考点28 空间几何体的表面积与体积-2020年高考数学(文)考点一遍过

专题28 空间几何体的表面积与体积
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
一、柱体、锥体、台体的表面积
1．旋转体的表面积
2．多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.
棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：
二、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体、锥体、台体的体积公式
2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系
3．必记结论
（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 三、球的表面积和体积 1．球的表面积和体积公式
设球的半径为R ，它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为3
4π3
R . 2．球的切、接问题（常见结论）
（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是
1
2
a ；正方体的外接球半径是2a ；与正方体所
有棱相切的球的半径是
2
a ．
（2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h
（3）若正四面体的棱长为a ；与
． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
考向一 柱体、锥体、台体的表面积
1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏. 3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.
典例1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A ．5π
B ．6π
C ．6π2+
D ．5π2+
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成， 其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+， 故选D ．
【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱．
典例2 若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底边长为2，1AC 与底面ABCD 成45°角，则三棱锥1B ACC -的表面积为
A ．6+
B ．4+
C ．8
D ．10【答案】A
【解析】由1AC 与底面ABCD 成45°角，且正四棱柱1111ABCD A B C D -的底边长为2，可知棱柱的高为
故三棱锥1B ACC -的表面积为1111
222262222
⨯⨯+⨯+⨯⨯=+ 故答案为A.
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A ．46
B ．48
C ．50
D ．52
2．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，
起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为
A．192 B．186
C．180 D．198
考向二柱体、锥体、台体的体积
空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：
（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．
①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.
②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．
（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
典例3 如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ．40
B ．103
C ．
163
D ．
803
【答案】D
【解析】根据三视图可得，该几何体是三棱柱BCE AGF -割去一个三棱锥A BCD -所得的几何体，如图所示：
所以其体积为11118044444423223V ⎛⎫
=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
. 故选D.
典例4 如图，几何体EF −ABCD 中，DE ⊥平面ABCD ，CDEF 是正方形，ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AD ⊥DC ，
△ACB 是腰长为2√2的等腰直角三角形．
（1）求证：BC ⊥AF ；
（2）求几何体EF −ABCD 的体积.
【解析】（1）因为△ACB 是腰长为2√2的等腰直角三角形， 所以AC ⊥BC .
因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥BC . 又DE//CF ，所以CF ⊥BC ， 又AC ∩CF =C ，所以BC ⊥平面ACF . 所以BC ⊥AF .
（2）因为△ABC 是腰长为2√2的等腰直角三角形， 所以AC =BC =2√2,AB =√AC 2+BC 2=4，
所以AD =BCsin∠ABC =2√2×sin45°=2,CD =AB −BCcos∠ABC =4−2√2×cos45°=2. 所以DE =EF =CF =2，
由勾股定理得AE =√AD 2+DE 2=2√2， 因为DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ⊥AD .
又AD ⊥DC,DE ∩DC =D ， 所以AD ⊥平面CDEF .
所以111
333
△几何体几何体几何体四边形=ABC EF ABCD A CDEF F ACB CDEF V V V S AD S CF CD DE AD ---=+⋅+⋅⋅⋅=
+ 1111116
2222323323
AC BC CF ⨯⋅⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=.
3，则a 的值为
A
B ．
3
C ．
D 4．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M 为棱BC 的中点，13BB =，
1AB 160CBB ∠=︒.
（1）求证：AM ⊥平面11BCC B ； （2）求斜三棱柱111ABC A B C -的体积.
考向三 球的表面积和体积
1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.
2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和
侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.
4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截
面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式：d =
典例5 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 A ．8π B ．12π C ．20π D ．24π
【答案】C
【解析】如图，由题可知，底面△ABC 为直角三角形，且
则BC =
=，
则球O
则球O 的表面积24π20πS R ==. 故选C.
典例6 四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为
9π
2
的同一球面上，则PA 的长为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．
12
【答案】C
【解析】连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，可得OE ∥P A ，
∵PA ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥底面ABCD ，
可得O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，设球的半径为R ，
可得12R PC ==3
49ππ32⋅=， 解得P A =1. 故选C ．
5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是
A ．16π
B ．14π
C ．12π
D ．8π
6．已知,,,A B C D 是某球面上不共面的四点，且1AB BC AD ===，BD AC == BC AD ⊥，则
此球的体积为
A B
C
D 考向四 空间几何体表面积和体积的最值
求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：
一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.
典例7 如图,A 1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于A ,B 的任意一点,A 1A =AB =2.
（1）求证：BC ⊥平面A 1AC ;
（2）求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.
【解析】（1）因为C 是底面圆周上异于A ,B 的任意一点,且AB 是圆柱底面圆的直径, 所以BC ⊥AC .
