2021年河南省郑州市新郑第一高级中学高一数学理上学期期末试题含解析

2021年河南省郑州市新郑第一高级中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是选项图中的（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】根据直观图，结合三视图规则，可得该几何体的俯视图
【解答】解：根据直观图，结合三视图规则，可得该几何体的俯视图是，
故选C．
2. 已知，，点是线段上的点，且，则点的坐标是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
参考答案：
D
3.
参考答案：
C 略
4. 函数的定义域为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
5. 已知等比数列满足，则（）
A．36 B．64 C．108 D．128
参考答案：
C
6. 设,,
若,则实数的范围是
A． B. C． D．参考答案：
D
7. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
8. 已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）
A．l与C相交B．l与C相切
C．l与C相离D．以上三个选项均有可能
参考答案：
A
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题．
【分析】将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交．
【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，
∴圆心C（2，0），半径r=2，
又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，
∴点P在圆C内，又直线l过P点，
则直线l与圆C相交．
故选A．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，以及点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的关系来确定：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r 时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离（d表示圆心到直线的距离，r为圆的半径）．
9. 下列命题中正确的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据向量的加减法的几何意义以及向量数乘的定义即可判断。

【详解】，，，，故选D．【点睛】本题主要考查向量的加减法的几何意义以及向量数乘的定义的应用。

10. 设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，，则公比q=（）
A. －3
B. 3
C. ±2
D. 2
参考答案：
D
【分析】
根据题意，求得，结合，即可求解，得到答案.【详解】由题意，正项等比数列满足，，
即，，所以，
又由，因为，所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了的等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F，G分另AC，BD，BC的中点，则下列命题中正确的是．（将正确的命题序号全填上）
①EF∥AB；②EF是异面直线AC与BD的公垂线；
③CD∥平面EFG；④AC垂直于截面BDE．
参考答案：
②③④
【考点】L3：棱锥的结构特征．
【分析】根据中位线定理和空间线面位置的判定与性质判断．
【解答】解：设AD的中点为M，连接FM，则AB∥FM，
∵FM与EF相交，
∴EF与AB为异面直线，故①错误；
由△ABC≌△ADC可得BE=DE，
∴EF⊥BD，同理可得EF⊥AC，
∴EF是异面直线AC与BD的公垂线，故②正确；
由中位线定理可得FG∥CD，∴CD∥平面EFG，故③正确；
∵AB=BC，∴BE⊥AC，同理可得：DE⊥AC，
∴AC⊥平面BDE．故④正确．
故答案为：②③④．
12. 用列举法表示：大于0且不超过6的全体偶数的集合
_________.
参考答案：
.
13. 在等差数列中,，则=_________.
参考答案：
14. 设向量、满足?=﹣8，且向量在向量方向上的投影为﹣3
，则|
|= ．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模． 【分析】根据投影的定义计算即可．
【解答】解：因为向量在向量方向上的投影为==﹣3，
所以||= 故答案为：
15. 设函数，如下结论中正确的是 ．（写出所有正确结论的编号）：
①点是函数f （x ）图象的一个对称中心； ②直线x=
是函数f （x ）图象的一条对称轴；
③函数f （x ）的最小正周期是π；
④函数f （x ）在上为增函数；
⑤将函数f （x ）的图象向右平移
个单位后，对应的函数是偶函数．
参考答案：
②③⑤
【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①，（﹣
）是函数f （x ）图象的一个对称中心；
②，f （
）=0为最小值，故直线x=
是函数f （x ）图象的一条对称轴；
