第一章 矢量分析
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（C 为任意常数）
矢量场的矢量线
为描述矢量场的方向和数值，除直接用矢量的数 值和方向来表示矢量场外，还用矢量线来描述矢 量场分布。 所谓矢量线是这样的 曲线，其上每一点的 切线方向为该点矢量 的方向。
dx，dy，dz
F ，F ，F
x y z
dx dy dz Fx x, y, z Fy x, y, z Fz x, y, z
矢 量 微 积 分
矢量函数的导数
对空间坐的积分
1.1
矢量场和标量场
场的概念 标量场的等值线 矢量场的矢量线
场的概念
1.场的概念 任何物理过程总是在一定空间上发生，对应 的物理量在空间区域按特定的规律分布。如：
电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布 在空间区域上每一点有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了该物理量的场
矢 量 代 数 • 矢量乘积
B KA KAxex KAy ey KAz ez
数
乘
A B ABcos θ
标量积
Ax Bx Ay By Az Bz
矢 量 代 数 • 标量积结论
– 单位矢量 – 交换率 – 分配率
ex ex e y e y ez ez 1 ex e y e y ez ez ex 0
旋
度
rotation
2
旋度的物理意义
扽 (rotF ) ( F ) 0 div
可得：若 B 0 那么存在一个F使得 B F （矢量磁位A）；
rot 扽 ( gradu) u 0
可得： 若 E 0 那么存在一个u使得
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
散 度 divergence
通量是由 1S1 内的通量源决定，而通 量是一个积分量，仅能说明较大范 围内的源分布情况，而不能说明每 一点的性质。引入散度概念。
定义：
divF lim
S
F dS V
V 0
散度的物理意义
矢量的散度是一个标量，是空间坐标 点的函数； 散度代表矢量场的通量源的分布特性。
• A= 0 (无源） • A= 0 (正源) • A= 0 (负源) 在矢量场中，若•A=0，称之为有源场， 称为(通量) 源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。
A B B A
A ( B C) A B A C
– 两矢量垂直的充分必要条件：标 量积等于零。
矢 量 代 数 • 矢量乘积
数 乘 标量积 矢量积 A B ABsinθ c0 ex e y ez
dΓ 1 lim L F dl s P s ds
环量密度
取不同的路径，其环量密度不同。
旋
度
rotation
定 义
旋度是一个矢量，模值等于环量密度的 最大值；方向为最大环量密度的方向。
rot F F
d rot F en 它与环量密度的关系为： dS ex e y ez 计 算 在直角坐标系下 F x y z
Fx Fy Fz
旋
度
rotation
1
旋度的物理意义
旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数； 某点旋度的大小是该点环量密度的最 大值； 某点旋度的方向是该点最大环量密度 的方向； 在矢量场中，若 F J 0 ,称之为 旋度场 (或涡旋场)，J 称为旋度源 (或涡旋源)； 若矢量场处处 F 0 称之为无旋场。
第一章
主 要
矢量分析
内 容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 6学时
0. 矢量及其运算 1. 标量场和矢量场 2. 矢量场的散度 3. 矢量场的旋度 4. 标量场的梯度 5. 亥姆霍姿定理
1.0
矢量及其运算
直角坐标系 矢量表示 矢量代数 矢量微积分
直 角 坐 标 系
• 三变量
• 坐标表示 • 线元 • 面元
– 交换率
– 分配率：
A B B A
A ( B C) A B A C
– 两矢量平行的充分必要条件：矢量 积等于零。
矢 量 微 积 分
E x, y, z Ex x, y, z ex Ey x, y, z ey Ez x, y, z ez
q xex yey zez D Dx ex Dy ey Dz ez 2 2 2 32 4 ( x y z )
解
Dx q x x 4 x ( x 2 y 2 z 2 )3 2 q 1 3x 2 ( x 2 y 2 z 2 )3 2 ( x 2 y 2 z 2 )5 2 4 q r 2 3x 2 4 r5
S
F dS F ndS F cos dS
S S
S
F dS F ndS
S
通 量
flow of flux
通量可认为是穿过 1S1 面的矢量线的 总数，故矢量线又叫通量线；模 1F1 等于在某点与 1F1 垂直的单位面积上 通过的矢量线的数目 1F1 又称为通量 面密度矢量。
高斯通量定理
已知：
因为： divF 为 的体密度 所以： divFdV
V
S
F dS
故：
S
F dS
V
FdV