因为AA 1⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 所以AA 1⊥BC . 又AA 1∩AC =A , 所以BC ⊥平面AA 1C .
（2）方法一：设AC=x(0<x<2),
在Rt△ABC中,BC=√AB2−AC2=√4−x2,
故V
三棱锥A1−ABC =1
3
S△ABC×AA1=1
3
×1
2
×AC×BC×AA1=
1
3
x√4−x2=1
3
√x2(4−x2)=1
3
√−(x2−2)2+4.
因为0<x<2,0<x2<4,
所以当x2=2,即x=√2时,三棱锥A1-ABC的体积取得最大值2 3 .
方法二：在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2=4,
从而V
三棱锥A1−ABC =1
3
S△ABC×AA1=1
3
×1
2
×AC×BC×AA1=
1
3
AC×BC≤1
3
×AC2+BC2
2
=2
3
,当且仅当AC=BC=√2时等号
成立.
所以三棱锥A1-ABC的体积的最大值为2 3 .
7．表面积为16π的球内接一个正三棱柱,则此三棱柱体积的最大值为
A．4 B．√10
C．8 D．√15
1．3,3,6这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
A．12π B．18π
C．36π D．6π
2．△ABC的斜二侧直观图如图所示，则△ABC的面积为
A．
2
2
B．1
C D．2
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．1B．2
C．3D．6
4．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为
A．B．4
C．2+D．4+
5．一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为
A．20πB．20√2π
C．16πD．16√2π
6．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）
A ．24642
B ．26011
C ．52022
D ．78033
7．如图所示，半径为4的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为
A ．24π
B ．28π
C ．32π
D ．36π
8．已知圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =，且圆锥的体积18πV =，则圆锥的表面积为
A ．
B ．9(1π+
C ．
D ．9(1π+
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ．31π6
B ．16π3
C ．
17π3
D ．
35π6
10．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且
有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的体积为l ，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于
A ．17π
B ．18π
C ．19π
D ．20π
11．如图，网格纸上小正方形的边长为a ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为3+，
则a 的值为
A ．1
4 B ．
13
C ．
12
D ．1
12．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且
60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于
A ．28π
B ．20π
C ．7π
D ．5π
13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
的体积为__________.
14．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为
2
π3
的扇形，则该圆锥的体积为__________.
15．将若干毫升水倒入底面半径为4cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是__________cm.
16．正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积
是 ．
17．已知三棱锥P ABC -的外接球半径为2，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，PA AC =，则该三棱锥体积
的最大值为__________．
18．已知四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，则四面体ABCD 的体积为
__________.
19．如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，
AB BC ⊥，平面QD ABCD ⊥，∥PA QD ，1PA =，2AD AB QD ===.
（1）求证：平面平面PAB QBC ⊥； （2）求该组合体QPABCD 的体积.
1．（2019年高考浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324
2．（2018新课标I 文科）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为
30︒，则该长方体的体积为
A ．8 B
．C
．
D
．
3．（2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是
A ．2
B ．4
俯视图
正视图
C ．6
D ．8
4．（2018新课标I 文科）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得
的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A ．
B ．12π
C ．
D ．10π
5．（2018年高考新课标Ⅲ文科）设A B C D ，，
，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角
形且其面积为D ABC -体积的最大值为 A
．B ．C ．
D ．
6．（2017新课标全国Ⅲ文科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
7．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ．
3π4 C ．
π
2
D ．π4
8．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是
A ．12π+
B ．32π+
C ．
312
π+ D ．
332
π+ 9．（2019年高考全国Ⅲ卷文科）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分
别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
10．（2019年高考北京卷文科）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果
网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
11．（2019年高考天津卷文科）
底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
12．（2019年高考江苏卷）如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD
的体积是 ▲ .
13．（2017山东文科）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积
为 .
14．（2017天津文科）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球
的体积为___________．
1
4
15．（2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的
体积为1V ，球O 的体积为2V ，则
1
2
V V 的值是 .
16．（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
17．（2018天津卷文）如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1–BB 1D 1D 的体积为
__________．
18．（2018新课标II 文科）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30 ，
若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．
19．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若
平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S −ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 20．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1
上，BE ⊥EC 1．
（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；
（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．
21．（2017新课标全国Ⅰ文科）如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o ．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，且四棱锥P −ABCD 的体积为8
3
，求该四棱锥的侧面积．
22．（2018新课标I 文科）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折
痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且
2
3
BP DQ DA
==，求三棱锥Q ABP
-的体积．
1．【答案】B
【解析】该几何体是如图所示的一个四棱锥P ABCD
-，
棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，
4个侧面都是直角三角形，
由所给数据可得该几何体的表面积为
3454
24448
22
S
⨯⨯
⎛⎫
=⨯++⨯=
⎪
⎝⎭
，
故选B．
2．【答案】A
【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为263
，，，下部分为长方体，棱长分别为663
，，，
其表面积为()
4632662623192
S=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=.
