C 1:x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 .【小问2详解】因为C 2:x =2cos αy =2sin α(α为参数，π2<α<π)，整理得x 2+y 2=4，表示圆心为O 0,0 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y =x +m 过1,1 ，则1=1+m ，解得m =0；若直线y =x +m ，即x -y +m =0与C 2相切，则m2=2m >0 ，解得m =22，若直线y=x +m 与C 1,C 2均没有公共点，则m >22或m <0，即实数m 的取值范围-∞,0 ∪22,+∞ .【选修4-5】(10分)23.已知f x =2x +x -2 .(1)求不等式f x ≤6-x 的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组f (x )≤yx +y -6≤0所确定的平面区域的面积.【答案】(1)[-2,2]；(2)6.【解析】【分析】(1)分段去绝对值符号求解不等式作答.(2)作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，f (x )=3x -2,x >2x +2,0≤x ≤2-3x +2,x <0，不等式f (x )≤6-x 化为：x >23x -2≤6-x或0≤x ≤2x +2≤6-x 或x <0-3x +2≤6-x ，解x >23x -2≤6-x，得无解；解0≤x ≤2x +2≤6-x ，得0≤x ≤2，解x <0-3x +2≤6-x ，得-2≤x <0，因此-2≤x ≤2，所以原不等式的解集为：[-2,2]小问2详解】作出不等式组f (x )≤yx +y -6≤0表示的平面区域，如图中阴影△ABC，由y =-3x +2x +y =6，解得A (-2,8)，由y =x +2x +y =6 , 解得C (2,4)，又B (0,2),D (0,6)，所以△ABC 的面积S △ABC =12|BD |×x C -x A =12|6-2|×|2-(-2)|=8.。
2022年高考全国卷1理科数学试题及参考答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N =A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x+=+在[],ππ-的图象大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)
绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。
全国1卷高考数学(含答案)
(A) 4(B) 3(C ) 2(D) 12010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修H ）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第n 卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码•请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目.2•每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3•第I 卷共10小题，每小题3分，共30分•在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求.参考公式:如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)y 兰1，（3）若变量x, y 满足约束条件』x + y 兰0 则z=x-2y 的最大值为|x 〜y 〜2 -0.绝密★启用前球的表面积公式如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A B)=P(A) P(B)球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率P n （k ） =C ：P k （1 -P 严、选择题其中R 表示球的半径(1) 复数3 2i -2 -3i(A ) i(B )-i(2) 记 cos( -80 ) = k ,那么 tan 100 二J1 -k 21 -k2 (A )(B ) -kk(C ) 12 -13i(D )12 13i(C ) k (D )k 1 -k 2• 1 -k 2(4)已知各项均为正数的等比数列g ｝中，a 1a 2a^5,a 7a 8a 9 =10,则a 4a 3a 6 =(A ) 52(B ) 7(C ) 6(D ) 42(5) (1 • 2... x)3(1 -3.x)5的展开式中x 的系数是(A ) -4( B ) -2( C ) 2( D ) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选择题4门，一位同学从中共选 3门，若要求两类课 程中各至少选一门，则不同的选法共有(A ) 30 种 (B ) 35 种 (C ) 42 种 (D ) 48 种 (7) 正方体ABCD — A I B I C I D I 中，BB i 与平面ACD i 所成角的余弦值为2 (C)-3到x 轴的距离为(10)已知函数f (x) =| lg x I 若0 ：：： a ::: b,且f (a) = f (b)，则a 2b 的取值范围是(A) (2.. 2,：：)(B ) 2. 2,-(C ) (3,：：)(D) 3,；(11)已知圆0的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线， A 、B 为两切点，那么PA PB 的最小值为(A ) - 4一2(B ) -3 .2 (C ) -422 (D ) - 3 2 2(12)已知在半径为 2的球面 上有A 、B 、C 、 D 四点，若 AC=CD=2，则四面体 ABCD 的体积的最大值为2屈4.3 |T -813(A ) (B )(C ) 2 3(D )-333绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (必修+选修H)注意事项:(D)(8) 1设 a = log 3 2,b = In 2,c = 5 2，则 (A) ab ：： c(B) b :: c :: a(C ) c a b (D)(9) 已知F 1、F 2为双曲线 C ：x 2- y 2=1 的左、右焦点，点 P 在C 上，.F 1PF 2 =60，则P<6(B)』2(C) ,31 •答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2022年高考全国乙卷数学(理科)真题+逐题解析
绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A.2M ∈ B.3M∈ C.4M∉ D.5M∉【答案】A 【解析】【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A2.已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A.1,2a b ==- B.1,2a b =-= C.1,2a b == D.1,2a b =-=-【答案】A 【解析】【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12iz =+12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:A3.已知向量,a b 满足||1,||2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅ a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A.15b b < B.38b b < C.62b b < D.47b b <【答案】D 【解析】【分析】根据()*1,2,k k α∈=N …，再利用数列{}n b 与k α的关系判断{}n b 中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为()*1,2,k k α∈=N ，所以1121ααα<+，112111ααα>+，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误；178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b <，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确.故选：D.5.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A.2B. C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以AB ==.故选：B6.执行下边的程序框图，输出的n =（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（）A.平面1B EF ⊥平面1BDD B.平面1B EF ⊥平面1A BD C.平面1//B EF 平面1A ACD.平面1//B EF 平面11AC D【答案】A 【解析】【分析】证明EF ⊥平面1BDD ，即可判断A ；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，分别求出平面1B EF ，1A BD ，11AC D 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD .【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥且1DD ⊥平面ABCD ，又EF ⊂平面ABCD ，所以1EF DD ⊥，因为,E F 分别为,AB BC 的中点，所以EF AC ，所以EF BD ⊥，又1BD DD D = ，所以EF ⊥平面1BDD ，又EF ⊂平面1B EF ，所以平面1B EF ⊥平面1BDD ，故A 正确；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ，()10,2,2C ，则()()11,1,0,0,1,2EF EB =-= ，()()12,2,0,2,0,2DB DA ==，()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AA AC A C ==-=-设平面1B EF 的法向量为()111,,m x y z =，则有11111020m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可取()2,2,1m =- ，同理可得平面1A BD 的法向量为()11,1,1n =--，平面1A AC 的法向量为()21,1,0n =，平面11AC D 的法向量为()31,1,1n =-，则122110m n ⋅=-+=≠，所以平面1B EF 与平面1A BD 不垂直，故B 错误；因为m 与2n uu r 不平行，所以平面1B EF 与平面1A AC 不平行，故C 错误；因为m 与3n不平行，所以平面1B EF 与平面11AC D 不平行，故D 错误，故选：A.8.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14 B.12C.6D.3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D .9.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.13B.12C.33D.22【答案】C 【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又22r h 1+=则212327O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h =时等号成立，故选：C10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（）A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【答案】D 【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p 甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p 乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p 丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p 甲则2132131231232(1)2(1)2()4p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-甲记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p 乙则1231232131232(1)2(1)2()4p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-乙记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p 丙则1321323121232(1)2(1)2()4p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-丙则[]()1231232131231232()42()420p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<甲乙[]()2131233121232312()42()420p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<乙丙即p p <甲乙，p p <乙丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大.选项D 判断正确；选项BC 判断错误；p 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A 判断错误.故选：D11.