湖南省同升湖实验学校高三第三次月考(数学文).doc

湖南省同升湖实验学校高三第三次月考（数学文）
时量：1 满分：150分 .10.8
一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知R U =，[0,2]A =，(1,)B =+∞，则U A C B =（ ）
A 、[0,1]
(2,)+∞ B 、(,2]-∞ C 、[0,2] D 、[0,1]
2、已知向量333
(,),(,)2
22
a b λ=-
=，若a ∥b ，则λ的值为 （ ） A 、2- B 、12- C 、14- D 、1
2
3、函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，若)2()(f a f ≤，则 实数a 的取值范围是
A 、2≤a
B 、2-≥a
C 、22≤≤-a
D 、22≥-≤a a 或 4、函数()125x f x x -=+-的零点所在的区间为（ ）
A 、()01,
B 、()12,
C 、()23,
D 、()34,
5、已知命题p :
1
01
x >+;命题q :有意义。

则p ⌝是q ⌝的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 6、若sin()(0,0,||)2
y A x A π
ωϕωϕ=+>><
的最小值为2-，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为
3π，又图像过点(0,1)，则其解析式是（ ）
A 、2sin()36x y π=+
B 、2sin()36x y π=-
C 、2sin()26x y π=+
D 、2sin()23
x y π
=+ 7、等差数列共10项，奇数项的和是125.，偶数项的和是15，那么第6项是（ ）
A 、6
B 、5
C 、4
D 、3
8、已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
)()1()1(x f x x xf +=+，则)2
5
(f 的值是（ ）
A 、0
B 、12
C 、1
D 、5
2
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

9、
2360
=215
sin cos -- ；
10、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，11a =，632a =，则3S = ；
11、设222,2
(),((5))log (1),2
x x f x f f x x -⎧≤==⎨->⎩则____________________ ；
12、已知向量(1,),(2,1)a x b x ==-的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为 ；（用区间表示） 13、已知数列{}n a 的通项公式是10
(27)(319)
n a n n =
--，则该数列的最大项和最小项的和为 ；
14、已知n S 是等差数列{}()n a n N *
∈的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题：①0d <；②110S >；
③120S <；④ 数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确命题的序号是 _ __ ； 15、在ABC ∆所在平面存在一点O 使得350OA OB OC -+=，则面积
OBC
ABC
S S ∆∆= 。

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题共12分）
在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4
cos 5
A =-。

（1） 求sin
B 的值； （2）求AB
C ∆的面积。

17、（本小题共12分）
已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，若任意的[]1,1a b ∈-、，且0a b +≠，都有()()
0f a f b a b
+>+。

（1）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式：1
(1)()1
f x f x +<-。

18、（本小题共12分）
已知函数()1
22
x
x f x =-。

（1）若()2=x f ，求x 的值；
（2）若()()022≥+t mf t f t
对于[]2,1∈t 恒成立，求实数m 的取值范围。

19、（本小题满分13分）
已知(
)()2
0f x x =
≥，又数列{}()0n n
a a
>中，12a =，这个数列的前n 项和的公式
()n S n N *∈对所有大于1的自然数n 都有()1n n S f S -=。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()22
112n n n n n
a a
b n N a a *+++=∈，求证12n b b b +++。

本小题共13分）
已知函数,),,( 1)(2
R x b a bx ax x f ∈++=为实数⎩⎨
⎧<->=)
0( )( )0(
)()(x x f x x f x F
（1）若(1)0f -=且函数)x (f 的值域为),0[∞+ ,求)(x F 的表达式；
（2）在（1）的条件下, 当]2 ,2[-∈x 时, kx x f x g -=)()(是单调函数, 求实数k 的取值范围； （3）设0<⋅n m , ,0>+n m 0>a 且)(x f 为偶函数, 判断)(m F ＋)(n F 能否大于零?
21、（本小题满分13分）
已知函数()()y f x x R =∈满足()(1)1f x f x +-=．
（1）求111
()()(
)(*)2n f f f n N n
n
-+∈和的值； （2）若数列)1()1
()2()1()0(}{f n
n f n f n f f a a n n +-++++= 满足 (*)n N ∈，求}{n a 的通项公式；
（3）若数列{}n b 满足1
2n n n b a +=⋅，n S 是数列{}n b 前n 项的和，是否存在正实数k ，使不等式4n n
knS b >对于一切的n N *
∈恒成立？若存在指出k 的取值范围，并证明；若不存在说明理由。