故选A.
【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算. 3．【答案】A
【解析】由三视图可知，几何体的直观图如图：
是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，
的等腰直角三角形，高为a ，
所以体积为2
1
11
2
32
a ⨯
⨯+⨯2
a ⨯
⨯=
解得a =
故选A ．
【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 4．【解析】（1）如图，连接1B M ，
因为底面ABC 是边长为2的正三角形，
所以AM BC ⊥，且AM = 因为13BB =，160CBB ∠=o
，1BM
=，
所以2
2
2
113213cos607B M =+-⨯⨯⨯=o
，
所以1B M =
又因为1AB =
所以2
2
2
1110AM B M AB +==， 所以1AM B M ⊥， 又因为1B M BC M =I ， 所以AM ⊥平面11BCC B .
（2）设斜三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，
则111193323sin 60.3
22A B BC B BC V V S AM -==⨯⋅=
⨯⨯⨯=o △ 所以斜三棱柱111ABC A B C -的体积为9
.2
【名师点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题.（1）根据底面为正三角形，易得AM BC ⊥；由各边长度，结合余弦定理，可求得1B M 的值，再根据勾股定理逆定理可得1AM B M ⊥，从而可证AM ⊥平面11BCC B ；（2）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解. 5．【答案】A
【解析】由三视图知：几何体是球体切去14后余下的部分，球的半径为2，∴几何体的表面积S =（1﹣14
）×4π×22+π×22=16π．故答案为A.
【名师点睛】(1)本题主要考查由三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法. 6．【答案】A
【解析】由222
AB AD BD +=，得AB AD ⊥，又BC AD ⊥，所以AD ⊥平面ABC ，则AD AC ⊥，
又222
AB BC AC +=,所以,ABC ACD △△都是直角三角形，由三棱锥的外接球的性质知，球心O 为
CD 的中点，且CD =球的半径1
2R CD ==，所以球的体积
A ．
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.先确定三角形BCD 外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积公式得结果. 7．【答案】C
【解析】由题意,得该球的半径为2,设正三棱柱的侧棱长为2ℎ(0<ℎ<2),底面边长为a ,如图，
则O A '=
,O ′
O =ℎ,ℎ2+(√3a 3
)2=4，即a 2=12−3ℎ2，
则该正三棱柱的体积为()22124222V a h h h ⎛=⨯⋅=- ⎝
⎭，
则()2432
V h '=
-，
当0h <<
时，V ′>0
2h <<时，V ′<0，
即当h =
()24V h =-取到极大值,也是最大值，为8, 故所求三棱柱的体积的最大值为8.故选C ．
1．【答案】A
=，
所以该球的表面积是2
4π
12πS ==，故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的
外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果. 2．【答案】D
【解析】∵1OA =，2OB =，45ACB ∠=︒， ∴原图形中两直角边长分别为2，2， 因此，Rt △ABC 的面积为1
2222
S =⨯⨯=． 故选D ． 3．【答案】B
【解析】由题意可知该几何体的形状如图：
1AC =，2CD =，3BC =，AC CD ⊥，四边形BCDE 是矩形，AC BC ⊥，
所以该几何体的体积为：123123
⨯⨯⨯=．故选B ．
【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键． 4．【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的正四棱锥：
底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．
故该几何体的表面积为122422422
S =⨯+⨯⨯⨯⨯=+ 故选D ． 5．【答案】A
【解析】用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2,所以球的半径为√1+4=√5，所以表面积为4π⋅5=20π.故选A. 6．【答案】B
，一个秋天工期所需人数为7803300
26011300
=，故选B.
7．【答案】C
【解析】由题意知，球的半径4R =，所以球的表面积为24π64πR =.