双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A.2B.32C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，可判断N 在双曲线的右支，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，即可求出sin α，sin β，cos β，在21F F N 中由()12sin sin F F N αβ∠=+求出12sin F F N ∠，再由正弦定理求出1NF ，2NF ，最后根据双曲线的定义得到23b a =，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，sin a c β=，cos b c β=，在21F F N 中，()()12sin sin sin F F N παβαβ∠=--=+4334sin cos cos sin 555b a a bc c cαβαβ+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c cF F N αβ===∠，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++=∠=⨯=，2555sin 222c c a a NF c β==⨯=又12345422222a b a b aNF NF a +--=-==，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率221312c b e a a ==+=故选：C12.已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（）A.21-B.22-C.23-D.24-【答案】D 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P =故答案为：31014.过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；【解析】【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；15.记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若3()2f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3【解析】【分析】首先表示出T ，根据()32f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cos f x x ωϕ=+，（0>ω，0πϕ<<）所以最小正周期2πT ω=，因为()()2π3cos cos 2πcos 2f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+==⎪⎝⎭，又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈，因为0>ω，所以当0k =时min 3ω=；故答案为：316.已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【答案】1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由12,x x 分别是函数()22e xf x a x =-的极小值点和极大值点，可得()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，再分1a >和01a <<两种情况讨论，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln x g x a a =⋅，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.【详解】解：()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，因为12,x x 分别是函数()22e xf x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>，若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾，故1a >不符合题意，若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，令()ln xg x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a '=⋅<<，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln x x a a ⋅，则切线的斜率为()020ln xg x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln aa aa ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e ea <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．（1）证明：2222a b c =+；（2）若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．【答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解.【小问1详解】证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅，即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-，所以2222a b c =+；【小问2详解】解：因为255,cos 31a A ==，由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则50502531bc -=，所以312bc =，故()2222503181b c b c bc +=++=+=，所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.18.如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为7【解析】【分析】（1）根据已知关系证明ABD CBD ≌△△，得到AB CB =，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到BE DE ⊥，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【小问1详解】因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥；在ABD △和CBD 中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥；又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ，因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .【小问2详解】连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ，所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小.因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE =，因为AD CD ⊥，所以112DE AC ==,在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =-=-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取y =，则()n = ，又因为()31,0,0,0,44C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以31,,44CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以43cos ,7n CF n CF n CF⋅==，设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，所以43sin cos ,7n CF θ== ，所以CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为437.19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积i x 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量i y 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数iii=122iii=1i=1( 1.896 1.377)()()nn nx x y y r x x y y --=≈--∑∑∑．【答案】（1）20.06m ；30.39m （2）0.97（3）31209m 【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x ==样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y ==据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ，平均一棵的材积量为30.39m 【小问2详解】()()1010iii i10x x y y x y xyr ---=∑∑0.01340.970.01377=≈则0.97r ≈【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y ，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209m Y ．则该林区这种树木的总材积量估计为31209m 20.已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【答案】（1）22143y x +=（2）(0,2)-【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问1详解】解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.【小问2详解】3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N -，代入AB 方程223y x =-，可得263,)3T ，由MT TH =得到265,3H +.求得HN 方程：26(223y x =--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数()()ln 1exf x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）2y x =（2）(,1)-∞-【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e xxf x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=【小问2详解】()ln(1)e xax f x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x xxa xa x f x x x '+--=+=++设()2()e 1xg x a x=+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -,当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1xx g x a x ∈-=+-设()()e 2x h x g x ax'==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为322sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=．（1）写出l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】（1320++=y m （2）195122-≤≤m 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可.【小问1详解】因为l ：sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，所以13sin cos 022ρθρθ⋅+⋅+=m ，又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为13022++=y x m ，整理得l 20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 的方程，即将2=x t ，2sin y t =代入20++=y m 中，可得3cos 22sin 20++=t t m ，所以23(12sin )2sin 20-++=t t m ，化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为16a =，开口向上，所以(1)623()5=-=+-=max f f a ，min 11219(()36666==--=-f f a ，所以19256-≤≤m m 的取值范围为195122-≤≤m .[选修4-5：不等式选讲]23.已知a ，b ，c 都是正数，且3332221a b c ++=，证明：（1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【小问1详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，则320a >，320b >，320c >，所以3332223a b c++≥，即()1213abc ≤，所以19abc ≤，当且仅当333222a b c ==，即a b c ===时取等号．【小问2详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，所以b c +≥，a c +≥a b +≥，所以32a b c ≤=+32b a c ≤=+32c a b ≤=+333333222222a b c b c a c a b ++≤+++当且仅当a b c ==时取等号．。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)与答案(新课标Ⅰ)
当 b = 2 时，f(a) - f(b2) =-1 < 0，此时 f(a) < f(b2)，有 a < b2，所以 C、D 错误 .
故选：B.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2x + y - 2 ≤ 0, 13. 若 x，y 满足约束条件 x - y - 1 ≥ 0, 则 z = x + 7y 的最大值为 ______________.
型的是 ( )
A. y = a + bx
B. y = a + bx2
C. y = a + bex
D. y = a + blnx
【答案】D
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 y = a + blnx.
故选：D.
