高等数学常利用微积分公式

=
1 ln a
∫
f
(ax
)d
(ax
)
∫ f (sin x) ⋅ cos xdx = ∫ f (sin x)d (sin x)
∫ f (cos x) ⋅sin xdx = −∫ f (cos x)d (cos x)
∫ f (tan x) ⋅sec2 xdx = ∫ f (tan x)d (tan x)
63
3
2
（1） cot 0 不存在 （2） cot π = 3 （3） cot π = 3 （4） cot π = 0 （5） cot π 不存在
6
33
2
十五、三角函数公式
1.两角和公式
sin( A + B) = sin Acos B + cos Asin B
sin( A − B) = sin Acos B − cos Asin B
x
( ) ⑿ d
loga x
= 1 dx x ln a
⒀ d (arcsin x) = 1 dx ⒁ d (arccos x) = − 1 dx
1− x2
1− x2
⒂
d
(arctan
x)
=
1 1+ x2
dx
⒃
d
(arc cot
x)
=
−1 1+ x2
dx
九、微分运算法则
⑴ d (u ± v) = du ± dv
⑶ d (sin x) = cos xdx ⑹ d (cot x) = − csc2 xdx
⑺ d (sec x) = sec x ⋅ tan xdx
⑻ d (csc x) = − csc x ⋅ cot xdx
( ) ⑼ d ex = exdx
( ) ⑽ d ax = ax ln adx
⑾ d (ln x) = 1 dx
2
2
cos a + cos b = 2 cos a + b ⋅ cos a − b
2
2
tan a + tan b = sin (a + b)
cos a ⋅ cos b
sin a − sin b = 2 cos a + b ⋅sin a − b
2
2
cos a − cos b = −2sin a + b ⋅sin a − b
tan( A − B) = tan A − tan B 1+ tan A tan B
cot( A − B) = cot A⋅ cot B +1 cot B − cot A
2.二倍角公式
sin 2A = 2sin Acos A
tan
2
A
=
1
2 −
tan tan
A 2A
cos 2A = cos2 A − sin2 A = 1− 2sin2 A = 2 cos2 A −1
3.半角公式
sin A = 1− cos A
2
2
cos A = 1+ cos A
2
2
tan A = 1− cos A = sin A 2 1+ cos A 1+ cos A
cot A = 1+ cos A = sin A 2 1− cos A 1− cos A
4.和差化积公式
sin a + sin b = 2sin a + b ⋅ cos a − b
四、导数的四则运算法则
(u ± v)′ = u′ ± v′
(uv)′ = u′v + uv′
五、基本导数公式
⑴ (c)′ = 0
⑵ xμ = μ xμ−1
⎛ ⎜⎝
u v
⎞′ ⎟⎠
=
u′v − uv′ v2
⑶ (sin x)′ = cos x
⑷ (cos x)′ = − sin x ⑸ ( tan x)′ = sec2 x ⑹ (cot x)′ = − csc2 x
sec2 x − ta n2 x = 1
csc2 x − cot2 x = 1
sec x ⋅ cos x = 1 cot x = cos x sin x
cs c x ⋅sin x = 1
十六、几种常见的微分方程
1.可分离变量的微分方程： dy = f ( x) g ( y) ，
dx
f1 ( x) g1 ( y) dx + f2 ( x) g2 ( y) dy = 0
（3） ⎡⎣u (ax + b)⎤⎦(n) = anu(n) (ax + b)
∑ （4） ⎡⎣u ( x) ⋅ v ( x)⎤⎦(n) = n ( ) ( ) cnku(n−k) x v(k) x k =0
七、基本初等函数的 n 阶导数公式
( ) （1） xn (n) = n!
( ) （2） eax+b (n) = an ⋅ eax+b
∫ 1 dx = ln x + x2 ± a2 + c
x2 ± a2
十三、分部积分法公式
∫ ⑴形如 xneaxdx ，令 u = xn ， dv = eaxdx ∫ 形如 xn sin xdx 令 u = xn ， dv = sin xdx ∫ 形如 xn cos xdx 令 u = xn ， dv = cos xdx
∫ f (cot x) ⋅ csc2 xdx = ∫ f (cot x)d (cot x)
∫
f
(arctan
x
)
⋅
1
∫
f
( arc ta
n
x)d
(arc ta
n
x)
∫ f (arcsin x) ⋅
1 1−
x2
dx
=
∫
f
(arcsin
x)d
(arcsin
x)
换元公式
u = ax + b
( ) (3) ax (n) = ax lnn a
(4)
⎡⎣sin (ax
+
b ) ⎤⎦ ( n )
=
an
sin
⎛ ⎜⎝
ax
+
b
+
n
⋅
π 2
⎞ ⎟⎠
(5)
⎡⎣cos (ax
+
b ) ⎤⎦ ( n )
=
an
cos
⎛ ⎜⎝
ax
+
b
+
n
⋅
π 2
⎞ ⎟⎠
(6)
⎛ ⎜⎝
1 ax + b
⎞(n) ⎟⎠
=
( −1)n
∫ 1 dx = 1 arctan x + c
a2 + x2
a
a
∫ 1 dx = arcsin x + c
a2 − x2
a
∫ cot xdx = ln sin x + c
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + c
∫ 1 dx = 1 ln x − a + c
x2 − a2
2a x + a
an ⋅n!