设圆柱的底面半径为r 、高为h ，则2
2242h r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，得22464r h +=， 即22644h r =-，
所以圆柱的侧面积2π224S rh ====
4<4 )r =<，
所以当28r =，即r =32π. 此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是64π32π32π-=. 故选C. 8．【答案】D
【解析】圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =，∴2h r =，
又圆锥的体积18πV =，即3
212ππ18π33
r r h ==，
解得3r =， ∴6h =，
母线长为l ==
则圆锥的表面积为22πππ3π39(1πS rl r =+=⨯⨯⨯=+．
故选D ．
9．【答案】A
【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体是在一个半球中挖出四分之一圆锥， 其中球的半径为2R =，圆锥的底面半径为1r =，高为2h =， 故所求体积为32141131
π2π12π23436
V =⨯⋅⋅-⨯⋅⋅⋅=，故选A ． 10．【答案】A
【解析】由题意，因为PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =， 又鳖臑P ADE -的体积为1，所以111
211332
△P AED AED V PA S PA -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 解得3PA =，
而阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线，
所以2
222244917R AD AB AP =++=++=（），即2417R =，
则外接球的表面积为24π17πR =． 故选A ．
【名师点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．
（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究棱锥的外接球的问题． 11．【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的直三棱柱ABE DCF -，
其中3AB BC BE a ===，AE ==，
则2
92
△△ABE CDF S S a ==
，2ADFE S =长方形，
所以该几何体的表面积为222279(33a a +=+=+，得1
3
a =
.故选B ．
12．【答案】D
【解析】在底面三角形ABC 中，由1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，
利用余弦定理可得：BC == ∴222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，
取D 为AB 中点，则D 为△BAC 的外心，可得三角形ABC 外接圆的半径为1，
设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，连接OP ，则OP ==
即三棱锥P ABC -的外接球的半径为2
R =
．
∴三棱锥的外接球的表面积等于2
4π5π⨯=⎝⎭
．
故选D ． 13．【答案】2π
【解析】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个
1，
则体积为2
1
2π12π3
⨯⨯
⨯=.
故答案为2π.
14．【答案】
π3
【解析】因为展开图是半径为3，圆心角为
2
π3
的扇形，所以圆锥的母线3l =，圆锥的底面的周长为
2
π32π
3
⨯=，因此底面的半径1r =，根据勾股定理，可知圆锥的高h =
所以圆锥的体积为21π1π33
⋅⨯=. 15．【答案】4√183
【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为h cm,则水面圆的半径为h tan30°=3h ,则由π×42×8=13×(3
h )2
× πh ,解得h =4√183.
16．【答案】(85π-
【解析】如图，球O 是正三棱锥P ABC -的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．
PH 是正三棱锥的高，即1PH =．E 是BC 边中点，H 在AE 上，ABC △的边长为62，
所以6
HE =
=PE =12PAB PAC PBC S S S BC PE ===⋅△△△=，
(2
ABC
S ==△P ABC O PAB O PAC O PBC V V V V ----=++O ABC V -+，
所以111133
33R R ⨯=
⨯⨯+⨯，解得：2R ==，
所以此球的表面积是)
(2
4π2
85πS =⨯
=-．
【名师点睛】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．
17．【答案】
3
【解析】由题意，在长方体中作出满足题意的三棱锥如图所示：
则该三棱锥的外接球即是其所在长方体的外接球，故24PC R ==，
又PA AC =，所以PA AC ==， 设BC x =，AB y =，
由AB BC ⊥可得2
2
2
8x y AC +==，
所以该三棱锥的体积为)
22113663
△P ABC
ABC x y V
S AP xy -+=⋅=⋅≤=.
当且仅当2x y ==时，取最大值.
.
18．【答案】
3
【解析】如图，取BD 中点O ，AC 中点E ，连结,,AO CO OE ， ∵四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，
∴AO BD ⊥，CO BD ⊥，2
AO CO ===
， ∵AO CO O =I ，∴BD ⊥平面AOC ，
又OE AC ⊥，∴182△AOC S =
⨯=
则152232
3
A BCD
B AO
C V V --==⨯⨯⨯=
.
故答案为
3
．
19．【解析】（1）∵平面QD ABCD ⊥，∥PA QD ，
∴平面PA ABCD ⊥， 又∵平面BC ABCD ⊂， ∴PA BC ⊥，
又BC AB ⊥，平面PA PAB ⊂，平面AB PAB ⊂，PA AB A =I ， ∴平面BC PAB ⊥， 又∵平面BC QBC ⊂， ∴平面平面PAB QBC ⊥.
（2）连接BD ，过B 作BO AD ⊥于O ， ∵PA ⊥平面ABCD ，平面BO ABCD ⊂， ∴PA BO ⊥，
又BO AD ⊥，平面AD PADQ ⊂，平面PA PADQ ⊂，PA AD A =I ， ∴平面BO PADQ ⊥，
∵2AD AB ==，60DAB ∠=︒，
∴△ABD 是等边三角形，
∴BO =
.
∴(
)111
122332
梯形B PADQ PADQ V S BO -=
⋅=⨯⨯+⨯= ∵90ADC ABC ∠=∠=︒， ∴30CBD CDB ∠=∠=︒， 又2BD AB ==，
∴3
BC CD ==
，
∴12sin 30233
△BCD S =
⨯⨯︒=
∵平面QD ABCD ⊥，
∴1123339
△Q BCD BCD V S QD -=
⋅=⨯⨯=
.
∴该组合体的体积B PADQ Q BCD V V V --=+=
.
1．【答案】B
【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，
下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=
⎪⎝⎭
. 故选B.
【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 2．【答案】C
【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，。