高斯通量定理
例1.2-1
点电荷位于坐标原点，在离其处产生的 q r 其中，r xe ye ze 电通量密度为：D x y z 4 r 3 求任意点处电通量密度的散度； 为半径的球面的电通量 。 并求穿出以 r
同理可得
Dy
Dz q r 2 3y2 q r 2 3z 2 , 5 y 4 r z 4 r5
所以
Dx Dy Dz q 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) D 0 5 x y z 4 r
接 例1.2-1
所以
Dx Dy Dz q 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) D 0 5 x y z 4 r
矢量线的意义
矢量线是这样的一些曲线，线上 每一点的切线方向都代表该点的 矢量场的方向。
矢量线方程：
F dl 0
（矢量线的任一点的切向和Ｆ平行）
1.2
矢量场的散度
通 量 散 度 高斯通量定理
通 量
flow of flux
矢量在场中某一个曲面上的面积分， 称为该矢量场通过此曲面的通量。
Ax Ay Az Bx By Bz
矢 量 代 数 • 矢量积结论
– 单位矢量
ex ex e y e y ez ez 0 ex e y ez , e y ez ex , ez ex e y
lim
V 0
S
F ndS V
散度是通量对体积的变化率（单位体积内所穿 出的通量），所以散度又称为通量源密度。
散 度 divergence
计算：
Fx Fy Fz divF x y z
哈密顿 （Hamilto n）算子 ,
散
度 divergence
x
y
z
A eA
A Ax ex Ay e y Az ez
dl ex dx ey dy ez dz el dl
ds ex dsx ey dsy ez dsz
dV dxdydz
• 体积元
dsx dydz dsy dxdz dsz dxdy
A 方向余旋： cosα x A cos Ay A
A Axex Ay ey Az ez
AeA
Az cos A
矢 量 代 数 • 矢量加减法
A B (Ax Bx )ex (Ay By )e y (Az Bz )ez
可见，除点电荷所在源点（ r 0 ）外， 空间各点的D的散度均为0。 q D dS S S r er dS 4
q 2 4r q 2 SdS 4r 2 4r q
1.3
矢量场的旋度
矢量场的环量 旋 度 斯托克斯定理
旋涡
静态场 Static field 动态场 Time-varying field
f ( x, y, z, t )
F ( x, y, z, t )
标量场 矢量场
f ( x, y, z )
F ( x, y, z)
标量场的等值面
等值面 空间内标量值相等的点的集 合所形成的曲面。 等值面方程 u（x, y, z）= C
环
量
circulation
环量 矢量F 沿空间有向闭合曲线L 的线积分
L
F dl
该环量表示绕线旋转趋势的大小。 例：流速场
水流沿平行于水管轴线方 向流动=0，无涡旋运动
流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源
旋
度
rotation
环量密度
过点P作一微小曲面S，它的边界曲线 记为L，面的法线方与曲线绕向成右手 螺旋法则。当S点P时，存在极限
矢量函数
矢量函数的导数
对空间坐标的导数
E ex Ex ey Ex ez Ez x x ey E y ex Ex ez Ez Ex ex Ey ey Ez ez x x x x x x Ex E y Ez ex ey ez x x x
ex ey ez
矢 量 表 示 • 标量
一个只用它的大小就能完整的描 述的物理量称为标量。如：时间、 质量、温度、功、速率等。
• 矢量
一个有大小和方向的物理量称为 矢量。如：力、速度、力矩等。
矢 量 表 示 • 几何法
• 代数表示
A 单位矢量（unit vector）： e A A 1 A 的模值：A (A2 A2 A2 ) 2 x y z
E u （标量电位u）。
斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem )
dΓ ( F ) en dS
dΓ ( F ) en dS ( F ) dS
F dl ( F ) dS
l
S
图 斯托克斯定理
标量场与矢量场
标量场：若所研究的物理量是标量，这 样的场称为标量场。如温度场、密度场、 电位场等； 矢量场：若所研究的物理量是矢量，这 样的场称为矢量场。如速度场、引力场、 电场、磁场等。
福建省
台 湾 岛
台湾海峡表面海水盐度分布
静态场与动态场
场（field）是描述空间中所有点上的 某一物理量的函数。
——斯托克斯定理
矢量函数的线积分与面积分的相互转化。
在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是 两个非常重要的公式。
1.4
标量场的梯度
方向导数 梯 度
方 向 导 数
研究的是标量在某点沿某一方向的 变化率问题(directional derivative)。