6. 函数 f(x) = x4 - 2x3 的图像在点 (1，f(1)) 处的切线方程为 ( )
求解一次不等式 2x + a ≤ 0 可得：B = x|x ≤-a2 .
由于 A ∩ B = x| -2 ≤ x ≤ 1 ，故：-a2 = 1，解得：a =-2.
故选：B.
3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正 方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值 为( )
A. a > 2b
B. a < 2b
C. a > b2
D. a < b2
【答案】B
【详解】设 f(x) = 2x + log2x，则 f(x) 为增函数，因为 2a + log2a = 4b + 2log4b = 22b + log2b
2024年新高考I卷数学高考试卷(原卷+答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 绝密★启用前卷）1. 项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦数（适用地区:山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江、江西、安徽、河南）学注意事项：干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选.已知集合=−<<=−−A xx B 3}{∣55,{3,1,0,2,3}，则A B =（）A−{1,0} B.{2,3} C. −−{3,1,0} D. 2. −{1,0,2}若z −z1=+1i ，则z =（）A.−−1i B.−+1i C. −1i D. 3. +1i 已知向量a b x ==(0,1),(2,)，若b b a ⊥−(4)，则x =（）A. −2 B. 4. D. C. −112已知 αβαβ+==mcos(),tan tan 2，则cos()αβ−=（）A. −3m B. −m 3C.m 3D. 5. 3m，则圆锥的体积为（）AB.C.D.6. 已知函数⎩++≥−−−<⎧x x x ax a x x e ln(1),0f x ()=⎨2,0在R 上单调递增，则a 的2取值范围是（）A.−∞(,0] B.−[1,0] C. −[1,1] D. 7. +∞[0,)当[0,2]πx 时，曲线y x =sin 与⎝⎭⎪⎛⎫y x π=−6 D. C. B. 2sin 3的交点个数为（）468f x ()的定义域为R A. 38. 已知函数，，>−+−f x f x f x ()(1)(2)且当x <3时f x x ()=，则下列结论中一定正确的是（）.A. f >(10)100B. f >(20)1000C.f <(10)1000 D. 要求. 全部选对得6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分. f <(20)10000在每小题给出的选项中，有多项符合题目为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x =2.1，样本方差s =0.012，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N )(1.8,0.12，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布N x s ,2)(，则（）（若随机变量Z 服从正态分布N)(μσ,2， P Z <+≈μσ()0.8413）A. P X >>(2)0.2 B. P X ><(2)0.5 C.P Y >>(2)0.5 D. 10. P Y ><(2)0.8设函数 f x x x ()(1)(4)=−−2，则（）A.x =3是f x ()的极小值点 B. 当<<x 01时，f x f x()<2)C. (当<<x 12时，−<−<f x D. 4(21)0当x−<<10时，11. 设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:−>f x f x (2)()横坐标大于−2，到点F (2,0)的距离与到定直线 x a a =<(0)的距离之积为4，则（）A. B. a =−2点D. C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为在C 上1当点,)在C (x y 00上时，x 0+4212. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分y 0≤.设双曲线−=>>a bC a b x y :1(0,0)2222左右焦点分别为、F F 12，过F 2作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若||13,||1013. ，则C F A AB 1==的离心率为___________．若曲线=+y x e x 在点(0,1)处的切线也是曲线=++y x a ln(1)的切线，则张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________分别标有数字2，4，6，81，3，5，714. a =__________.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一.的15. 四、解答题：本题共5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin =C B，a b c （1）求B ；（2）222+−=若ABC的面积为16. c 3．已知A (0,3)和⎝⎭⎪⎛⎫P 23,3椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)22（1）求C 的离心率;（2）若过P 上两点22.的直线l 交C 于另一点B ，且ABP17. 的面积为9，求l 的方程．如图，四棱锥−P ABCD 中，底面ABCD PA ⊥，PA AC ==2，BC AB == （1）1,．若⊥AD PB ，证明：（2）PBC AD //平面；若⊥AD DC ，且二面角−−A CP D正弦值为7，求AD ．为18. 已知函数 2−=++−f x ax b x x()ln(1)（1）x3若b =0，且 x ≥f '()0，求（2）a 的最小值；证明：曲线（3）y f x =()是中心对称图形；若f x >−()2当且仅当<<x 12，求19. 设m b 的取值范围．为正整数，数列a a a a 1242,,...,m +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i 和a i j j (<)后剩余的4m 项可被平均分为 组，且每组的m 个数都能构成等差数列，则称数列a a a 1242,,...,m +是（1）(i j ,)−可分数列．写出所有的(i j ,)，≤<≤i j 16，使数列 ,,...,a a a 126是（2）(i j ,)−可分数列；当m ≥3时，证明：数列,,...,m +a a a 1242是（3）(2,13)−可分数列；从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和<j i j )(，记数列,,...,m +a a a 1242是(i j ,)−可分数列的概率为P m ，证明：P >m 81．1.【答案】A 【详解】参考答案因为=<<=−−A x x B |,3,1,0,2,3{}{，且注意到<<12从而AB ，=故选：A.2.【答案】C 【详解】{−1,0}.因为−−−==+=+z z z 11111i z z −+111，所以z =+=−i 11i (4故选：C.3【答案】D 1.【详解】因为)b b a ⊥−，所以)b b a (40⋅−= ，所以b a b −⋅=240即+−=440x x 2，故 故选：D.4.【答案】A x =2，【详解】因为cos (αβ+=)m ，所以 cos cos sin sin αβαβ−=m ，而tan tan 2αβ=，所以= ααβsin sin 2cos cos ，故cos cos 2cos cos αβαβ−=m 即cos cos αβ=−m ，从而sin sin 2αβ=−m ，故cos 3αβ−=−m )故选：A.5. 【答案】B (，【详解】设圆柱的底面半径为r，而它们的侧面积相等，所以=π2πr r=，故r =3，故圆锥的体积为3故选：B.6. 【答案】B 【详解】π⨯=91.因为f x ()在R 上单调递增，且x ≥0时，f x x x)(()=++e ln 1单调递增，则需满足()⎩−≤+⎪⨯−⎪ ⎨⎧−≥21a e ln1−2a0−≤≤10a 0，解得，.即a 的范围是T =2πy x =sin 故选：B.7. 【答案】C 【详解】−[1,0].因为函数的的最小正周期为，函数⎝⎭⎪y x ⎛⎫=−62sin 3π的最小正周期为 T =32π，所以在x ∈[0,2π]上函数⎝⎭⎪y x ⎛⎫=−62sin 3x <8. 【答案】B 【详解】由图可知，两函数图象有6个交点.故选：π有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：C 因为当3时 f x x()=，所以f f (1)1,(2)2==，又因为>−+−f x f x f x ()(1)(2)，则f f f f f f (3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5>+=>+>，>+>>+>>+>f f f f f f f f f (5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21，>+>>+>>+>f f f f f f f f f (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89，f f f f f f f f f >+>>+>>+>11)377(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(>+>>+>f f f f f f (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987，>+>>f f f (16)(15)(14)15971000，则依次下去可知且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.9. 【答案】，则B f >(20)1000正确；BC【详解】依题可知，x s ==2.1,0.012，所以(2.1,0.1YN)，故P Y P Y P Y )() ()，C 正确，D (>=>−=<+≈>2 2.10.1 2.10.10.84130.5错误；因为(1.8,0.1XN )，所以P X P X )()(>=>+⨯2 1.820.1，因为P X )(<+≈1.80.10.8413，所以 P X )(>+≈−=<1.80.110.84130.15870.2，而P X P X P X )()()故选：BC ．10. 【答案】ACD 【详解】对A ，B 正确，A (>=>+⨯<>+<2 1.820.1 1.80.10.2错误，，因为函数f x 的定义域为R ()，而'f x x x x x x 2))(())()((()=−−+−=−−2141313，易知当x ∈(1,3)时，'f x ()<0，当x ∈−(∞,1)或x ∈+(3,∞)时，'f x ()>0函数f x ()在(−∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，故x =3是函数f x 点，正确；对B ()的极小值，当<<x 01时，x x x x −=−>2)(10，所以>>>10x x 2，而由上可知，函数f x ()在(0,1)上单调递增，所以f x f x2)对C ()>(，错误；，当<<x 12时，<−<x 1213，而由上可知，函数 f x ()在(1,3)上单调递减，所以f f x f ())()>−>(1213，即−<−<f x 4210)对D (，正确；，当x −<<10时，−−=−−−−−−=−−>f x f x x x x x x x (2)()12141220222))()()()(()(，所以故选：ACD.11. 