2024届北京市海淀区高三数学二模试卷及答案

{1,0,1,2}A =−{|3}B x a x =≤<A B ⊆a 2024 北京海淀高三二模 数学
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
， . 若 ，则 的最大值为 （A ）2
（B ）0
（C ）1−
（D ）2
−（2）在5
2()x x
−的展开式中，x 的系数为
（A ）10− （B ）40− （C ）10（D ）40
（3）函数3, 0,()1(),03
x x x f x x ⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩是
（A ）偶函数，且没有极值点（B ）偶函数，且有一个极值点（C ）奇函数，且没有极值点
（D ）奇函数，且有一个极值点
（4）已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，||6AF =. 则线段AF 的中点的纵坐标为
（A ）
52
（B ）
72
（C ）3（D ）4
（5）在ABC △中，4AB =，5AC =，3
cos 4
C =
，则BC 的长为 （A ）6或
32
（B ）6（C
）（D ）3
（6）设,a b ∈R ，0ab ≠，且a >
（A ）
b a a b
<（B ）
2b a a b
+>（C ）sin()a b a b −<−（D ）32a b
>（7）在ABC △中，π
2
C ∠=
，CA CB ==，点P 满足(1)CP CA CB λλ=+−，且4CP AB ⋅=，则λ= （A ）14
−
（B ）
14
（C ）34
−
（D ）
34
（8）设{}n a 是公比为q （1q ≠−）的无穷等比数列，n S 为其前n 项和，10a >．则“0q >”是“n S 存在
最小值”的
（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（9）设函数()f x 的定义域为D ，对于函数()f x 图象上一点00(,)x y ，若集合
00{|()(),}k k x x y f x x D ∈−+≤∀∈R 只有1个元素，则称函数()f x 具有性质0x P .下列函数中具有性质1P 的是
（A ）()|1|f x x =−（B ）()lg f x x =（C ）3
()f x x =（D ）π
()sin
2
f x x =−（10）设数列{}n a 的各项均为非零的整数，其前n 项和为n S . 若j i −（i ，*j ∈N ）为正偶数，均有
2j i a a ≥，且20S =，则10S 的最小值为
（A ）0（B ）22（C ）26
（D ）31
第二部分（非选择题
共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11 ）若2(i)2i ()x x =∈+R ，则x = ．
（12）已知双曲线C ：2
214
x y −=，则C 的离心率为 ；以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近
线相切的圆的方程为 ．（写出一个即可） （13）已知函数2()cos sin f x x a x =+.
（ⅰ）若0a =，则函数()f x 的最小正周期为 ；
（ⅱ）若函数()f x 在区间(0,π)上的最小值为2−，则实数a = ．
（14）二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形．某公司计划使用一款由2n （*n ∈N ）
个黑白方块构成的n n ⨯二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成162个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于151
2
，则n 的最小值为 .
（15）如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱AB 上的动点，DQ ⊥平面1D PC ，Q 为垂足.给出下列
四个结论： ①1D Q CQ =；
②线段DQ 的长随线段AP 的长增大而增大；③存在点P ，使得AQ BQ ⊥；④存在点P ，使得//PQ 平面1D DA ． 其中所有正确结论的序号是 ．
1
A C
A
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）
已知函数2
()2cos 2
x
f x x ωω=+（0ω>），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作
为已知，使函数()f x 存在且唯一确定． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，求m 的取值范围．
条件①：π
()23
f =；
条件②：()y f x =的图象可由2cos 2y x =的图象平移得到； 条件③：()f x 在区间ππ(,)36−内无极值点，且ππ
()2()263
f f −=−+.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
在三棱锥P ABC −中，2AB PB ==，M 为AP 的中点.
（Ⅰ）如图1，若N 为棱PC 上一点，且MN AP ⊥，求证：平面BMN ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）如图2，若O 为CA 延长线上一点，且PO ⊥平面ABC ， 2AC ==，直线PB 与平面ABC 所成
角为
π
6
，求直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值.
200图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向. 某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序. 在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了 张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
（Ⅰ）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率； （Ⅱ）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出
现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试. 设X 表示测试的次数，估计X 的分布列和数学期望EX ；
（Ⅲ）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%）.
现从若干张不同的人脸照片（其中男性、女性照片的数量之比为1:1）中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为1p ，2p ，3p .试比较1p ，2p ，3p 的大小.（结论不要求证明）
已知椭圆E的焦点在x轴上，中心在坐标原点.以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三
角形，且其周长为
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点(2,0)
x交于点M的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆E交于不同的两点A，C，与直线=16 P.点B在y轴上，D为坐标平面内的一点，四边形ABCD是菱形.求证：直线PD过定点．
已知函数()ln()
=−+0
f x x a
a>）．
（Ⅰ）若1
a=，
（ⅰ）求曲线()
f处的切线方程；
y f x
=在点(2,(2))
（ⅱ）求证：函数()
f x恰有一个零点；
（Ⅱ）若()ln2
f x a a
≤+对(,3)
∈恒成立，求a的取值范围.
x a a
（21）（本小题15分）
设正整数2n ≥，*i a ∈N ，*i d ∈N ，{|(1),1,2,}i i i A x x a k d k ==+−=，1,2,,i n =.若
1
2
*n A A A =N ，i
j A A ∅=（1i j n ≤<≤），则称12,,,n A A A 具有性质P .