定义： u
u(M ) u(M 0 ) | M 0 lim l 0 l l
矢量场的矢量线
为描述矢量场的方向和数值，除直接用矢量的数 值和方向来表示矢量场外，还用矢量线来描述矢 量场分布。 所谓矢量线是这样的 曲线，其上每一点的 切线方向为该点矢量 的方向。
dx，dy，dz
F ，F ，F
x y z
dx dy dz Fx x, y, z Fy x, y, z Fz x, y, z
矢 量 微 积 分
矢量函数的导数
对空间坐的积分
1.1
矢量场和标量场
场的概念 标量场的等值线 矢量场的矢量线
场的概念
1.场的概念 任何物理过程总是在一定空间上发生，对应 的物理量在空间区域按特定的规律分布。如：
电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布 在空间区域上每一点有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了该物理量的场
矢 量 代 数 • 矢量乘积
B KA KAxex KAy ey KAz ez
数
乘
A B ABcos θ
标量积
Ax Bx Ay By Az Bz
矢 量 代 数 • 标量积结论
– 单位矢量 – 交换率 – 分配率
ex ex e y e y ez ez 1 ex e y e y ez ez ex 0
旋
度
rotation
2
旋度的物理意义
扽 (rotF ) ( F ) 0 div
可得：若 B 0 那么存在一个F使得 B F （矢量磁位A）；
rot 扽 ( gradu) u 0
可得： 若 E 0 那么存在一个u使得
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
散 度 divergence
通量是由 1S1 内的通量源决定，而通 量是一个积分量，仅能说明较大范 围内的源分布情况，而不能说明每 一点的性质。引入散度概念。
定义：
divF lim
S
F dS V
V 0
散度的物理意义
矢量的散度是一个标量，是空间坐标 点的函数； 散度代表矢量场的通量源的分布特性。
• A= 0 (无源） • A= 0 (正源) • A= 0 (负源) 在矢量场中，若•A=0，称之为有源场， 称为(通量) 源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。
A B B A
A ( B C) A B A C
– 两矢量垂直的充分必要条件：标 量积等于零。
矢 量 代 数 • 矢量乘积
数 乘 标量积 矢量积 A B ABsinθ c0 ex e y ez
dΓ 1 lim L F dl s P s ds
环量密度
取不同的路径，其环量密度不同。
旋
度
rotation
定 义
旋度是一个矢量，模值等于环量密度的 最大值；方向为最大环量密度的方向。
rot F F
d rot F en 它与环量密度的关系为： dS ex e y ez 计 算 在直角坐标系下 F x y z
Fx Fy Fz
旋
度
rotation
1
旋度的物理意义
旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数； 某点旋度的大小是该点环量密度的最 大值； 某点旋度的方向是该点最大环量密度 的方向； 在矢量场中，若 F J 0 ,称之为 旋度场 (或涡旋场)，J 称为旋度源 (或涡旋源)； 若矢量场处处 F 0 称之为无旋场。
第一章
主 要
矢量分析
内 容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 6学时
0. 矢量及其运算 1. 标量场和矢量场 2. 矢量场的散度 3. 矢量场的旋度 4. 标量场的梯度 5. 亥姆霍姿定理
1.0
矢量及其运算
直角坐标系 矢量表示 矢量代数 矢量微积分
直 角 坐 标 系
• 三变量
• 坐标表示 • 线元 • 面元
– 交换率
– 分配率：
A B B A
A ( B C) A B A C
– 两矢量平行的充分必要条件：矢量 积等于零。
矢 量 微 积 分
E x, y, z Ex x, y, z ex Ey x, y, z ey Ez x, y, z ez
q xex yey zez D Dx ex Dy ey Dz ez 2 2 2 32 4 ( x y z )
解
Dx q x x 4 x ( x 2 y 2 z 2 )3 2 q 1 3x 2 ( x 2 y 2 z 2 )3 2 ( x 2 y 2 z 2 )5 2 4 q r 2 3x 2 4 r5
S
F dS F ndS F cos dS
S S
S
F dS F ndS
S
通 量
flow of flux
通量可认为是穿过 1S1 面的矢量线的 总数，故矢量线又叫通量线；模 1F1 等于在某点与 1F1 垂直的单位面积上 通过的矢量线的数目 1F1 又称为通量 面密度矢量。
高斯通量定理
已知：
因为： divF 为 的体密度 所以： divFdV
V
S
F dS
故：
S
F dS
V
FdV
高斯通量定理
例1.2-1