【答案】ABD 【详解】对于A −>f x f x (2)()，正确；：设曲线上的动点P x y (,)，则x >−2x a −=4，a04−=，解得对于B ，故A 正确a =−2.x +=24，而x >−2，x +=24)(.当x y ==0=−=2844)(，故)对于C 在曲线上，故B 正确(.：由曲线的方程可得()x +y x =−−216222(2)，取x =23，则494y 2641=−，而⨯−−=−=>−49449449410641645256245，故此时y 2>1，故对于D 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误C .：当点,)在曲线上时，由C (x y 00的分析可得()()++x x 2216160022y x 00=−−≤22(2)，故 −≤≤x x 00++4422故选：ABD.12. ，故D 正确y 0.【答案】2【详解】3由题可知,,A B F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将=x c 代入a b −=x y12222得a y =±b 2，即⎝⎭⎝⎭−⎛⎫⎛⎫a a A c B c ⎪ ⎪,,,b b 22，故a AB ==102b 2，a AF ==52b 2，又AF AF a −=212，得AF AF a a 12=+=+=22513，解得a =4，代入a=5b 2得b 2=20，故c a b 222=+=36,，即c =6，所以a e ===c 4263.故答案为：213. 3【答案】【详解】ln 2由=+y x e x得y '|e 12x =0=+=0y '=+e 1x ，，故曲线=+y xe x在(0,1)处的切线方程为y x =+21；由=++y x a ln 1)(得 x +y '=11，设切线与曲线=++y x a ln 1) (相切的切点为,ln 100()(x x a )++，由两曲线有公切线得y '==x 0+112，解得2x 01=−，则切点为⎝⎭ ⎪−+ ⎛⎫a 22,ln 11，切线方程为⎝⎭ ⎪=+++=++− ⎛⎫y x a x a 222ln 21ln 211，根据两切线重合,所以 a −=ln 20，解得a =ln 2.故答案为：14. ln 2【答案】2【详解】1##0.5设甲在四轮游戏中的得分分别为,,,X X X X 1234，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率⨯===P X k 448163)(，所以 E X k k (1,2,3,4))==83(.从而==E X E X X X X E X k k k823311123444)( )∑∑(()=+++===.记p P X k k k ===)(0,1,2,3)如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8(.，所以A 24114如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6p 0==4；，所以A 24114p 3==4.而的所有可能取值是0，1，2，3X ，故p p p p 0123+++=1，223p p p E X 1233++==().所以12p p 12++=11，822p p 1213++=，两式相减即得242p 211+=，故 2所以甲的总得分不小于2p p 231+=.的概率为 2p p 231+=.故答案为： 215.【答案】（11.） B =3（2π）a b c ab C +−=【小问1详解】由余弦定理有2cos 222，对比已知a b c 222+−=，可得+−ab ab a b c 222cos C ===222，因为C ∈(0,π)，所以sin 0C >，从而C ===2 sin ，又因为sin =C B ，即 2cos B =1，注意到B ∈(0,π)，所以 B =3【小问2详解】由（1π.）可得B =3π，2cos C =，C ∈0,π()，从而C =4π，A =−−=3412 π5πππ，而⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫A ==+=+⨯=124622224sin sin sin 1ππ5π，由正弦定理有==a b c1234sin sin sin ππ5π，从而==== +a c b c 4222,1，由三角形面积公式可知，ABCSab C c c c 的面积可表示为ABC==⋅⋅= +222228sin 由已知21113，ABC的面积为+3，可得 c 8=332所以16. 【答案】（1c =）2（2）1直线l 的方程为3260【解析】【小问1x y −=x y −−=或20.详解】由题意得⎪+=⎪⎪⎪⎧14⎨99⎩a b b =322⎩a ，解得=⎨212⎧b 2=9，所以e ===21【小问2.详解】法一：−k AP==−03223−AP 13，则直线的方程为 y x =−+231，即x y +−=260，==AP ，由（1）知+= x y 129C :122，设点B 到直线AP的距离为d，则d ==25，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移5单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：x y C ++=20，=5，解得C =6或C =−18，当C =6时，联立⎪⎩x y ++=⎪260⎨129+=1⎧x y 22，解得⎩y =−⎨3⎧x =0或⎩⎪⎨y ⎧=−23⎪x =−3，即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,3，当B (0,3−)时，此时k l =23，直线l 的方程为2y x =−33，即3260x y −−=，当⎝⎭ ⎪−−⎛⎫B 23,3时，此时k l=21，直线l 的方程为 =y x 21，即x y −=20，当C =−18时，联立⎪⎩x y +−=⎪2180⎨129+=1⎧x y 22得2271170，此时该直线与椭圆无交点27421172070y y 2−+=，∆=−⨯⨯=−<2.综上直线 l 的方程为x y −−=3260或x y −=20.法二：同法一得到直线AP 的方程为B x y +−=260，点到直线AP 的距离 d =5，B x y ,00)(，则⎩⎪⎪=129+=1x y 0022，解得⎩⎪⎨⎧2y 0=− 3⎪x 0=−3或⎩y 0=−⎨3⎧x 0=0，设即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,，以下同法一3.法三：同法一得到直线AP 的方程为B x y +−=260，点到直线AP的距离 d =5，设B ,3sin θθ)(，其中θ∈π[0,2)= 5，联立cos sin 1θθ+=22，解得⎩⎪⎨⎪⎧2⎪sin θ=−21⎪cos θ=−或⎩θ⎨=−θ=sin 1⎧cos 0，即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,3，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B SPAB(0,3−)，=⨯⨯=26391，符合题意，此时k l =23，直线l 的方程为2y x =−33，即x y −−=3260，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx =+3，联立椭圆方程有⎪⎩⎪129+=1⎨x y ⎧y kx =+322，则43240k x kx 22++=)(，其中k k ≠AP ，即k ≠−21，解得x =0或x =43k 2−24k +，k ≠0， k ≠−21，令x =43k 2−24k +，则+k y =k 43−+12922，则⎝⎭++ ⎪−−+⎛⎫k k B k k 4343 ,24129222同法一得到直线AP 的方程为x y +−=260，点B 到直线AP的距离 d =5，=，解得32 k，此时⎝⎭ ⎪−−⎛⎫B 23,3，则得到此时k l=21，直线l 的方程为 =y x 21，即x y −=20，综上直线 l 的方程为3260x y −=20x y −−=或.法五：当l 的斜率不存在时，⎝⎭⎪=−=⎛⎫l x B PB A 2:3,3,,3, 3到PB 距离d =3，此时SABP=⨯⨯=≠ 22339不满足条件19.当l 的斜率存在时，设−=−2PB y k x :(3)3，令P x y B x y ,,,1122))((，⎪⎪⎪⎪x y ⎩⎧y k x =−+129+=12(3)⎨322，消y 可得+−−+−−=2222 ))(Δ(4324123636270k x k k x k k ，=−−+−−>2222)(()k k ≠)(24124433636270k kk k k ，且AP ，即k ≠−21，⎩+⎪⎨⎪−⎧k 43363627,432⎪x x 12=k k 2−−PB ==k 2+⎪x x 12+=2412k k 2，A 到直线PB 距离9PABd S===21 ，∴=k 21或23，均满足题意，∴=l y x 2:1或2y x =−33，即x y −−=3260或x y −=20.法六：当l斜率不存在时，⎝⎭⎪=−=⎛⎫l x B PB A 2:3,3,,3, 3到PB 距离d =3，此时SABP=⨯⨯=≠ 22339不满足条件19.当直线l 斜率存在时，设2l y k x :(3)=−+3，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则⎝⎭⎪ ⎛⎫Q k 20,3−+3，联立⎪⎨⎩⎪y kx k ⎧=−+343623x y 223+=，则有⎛⎫ ⎪⎝⎭32222)(34833636270+−−+−−=k x k k x k k ，⎛⎫ ⎪⎝⎭32222)(34833636270+−−+−−=k xk k x k k ，其中⎝⎭ ⎪⎛⎫2834343636270Δ=−−+−−>k k k k k 3222)2()(，且k ≠−21，则==++−−−−k kx x B B 3434 3,3636271212922k k k k 22，则+=−=+=S AQ x x k k +P B 2223439k 11312182，解的k =21或32 的，经代入判别式验证均满足题意k .则直线l 为=y x 21或y x =−233，即x y −−=3260或（217. 【答案】（1）x y −=20.证明见解析PA 【解析】【小问1详解】（1）因为⊥平面ABCD ，而 AD ⊂平面ABCD ，所以⊥PA AD ，又⊥AD PB ，PBPA P =，⊂PB PA ,平面PAB ，所以AD ⊥平面 PAB ，而PAB AB ⊂平面，所以 ⊥AD AB .因BC AB AC +=222，所以，⊥BC AB 根据平面知识可知AD BC //，又⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以AD //平面【小问2详解】如图所示，过点D PBC ．作⊥DEAC E ，再过点E 作⊥EF CP 于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面=ABCD AC ，所以⊥DE 平面 PAC ，又⊥EF CP ，所以 CP ⊥平面DEF ，根据二面角的定义可知，∠DFE 即为二面角−−A CP D 的平面角，即DFE 7sin ∠=，即 ∠=DFE tan 因为⊥AD DC ，设=AD x，则=CD，由等面积法可得，DE =2，又CE ==24−x2，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =2，故∠==DFE tan 22x =AD =．