参考答案
1——8 DBDC AADA
9、2 10、7 11、1 12、111,,233⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
13、1- 14、①②
15、
1
3
16、解：（1）在ABC △中，3sin 5A ===，由正弦定理，
sin sin BC AC A B =． 所以232
sin sin 3
55
AC B A BC ==⨯=．
（2）cos 5B =
，
8sin 25C =，1824
2322525
ABC S ∆=⨯⨯⨯=
17、解：（1）()f x 在[]1,1-上是增函数，证明如下： 任取[]121,1x x ∈-、，且12x x <，则120x x -<，于是有12121212()()()()
0()
f x f x f x f x x x x x -+-=>-+-，而120x x -<，
故12()()f x f x <，故()f x 在[]1,1-上是增函数 （
2）由()f
x 在[]1,1
-上是增函数知：
111
201112,02111
11x x x x x x x x x x ⎧
⎪-+⎧-⎪
⎪⎪
-⇒⇒-<⎨⎨-⎪⎪
<<<⎩⎪+<⎪
-⎩
或或≤≤≤≤≤≤≥≤≤ 故不等式的解集为{2x x -<≤．
18、解：（1）当0<x 时，()0=x f ；当0≥x 时，().21
2x
x
x f -
= 由条件可知：01222,22
122=-⋅-=-
x
x x x
即， 解得：.212±=x
()
21log ,022+=∴>x x
.
（2）当[]2,1∈t 时，,021*******≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t
t m
即()().121242--≥-t
t m
(
)
12,012
22+-≥∴>-t t
m 恒成立.
又[](
)
[].5,1712
,2,12--∈+-∴∈t
t .5-≥∴m
19、解：（1）∵f （x ）=（x +2）2，∴S n =（1-n S +2）2.
∴n S －1-n S =2.又1a =2，故有n S =2+（n －1）2=n 2， 即S n =2n 2（n ∈N *）.
当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2n 2－2（n －1）2=4n －2； 当n =1时，a 1=2，适合a n =4n －2. 因此，a n =4n －2（n ∈N *）.
（2）∵b n =n n n n a a a a 12
212+++=1+121-n －121+n ，∴b 1+b 2+b 3+…+b n = n +1－1
21
+n .
：（1） ∵0)1(=-f , ∴,01b a =+- 又, ()[0,)x R f x ∈∈+∞, ∴2
40
a b a >⎧⎨
∆=-=⎩,∴2
4(1)0b b --=, 1a ,2b ==
∴22)1(12)(+=++=x x x x f .
∴⎪⎩⎪⎨⎧<+->+=)
0( )1()0(
)1()(2
2
x x x x x F
（2） 由（1）得1)2(12)()(2
2+-+=-++=-=x k x kx x x kx x f x g
4)2(1)22(2
2k k x --
+-+=, 当222k ≥-或22
2
k -≤-时, 即6k ≥或2k -≤时, )x (g 是单调函数. （3） ∵)(x f 是偶函数∴,1)(2
+=ax x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=)
0( 1)0( 1)(2
2x ax x ax x F ,
∵,0n m <⋅设,n m >则0n <.又,0 ,0>->>+n m n m
∴|n ||m |-> 22
m n ⇒>
∵)(m F ＋)(n F 0)(1)1()()(2
2
2
2
>-=--+=-=n m a an am n f m f ,
∴)m (F ＋)n (F 能大于零. 21、解：（1）令12x =
，11()(1)122f f +-=，11
()22
f ∴= ， 令1x n =，11()()1n f f n n
-+=
（2）∵)1()1
()2()1()0(f n n f n f n f f a n +-++++= ①
∴)0()1
()2()1()1(f n f n n f n n f f a n +++-+-+= ②
由（Ⅰ），知 11
()()1n f f n n
-+=
∴①+②，得1
2(1)..2
n n n a n a +=+∴=
（3）∵ 12n n n b a +=⋅，∴ (1)2n
n b n =+⋅ ∴123
223242(1)2n n S n =⋅+⋅+⋅+
++⋅， ①
234122232422(1)2n n n S n n +=
⋅+⋅+⋅+
+⋅++⋅， ②
①－②得23
14222(1)2n n n S n +-=+++
+-+⋅
即1
2n n S n +=⋅
要使得不等式4n n knS b >恒成立，即2220kn n -->对于一切的n N *
∈恒成立，
40221>>--=k k n 成立，即时，
设2
()22g n kn n =-- 当4k >时，由于对称轴直线1
1n k
=<，且 (1)220g k =-->，而函数()f x 在[)1,+∞ 是增函数，∴不等式n n knS b >恒成立
即当实数k 大于4时，不等式n n knS b >对于一切的n N *
∈恒成立。