点电荷位于坐标原点，在离其处产生的 q r 其中，r xe ye ze 电通量密度为：D x y z 4 r 3 求任意点处电通量密度的散度； 为半径的球面的电通量 。 并求穿出以 r
同理可得
Dy
Dz q r 2 3y2 q r 2 3z 2 , 5 y 4 r z 4 r5
所以
Dx Dy Dz q 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) D 0 5 x y z 4 r
接 例1.2-1
所以
Dx Dy Dz q 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) D 0 5 x y z 4 r
矢量线的意义
矢量线是这样的一些曲线，线上 每一点的切线方向都代表该点的 矢量场的方向。
矢量线方程：
F dl 0
（矢量线的任一点的切向和Ｆ平行）
1.2
矢量场的散度
通 量 散 度 高斯通量定理
通 量
flow of flux
矢量在场中某一个曲面上的面积分， 称为该矢量场通过此曲面的通量。
Ax Ay Az Bx By Bz
矢 量 代 数 • 矢量积结论
– 单位矢量
ex ex e y e y ez ez 0 ex e y ez , e y ez ex , ez ex e y
lim
V 0
S
F ndS V
散度是通量对体积的变化率（单位体积内所穿 出的通量），所以散度又称为通量源密度。
散 度 divergence
计算：
Fx Fy Fz divF x y z
哈密顿 （Hamilto n）算子 ,
散
度 divergence
x
y
z
A eA
A Ax ex Ay e y Az ez
dl ex dx ey dy ez dz el dl
ds ex dsx ey dsy ez dsz
dV dxdydz
• 体积元
dsx dydz dsy dxdz dsz dxdy
A 方向余旋： cosα x A cos Ay A
A Axex Ay ey Az ez
AeA
Az cos A
矢 量 代 数 • 矢量加减法
A B (Ax Bx )ex (Ay By )e y (Az Bz )ez
可见，除点电荷所在源点（ r 0 ）外， 空间各点的D的散度均为0。 q D dS S S r er dS 4
q 2 4r q 2 SdS 4r 2 4r q
1.3
矢量场的旋度
矢量场的环量 旋 度 斯托克斯定理
旋涡
静态场 Static field 动态场 Time-varying field
f ( x, y, z, t )
F ( x, y, z, t )
标量场 矢量场
f ( x, y, z )
F ( x, y, z)
标量场的等值面
等值面 空间内标量值相等的点的集 合所形成的曲面。 等值面方程 u（x, y, z）= C
环
量
circulation
环量 矢量F 沿空间有向闭合曲线L 的线积分
L
F dl
该环量表示绕线旋转趋势的大小。 例：流速场
水流沿平行于水管轴线方 向流动=0，无涡旋运动
流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源
旋
度
rotation
环量密度
过点P作一微小曲面S，它的边界曲线 记为L，面的法线方与曲线绕向成右手 螺旋法则。当S点P时，存在极限
矢量函数
矢量函数的导数
对空间坐标的导数
E ex Ex ey Ex ez Ez x x ey E y ex Ex ez Ez Ex ex Ey ey Ez ez x x x x x x Ex E y Ez ex ey ez x x x
ex ey ez
矢 量 表 示 • 标量
一个只用它的大小就能完整的描 述的物理量称为标量。如：时间、 质量、温度、功、速率等。
• 矢量
一个有大小和方向的物理量称为 矢量。如：力、速度、力矩等。
矢 量 表 示 • 几何法
• 代数表示
A 单位矢量（unit vector）： e A A 1 A 的模值：A (A2 A2 A2 ) 2 x y z
E u （标量电位u）。
斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem )
dΓ ( F ) en dS
dΓ ( F ) en dS ( F ) dS
F dl ( F ) dS
l
S
图 斯托克斯定理
标量场与矢量场
标量场：若所研究的物理量是标量，这 样的场称为标量场。如温度场、密度场、 电位场等； 矢量场：若所研究的物理量是矢量，这 样的场称为矢量场。如速度场、引力场、 电场、磁场等。
福建省
台 湾 岛
台湾海峡表面海水盐度分布
静态场与动态场
场（field）是描述空间中所有点上的 某一物理量的函数。
——斯托克斯定理
矢量函数的线积分与面积分的相互转化。
在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是 两个非常重要的公式。
1.4
标量场的梯度
方向导数 梯 度
方 向 导 数
研究的是标量在某点沿某一方向的 变化率问题(directional derivative)。
定义： u
u(M ) u(M 0 ) | M 0 lim l 0 l l