为18. 【答案】（1）（3（2）−2证明见解析）b ≥−3b =0【解析】【小问12详解】时，−xf x ax ()=+ln2x，其中x ∈(0,2)，则()− '−x x x x f x a a x ,0,2()()=++=+∈11222，因为⎝⎭x x ⎛⎫⎪2−+2x x2)(21−≤=，当且仅当x =1时等号成立，故=+'f x a 2min ()，而'f x ()≥成立，故a +≥20即a ≥−2，所以a 的最小值为【小问2.−2，详解】−xf x ax b x 3) (()=++−ln12x 的定义域为(0,2)，设P m n(,)为=y f x ()图象上任意一点，P m n (,)关于(1,a )的对称点为Q m a n (2,2−−)，因为P m n ,)(在=y f x ()图象上，故=++−n am b m 2−m mln 1 3)(，而⎣⎦⎢⎥⎡⎤−m m 2f m a m b m am b m a −2m m 33)())(()=−+(2ln221ln 12−=+−+−−=−++−+，n a 2，所以Q m a n(2,2−−)也在=y f x ()图象上，由P 的任意性可得=y f x ()图象为中心对称图形，且对称中心为【小问3(1,a ).详解】因为f x ()>−2当且仅当<<x12，故x =1为f x ()=−2的一个解，所以f)=−(12即a =−2，先考虑<<x12时，f x 恒成立()>−2.此时f x ()>−2即为+−+−>2−x x ln21103) )((x b x 在(1,2)上恒成立，设t x =−∈10,1()，则1−−+>tln 20t bt t +13(0,1)上恒成立，设−g t t bt t 3()()=−+∈ln 2,0,11t +1t，则−'−t tg t bt 112−++32322232 t bt b 22)()(=−+=，当b ≥0，−++≥−++=>32332320bt b b b 2，故'g t ()>0恒成立，故 g t ()在(0,1)上为增函数，故g t g )(00 ()>=即f x 上恒成立(1,2()>−2在).当−≤<3b 0 2时，−++≥+≥323230bt b b 2，故'g t ()≥0恒成立，故 g t ()在(0,1)上为增函数，故g t g )(00()>=即 f x ()>−2在上恒成立(1,2).当b <−32，则当<<<t 01时，'g t ()<0故在⎝ ⎛上g t ()为减函数，故g t g)(00()<=，不合题意，舍；综上，f x ()>−2在(1,2)上恒成立时 b ≥−2.3而当 b ≥−32时，而b ≥−32时，由上述过程可得g t ()在(0,1)递增，故 g t ()>0的解为(0,1)，即 f x >−2()的解为(1,2).综上， b ≥−19. 【答案】（12.3） )()()（3）(1,2,1,6,5,6证明见解析（2(i j ,)−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可；）根据(i j ,)−可分数列的定义即可验证结论；在（3）证明使得原数列是(i j ,)−可分数列的(i j ,)至少有2),,...,m 【小问1详解】个，再使用概率的定义(m m +−1.首先，我们设数列+a a a 1242的公差为d ，则d ≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形'=+=+da k m ka a k 11,2,...,42−1)(，得到新数列a k k m '==+k(1,2,...,42)，然后对,,...,m '''+进行相应的讨论即可a a a 1242.换言之，我们可以不妨设a k k m ==+k 回到原题，第1，此后的讨论均建立在该假设下进行(1,2,...,42).小问相当于从中取出两个数 i 和j i j ，使得剩下四个数是等差数列(<).那么剩下四个数只可能是 1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(i j ,)就是)()()m 【小问2详解】(1,2,1,6,5,6.由于从数列+1,2,...,42中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,61,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14}}{}{{，共3组；②{m m m m −++}} }{{15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42，共m −3组.（如果，则忽略②m −=30）故数列m +1,2,...,42是【小问3可分数列(2,13)−.详解】定义集合=+==+A k k m m }}{{410,1,2,...,1,5,9,13, (41)=+==+B k k m m}}{ {420,1,2,...,2,6,10,14,...,42.下面证明，对≤<≤+i j m 142，如果下面两个命题同时成立，则数列 1,2,...,42m +一定是 命题1(i j ,)−可分数列：：∈∈i A j B ,或命题2∈∈i B j A ,；：我们分两种情况证明这个结论j i −≠3..第一种情况：如果∈∈i A j B ,，且j i −≠3.此时设j k =+422i k =+411，，∈,0,1,2,...,k k m 12}{.则由i j <可知4142k k 12+<+，即 4k k 211−>−，故k k ≥21.此时，由于从数列 m +1,2,...,42中取出i k =+411和 j k =+422后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①−−−1111}}{k k k k}{{1,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4，共k 1组；②++++++++−−+111111112222}}{}{{42,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ，共k k −21组；③++++++++−++22222222}}{ }{ {43,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ，共组m k −2.（如果某一部分的组数为 0，则忽略之）故此时数列m +1,2, (42)可分数列(i j ,)−.第二种情况：如果∈∈i B j A ,，且j i −≠3.此时设i k =+421，j k =+412，∈,0,1,2,..., k k m 12}{.则由<i j 可知4241k k 12+<+，即 4k k 211−>，故k k >21.由于j i −≠3，故+−+≠21))((41423k k ，从而k k 21−≠1，这就意味着k k 21−≥2.此时，由于从数列m +1,2,...,42中取出i k =+421和j k =+412后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①−−−1111}}{k k k k}{{1,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4，共k 1组；②+++++++1121212}{41,31,221,31k k k k k k k ，+++++++1212122 }{32,222,32,42k k k k k k k ，共③2组；全体+++++++1121212} {4,3,22,3k p k k p k k p k k p ，其中3,4,...,21=−p k k ，共k k 21−−2组；④++++++++−++22222222}}{ }{{43,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ，共m k −2组.（如果某一部分的组数为这里对②和③进行一下解释：将③0，则忽略之）中的每一组作为一个横排，排成一个包含4k k 21−−2个行，个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：+++1112}{43,44,...,3k k k k ，+++++121212}{33,34,...,22k k k k k k ，+++++121212}{223,223,...,3k k k k k k ，++++33,34,...,412122}{k k k k k . 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍+++112}{41,42,...,42k k k 中除开五个集合++11}{41,42k k ，++++1212}{31,32k k k k ，221,222k k k k 1212++++}{，++++31,321212}{k k k k ，++22}中的十个元素以外的所有数{41,42k k .而这十个数中，除开已经去掉的42 k 1+和41以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数k 2+.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列m +1,2,...,42是可分数列(i j ,)−.至此，我们证明了：对≤<≤+i j m ，如果前述命题1和命题2142同时成立，则数列的个数(i j ,可分数列.(i j ,)m +1,2,...,42一定是−然后我们来考虑这样的).首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有个元素，故满足命题1m +1的(i j ,)总共有2(m +1)个；而如果j i −=3，假设∈∈i A j B ,，则可设i k =+411，j k =+422，代入得+−+=21 ))((42413k k .但这导致 2k k 211−=，矛盾，所以∈∈i B j A ,.设i k =+421，j k =+412，∈,0,1,2,...,k k m 12}{，则+−+=21) )((41423k k ，即k k 21−=1.所以可能的,)(k k 12恰好就是(0,1,1,2,...,1,)()(m m −)，对应的m m (i j ,)分别是−+2,5,6,9,...,42,41)()()(，总共个m .所以这2个满足命题1(m +1)的)中，不满足命题2(i j ,的恰好有这就得到同时满足命题1和命题2个m .的(i j ,)的个数为2)(m m +−1.当我们从m +1,2,...,42中一次任取两个数i 和j i j (<)时，总的选取方式的个数等于=++2)((2141m m))()(4241m m ++.而根据之前的结论，使得数列,,...,m +a a a 1242是(i j ,)−可分数列的(i j ,)至少有 2)个(m m +−1.所以数列a a a 1242,,...,m +是(i j ,)−可分数列的概率))))P m 一定满足(()(()(()(()⎝⎭ ⎪P ⎛⎫≥=>==m m ++214121412142221218m m m m m m m m m +m ++++++++42m m ++11122212)这就证明了结论(m m +−1..。
高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新高考数学全国(1)卷高考真题(带解析)