③，根据函数f （x ）的正周期计算法则可得； ④，2×（﹣
）=﹣
，2×
=
，函数y=cosx 在（﹣
）上不单调；
⑤，将函数f （x ）的图象向右平移个单位后，对应的函数是y=cos2x+1，是偶函数； 【解答】解：对于①，∵（﹣）是函数f （x ）图象的一个对称中心，故错；
对于②，∵f（
）=0为最小值，故直线x=
是函数f （x ）图象的一条对称轴，正确；
对于③，函数f （x ）的最小正周期是π，正确； 对于④，2×（﹣
）=﹣
，2×
=
，函数y=cosx 在（﹣
）上不单调，故错；
对于⑤，将函数f （x ）的图象向右平移个单位后，对应的函数是y=cos2x+1，是偶函数，故正
确；
故答案为：②③⑤
【点评】本题考查了三角函数的图象及性质，属于基础题．
16. 已知函数
，则
的值为 ▲ .
参考答案：
－4
由题意得
．
17. 已知，则的值为________________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 求值：（1）；
（2）．
参考答案：
（1）1；（2）.
19. （16分）设f（x）=（m＞0，n＞0）．
（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是奇函数，求m与n的值；
（3）在（2）的条件下，求不等式f（f（x））+f（）＜0的解集．
参考答案：
考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：（1）举出反例即可得证，比如计算f（﹣1），f（1）即可；
（2）运用奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x），化简得到恒等式，解方程，即可求得m，n；（3）判断f（x）是R上单调减函数，再由奇函数可得f（f（x））+f（）＜0，即为f（x）＞﹣，运用指数函数的单调性，即可解得．
解答：（1）当m=n=1时，，
由于，，
所以f（﹣1）≠﹣f（1），
则f（x）不是奇函数；
（2）f（x）是奇函数时，f（﹣x）=﹣f（x），
即对定义域内任意实数x成立．
化简整理得（2m﹣n）?22x+（2mn﹣4）?2x+（2m﹣n）=0，
这是关于x的恒等式，即有，
解得或．
经检验符合题
意．
（3）由（2）可知，
易判断f（x）是R上单调减函数；
由得：
解得，x＜log23，
即f（x）＞0的解集为（﹣∞，log23）．
点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题和易错题．
20. （本小题满分10分）
已知函数对任意都有恒成立，
（1）求实数的值；
（2）设函数对于任意都有恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
21. 定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
已知函数f（x）=1+a?+，
（1）当a=﹣时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）把a=﹣代入函数的表达式，得出函数的单调区间，结合有界函数的定义进行判断；（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．令，对
t∈（0，1]恒成立，设，，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出a的值．
【解答】解：（1）当时，，令，
∵x＜0，∴t＞1，；
∵在（1，+∞）上单调递增，
∴，即f（x）在（﹣∞，1）的值域为，
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
∴函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数；
（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．
即：﹣4≤f（x）≤4，令，
∵x≥0，∴t∈（0，1]
∴对t∈（0，1]恒成立，
∴，
设，，由t∈（0，1]，
由于h（t）在t∈（0，1]上递增，P（t）在t∈（0，1]上递减，
H（t）在t∈（0，1]上的最大值为h（1）=﹣6，
P（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=2
∴实数a的取值范围为[﹣6，2]．
【点评】本题考查了函数的值域问题，考查了新定义问题，考查了函数的单调性，函数的最值问题，是一道综合题．
22. 在凸四边形ABCD中，．
（1）若，，，求sin B的大小．
（2）若，且，求四边形ABCD的面积．
参考答案：
(1) ；(2)
【分析】
（1）在中利用余弦定理可求得，从而可知，求得；在中利用正弦定理求得结果；（2）在中利用余弦定理和可表示出
；在中利用余弦定理可得，从而构造出关于
的方程，结合和为锐角可求得；根据
化简求值可得到结果.
【详解】（1）连接
在中，，，由余弦定理得：
，则
在中，由正弦定理得：，解得：
（2）连接
在中，由余弦定理得：
又
在中，由余弦定理得：
，即
又
为锐角
，
则四边形面积：
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用；关键是能够利用余弦定理构造出关于角的正余弦值的方程，结合同角三角函数的平方关系构造方程可求得三角函数值；易错点是忽略角的范围，造成求解错误.。