(ax + b)n+1
(7)
⎡⎣ln
( ax
+
b ) ⎤⎦ ( n )
=
( −1)n−1
an ⋅(n (ax +
−1)! b)n
八、微分公式与微分运算法则
⑴d (c) = 0
( ) ⑵ d xμ = μ xμ−1dx
⑷ d (cos x) = − sin xdx ⑸ d ( tan x) = sec2 xdx
2
2
5.积化和差公式
sin
a
sin
b
=
−
1 2
⎡⎣cos
(a
+
b
)
−
cos
(a
−
b)⎤⎦
sin
a
cos
b
=
1 2
⎡⎣sin
(
a
+
b
)
+
sin
(
a
−
b
)⎤⎦
cos
a
cos
b
=
1 2
⎡⎣cos
(a
+
b)
+
cos
(
a
−
b)⎤⎦
cos
a
sin
b
=
1 2
⎡⎣sin
(
a
+
b
)
−
sin
(
a
−
b)⎤⎦
6.万能公式
⑵ d (cu) = cdu
⑶ d (uv) = vdu + udv
⑷
d
⎛ ⎜⎝
u v
⎞ ⎟⎠
=
vdu − udv v2
十、基本积分公式
⑴ ∫ kdx = kx + c
∫ ∫ ⑵ xμ dx = xμ+1 + c ⑶ dx = ln x + c
μ +1
x
∫⑷ axdx = ax + c
ln a
∫⑸ exdx = ex + c
(1) a2 − x2 x = a sin t (2) a2 + x2
【特殊角的三角函数值】
x = a tan t
(3) x2 − a2 x = a sec t
（1） sin 0 = 0 （2） sin π = 1 （3） sin π = 3 （4） sin π = 1 ） （5） sin π = 0
⑺ (sec x)′ = sec x ⋅ tan x
⑻ (csc x)′ = − csc x ⋅ cot x
( ) ⑼ ex ′ = ex
( ) ⑽ ax ′ = ax ln a
⑾ (ln x)′ = 1
x
( ) ⑿
loga x
′=
1 x ln a
⒀ (arcsin x)′ = 1
1− x2
⒁ (arccos x)′ = − 1
cos(A + B) = cos Acos B − sin Asin B
tan( A + B) = tan A + tan B 1− tan A tan B
cot( A + B) = cot A⋅ cot B −1 cot B + cot A
cos(A − B) = cos Acos B + sin Asin B
∫ ⑵形如 xn arctan xdx ，令 u = arctan x ， dv = xndx ∫ 形如 xn ln xdx ，令 u = ln x ， dv = xndx
∫ ∫ ⑶形如 eax sin xdx ， eax cos xdx 令 u = eax , sin x, cos x 均可。
十四、第二换元积分法中的三角换元公式
十一、下列常用凑微分公式
积分型
∫
f
( ax
+
b)dx
=
1 a
∫
f
( ax
+
b)d
( ax
+
b)
∫
f
( xμ
)x μ −1dx
=
1 μ
∫
f
( xμ
)d
( xμ
)
∫
f
(ln
x)⋅
1 x
dx
=
∫
f
(ln
x)d
(ln
x)
∫ f (ex )⋅exdx = ∫ f (ex )d (ex )
∫
f
(ax
) ⋅ axdx
1− x2
( ) ( ) ⒂(arctan
x)′
=
1 1+ x2
⒃ (arc cot
x)′
=
−1 1+ x2
⒄
x ′ =1⒅
x ′= 1 2x
六、高阶导数的运算法则
（1） ⎡⎣u ( x) ± v ( x)⎤⎦(n) = u ( x)(n) ± v ( x)(n)
（2） ⎡⎣cu ( x)⎤⎦(n) = cu(n) ( x)
62
32
2
（1） cos 0 = 1 （2） cos π = 3 （3） cos π = 1 （4） cos π = 0 ） （5） cosπ = −1
62
32
2
（1） tan 0 = 0 （2） tan π = 3 （3） tan π = 3 （4） tan π 不存在 （5） tan π = 0
⑹ ∫ cos xdx = sin x + c
⑺ ∫ sin xdx = − cos x + c
⑼
∫
1 sin 2
x
=
∫ csc2
xdx
=
− cot
x
+
c
⑻
∫
1 cos2
x
dx
=
∫
sec2
xdx
=
tan
x
+
c
∫⑽
1 1+ x2
dx
=
arctan
x
+
c
∫⑾ 1 dx = arcsin x + c
1− x2
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式
⎧ a0
一、
lim
x→∞
a0 xn b0 xm
+ +
a1 x n −1 b1 x m −1
+L +L
+ +
an bm
=
⎪ ⎪⎪ ⎨
b0 0
⎪ ⎪
∞
⎪⎩
n=m
n<m n>m
（系数不为 0 的情况）
二、重要公式（1） lim sin x = 1 x→0 x
1
（2） lim (1+ x)x = e x→0
2.齐次微分方程： dy dx
=
f
⎛ ⎜⎝
y⎞ x ⎟⎠
3.一阶线性非齐次微分方程： dy + p ( x) y = Q ( x) 解为：
dx
∫ y
=
e−∫
p( x)dx
⎡ ⎢⎣
Q
(
x
)
e
∫
p(
x
)dx
dx
+
c
⎤ ⎥⎦
（3） lim n a (a > o) = 1 n→∞
（4） lim n n = 1 n→∞
（5） lim arctan x = π
x→∞
2
（6） lim arc tan x = − π
x→−∞
2
（7） lim arc cot x = 0 x→∞
（8） lim arc cot x = π x→−∞
（9） lim ex = 0 x→−∞
（10） lim ex = ∞ x→+∞
（11） lim xx = 1 x→0+
三、下列常用等价无穷小关系（ x → 0 ）
sin x x
tan x x
arcsin x x
ln (1+ x) x ex −1 x
ax −1 x ln a