新高考数学全国（1）卷高考真题（带解析）一、单选题1．设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．已知2i z=-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +3．其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．4．下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．66．若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．657．若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立二、多选题9．有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ） A ．两组样本数据的样本平均数相同 B ．两组样本数据的样本中位数相同 C ．两组样本数据的样本标准差相同 D ．两组样数据的样本极差相同10．已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 11．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ） A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =12．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P三、双空题13．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .四、填空题14．已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.15．已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 16．函数()212ln f x x x =--的最小值为______.五、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.18．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19．记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.20．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()117,0F 、()21217,02F MF MF -=，点M 的轨迹为C . （1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. 22．已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.参考答案1．B 【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B . 2．C 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C. 3．B 【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=l =故选：B. 4．A 【分析】 解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数． 5．C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ． 【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.6．C 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++ ()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 7．D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 8．B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立 9．CD【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误. 【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD 10．AC 【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP ==，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α====，同理2||(cos 2|sin|2AP β==，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误； 故选：AC 11．ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误. 【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=， 圆心M 到直线AB 的距离为22525411545512+⨯-==>+，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为11542-<，最大值为115410+<，A 选项正确，B 选项错误； 如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22052534BM =-+-=4MP =，由勾股定理可得2232BP BM MP =-=CD 选项正确.故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+. 12．BD 【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数． 【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB BC λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确． 对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1A ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()110A P BP μμ⋅=-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0,0A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以01,2AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 13．5 ()41537202n n -+-【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )； 故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3102⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()2dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n +种（证明从略），故得猜想1120(1)2n n n S -+=，设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑，则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++， 两式作差得：()211201111124012022222n nn S -+⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ ()11601120122401212n nn -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-， 因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-. 故答案为：5；()41537202n n -+-. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 14．1 【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值. 【详解】因为()()322x xx a f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=， 时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =， 故答案为：1 15．32x =- 【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p , 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =- 故答案为：32x =-. 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 16．1 【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值. 【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.17．（1）122,5b b ==；（2）300. 【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项. （2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++-，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++= 又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，*()k N ∈ 故2223k k a a +=+，即13n n b b +=+，即13n n b b +-= 所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-. （2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-，所以()20241820210S a a a a =++++-()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题. 18．（1）见解析；（2）B 类． 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=； ()()200.810.60.32P X ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=； ()()800.610.80.12P Y ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=． 因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题． 19．（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有ac BDb=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b bBD b AD DC===，应用余弦定理求cos ADB∠、cos CDB∠，又ADB CDBπ∠=-∠，可得42221123b baa+=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC∠. 【详解】（1）由题设，sinsina CBDABC=∠，由正弦定理知：sin sinc bC ABC=∠，即sinsinC cABC b=∠，∴acBDb=，又2b ac=，∴BD b=，得证.（2）由题意知：2,,33b bBD b AD DC===，∴22222241399cos24233b bb c cADBb bb+--∠==⋅，同理2222221099cos2233b bb a aCDBb bb+--∠==⋅，∵ADB CDBπ∠=-∠，∴2222221310994233b bc ab b--=，整理得2221123ba c+=，又2b ac=，∴42221123b baa+=，整理得422461130a ab b-+=，解得2213ab=或2232ab=，由余弦定理知：222224cos232a cb aABCac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB π∠=-∠得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC ∠.20．(1)详见解析(2) 6【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ， 因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FMEF F =,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角, 4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以OCD 为直角三角形 因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF ∴==+= 从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥平面BCD,所以11111332BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21．（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b的值，即可得出轨迹C 的方程； （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ⋅的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ⋅的表达式，由TA TB TP TQ ⋅=⋅化简可得12k k +的值. 【详解】因为12122217MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，2174b a =-=，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点， 不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+=⎪⎝⎭， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >. 由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616t k t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=. 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 22．（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间； （2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<， 故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=， 故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<， 故21x e <<. 先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<， 故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<. 设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦， 因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=， 故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立， 综上，122x x +>成立. 设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<， 即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->， 则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭， 先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+. 设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==， 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立， 故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=， 故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立. 综上所述，112e a b<+<. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。
2020年高考理科数学(1卷)：答案详细解析(客观题 最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514- B.512 C.514+ D.512+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点， 1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国高考数学理科(全国I卷)试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：1、设z=, 则∣z∣=（）A.0B. 12C.1D.√22、已知集合A={x|x2-x-2>0}, 则C R A =（）A、{x|-1<x<2}B、{x|-1≤x≤2}C、{x|x<-1}∪{x|x>2}D、{x|x≤-1}∪{x|x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番, 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A.新农村建设后, 种植收入减少B.新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后, 养殖收入增加了一倍D.新农村建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记Sn为等差数列{an}的前n项和, 若3S3= S2+ S4, a1=2, 则a5=（）A、-12B、-10C、10D、125、设函数f（x）=x³+（a-1）x²+ax .若f（x）为奇函数, 则曲线y= f（x）在点（0, 0）处的切线方程为（）A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x6、在∆ABC中, AD为BC边上的中线, E为AD的中点, 则EB→=（）A.34AB→ - 14AC→ B. 14AB→ - 34AC→ C. 34AB→ + 14AC→ D. 14AB→ + 34AC→建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例7、某圆柱的高为2, 底面周长为16, 其三视图如右图。
圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A, 圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B, 则在此圆柱侧面上, 从M 到N 的路径中, 最短路径的长度为（ ）A. 2√17B. 2√5C. 3D. 28.设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F, 过点（-2, 0）且斜率为23的直线与C 交于M, N 两点, 则FM→ ·FN→ =( )A.5B.6C.7D.8 9.已知函数f （x ）= g （x ）=f （x ）+x+a, 若g （x ）存在2个零点, 则a 的取值范围是( )A. [-1, 0）B. [0, +∞）C. [-1, +∞）D. [1, +∞）10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
2022年全国统一高考数学卷(新高考1卷)含答案解析(原卷版)
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考1卷）数学副标题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 四 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若集合M ={x|√x <4}，N ={x|3x ≥1}，则M ∩N =( ) A. {x|0≤x <2} B. {x|13≤x <2} C. {x|3≤x <16}D. {x|13≤x <16}2. 若i(1−z)=1，则z +z = A. −2B. −1C. 1D. 23. 在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3m⃗⃗⃗ −2n ⃗ B. −2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ C. 3m⃗⃗⃗ +2n ⃗ D. 2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km 2;水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(√7≈2.65)( )A. 1.0×109m 3B. 1.2×109m 3C. 1.4×109m 3D. 1.6×109m 35. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 16B. 13C. 12D. 236. 记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T <π，且y =f(x)的图像关于点 (3π2,2)中心对称，则f(π2)=( )A. 1B. 32C. 52D. 37. 设a =0.1e 0.1，b =19，c =−ln0.9，则( ) A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. a <c <b8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A. [18,814]B. [274,814]C. [274,643]D. [18,27]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
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理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（A）1 （B（C（D）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）（B（C）12-（D）12（3）设命题P：∃n∈N，2n>2n，则⌝P为（A）∀n∈N, 2n>2n（B）∃ n∈N, 2n≤2n（C）∀n∈N, 2n≤2n（D）∃ n∈N, 2n=2n（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ） （B ） （C ） （D ）（5）已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <u u u u r u u u u r g ，则0y 的取值范围是（A ）（， （B ）（，（C ）（3-，3） （D ）（3-，3） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有斛 斛 斛 斛（7）设D 为V ABC 所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r ，则（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r (B) 1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r （C ）4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r (D) 4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r （8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 (A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B) 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈ （9）执行右面的程序框图，如果输入的t=，则输出的n=（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =（A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8 12. 设函数()(21)x f x e x ax a =--+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A.3[,1)2e - B. 33[,)24e - C. 33[,)24e D. 3[,1)2e第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a =（14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。
（15）若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则y x 的最大值为 .（16）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+，（Ⅰ）求{}n a 的通项公式： （Ⅱ）设11n n n b a a += ,求数列{}n b 的前n 项和。
（18）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC 。
（1）证明：平面AEC ⊥平面AFC（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,...,8)i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
表中i w =81i i w w ==∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-。
根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1122(,),(,),...,(,)n n u v u v u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交与,M N 两点， （Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由。
（21）（本小题满分12分）已知函数31(),()ln 4f x x axg x x =++=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O e 的直径，AC 是O e 的切线，BC 交O e 于E（I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是O e 的切线；（II ） 若3OA CE =，求∠ACB 的大小.?（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中。
直线1C :2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程；（II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN V 的面积（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围参考答案一．选择题（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D二．填空题（13）1 （14）22325()24x y -+= （15）3 （16）三．解答题（17）解：（Ⅰ）由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+可得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即由于0n a >，可得12n n a a +-=又2111243a a a +=+，解得11a =-（舍去），13a =所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+…………………6分（Ⅱ）由21n a n =+可知设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则3(23)n n =+…………………………………………………………………………12分（18）解： （Ⅰ）连结BD ，设BD AC G ⋂=，连结,,EG FG EF在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由120ABC ∠=o ，可得AG GC ==由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =，又AE EC ⊥，所以EG =，且EG AC ⊥在Rt EBG V 中，可得BE =，故2DF =在Rt FDG V 中，可得2FG =，在直角梯形BDFE 中，由2,2BD BE DF ===，可得2EF =从而222EG FG EF +=，所以EG FG ⊥又AC FG G ⋂=，可得EG ⊥平面AFC因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC …………………………6分（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB uuu r 为单位长，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得(0,3,0)A -，(1,0,2)E ，2(1,0,)2F -，(0,3,0)C ， 所以2(1,3,2),(1,3,)2AE CF ==--u u u r u u u r …………………………………10分 故3cos ,||||AE CF AE CF AE CF <>==-u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为3…………………………12分 （19）解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c d x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型………………2分（Ⅱ）令w x =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于所以y 关于w 的线性回归方程为^100.668y w =+，因此y 关于x 的线性回归方程^100.668y x =+…………………………………………6分（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y 的预报值年利润z 的预报值^576.60.24966.32z=⨯-=…………………………………9分（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值13.66.82==，即46.24x=时，^z取得最大值，故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大……………12分（20）解：（Ⅰ）由题设可得),()M a N a-，或(),)M a N a-又2xy'=，故24xy=在x=C在点)a处的切线方程为y a x-=-y a--=24xy=在x=，C在点()a-处的切线方程为y a x-=+y a++=故所求切线方程为0y a--=和0y a++= (5)分（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)P b为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y，直线,PM PN的斜率分别为12,k k将y kx a=+代入C的方程得2440x kx a--=故12124,4x x k x x a+==-从而121212y b y bk kx x--+=+当b a =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以点(0,)P a -符合题意…………………………12分（21）解：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则00()0,()0f x f x '==，即 解得013,24x a ==- 因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线…………………………5分 （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<，故()h x 在(1,)+∞无零点当1x =时，若54a ≥-，则5(1)0,(1)min{(1),(1)}(1)04f a h f g g =+≥===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则(1)0,(1)min{(1),(1)}(1)0f h f g f =<==<，故1x =不是()h x 的零点。