（Ⅰ）当3n =时，若123,,A A A 具有性质P ，且11a =，22a =，33a =，令123m d d d =，写出m 的所有可能
值；
（Ⅱ）若12,,
,n A A A 具有性质P ，
（ⅰ）求证：i i a d ≤（1,2,,i n =）
；（ⅱ）求1n
i
i i
a d =∑
的值.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）C （2）D （3）B （4）C （5）A （6）C
（7）B
（8）A
（9）D
（10）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（ 11 ）1 （12 22(1x y +=（或22(1x y +=） （13）π
2−（14）7
（15）①②④
三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）
解：选择条件②：()y f x =的图象可由2cos 2y x =的图象平移得到．
（Ⅰ）因为2
()2cos 2
x
f x x ωω=，
所以π
()cos 12cos()13
f x x x x ωωω=++=−+.
因为()y f x =的图象可由2cos 2y x =的图象平移得到， 所以()y f x =的最小正周期为π. 因为0ω>， 所以2ω=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知π
()2cos(2)13
f x x =−+．
因为(0,)x m ∈，所以πππ2(,2)333
x m −
∈−−. 因为不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1
cos(2)32
x −<在区间(0,)m 内有解，
所以ππ233m −
>，即π3m >.所以m 的取值范围是π
(,)3
+∞． 选择条件③：()f x 在区间ππ(,)36−内无极值点，且ππ
()2()263
f f −=−+.
（Ⅰ）因为2
()2cos 2
x
f x x ωω=，
所以π
()cos 12sin()16f x x x x ωωω=++=++．
因为ππ
()2()263f f −=−+，
所以ππ
()()463
f f −−=．
所以()f x 分别在π6
x =
，π
3x =−时取得最大值、最小值.
所以()f x 的最小正周期ππ
2[()]π63T ≤⨯−−=.
因为()f x 在区间ππ
(,)36−内无极值点，
所以()f x 的最小正周期ππ
2[()]π63
T ≥⨯−−=.
所以πT =. 因为0ω>， 所以2π
2T
ω=
=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π
()2sin(2)16
f x x =++．
因为(0,)x m ∈， 所以πππ
2+(,2+)666
x m ∈.
因为不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1
sin(2)62
x +<在区间(0,)m 内有解，
所以π5π2+
66m >，即π
3
m >. 所以m 的取值范围是π
(,)3
+∞．
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）连接BM ，MN ，BN .
因为AB PB =，M 为AP 的中点， 所以BM AP ⊥. 因为MN AP ⊥， 所以AP ⊥平面BMN . 因为AP ⊂平面PAC ， 所以平面BMN ⊥平面PAC .
（Ⅱ）因为PO ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，
所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，PBO ∠为直线PB 与平面ABC 所成的角. 因为直线PB 与平面ABC 所成角为
π6，所以π
6
PBO ∠=. 因为2PB =，所以1PO =
，OB
2=，所以1OA =.
因为2AB =，所以222AB OB OA =+.所以OB OA ⊥.
N
P
A
B
C
M
如图建立空间直角坐标系O xyz −.
则(0,1,0)A
，B ，(0,3,0)C ，(0,0,1)P ，11
(0,,)22M .
所以(0,3,1)PC =−
，(BC =−，51
(0,,)22
MC =−.
设平面PBC 的法向量为 (,,)x y z =n ，则
0,0,PC BC ⎧⋅=⎪
⎨
⋅=⎪⎩n n
即 30,30.
y z y −=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =
，则x =3z =.
于是=n . 设CM 与平面PBC 所成角为θ，则
||
sin |cos ,|13
|||
MC MC MC θ⋅=<>=
=
=
⋅n n n |
. 所以直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为
13
. （18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，共有206080+=张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以
该照片确为女性的概率为
603
804
=． （Ⅱ）设事件A ：输入男性照片且识别正确．
根据题中数据，()P A 可估计为
903
1204
=． 由题意知X 的所有可能取值为1，2，3． 3(1)4P X ==
，133(2)4416P X ==⨯=，111(3)4416
P X ==⨯=. 所以X 的分布列为
所以()1234161616
E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）231p p p <<.
解：（Ⅰ）由题意可设椭圆E 的方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），222c a b =−.
因为以E
的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为
所以22a c +=12
c a =．
所以a =
c = 所以26b =．
所以椭圆E 的方程为22
186
x y +=.
（Ⅱ）设直线l 的方程为2x ty =+（0t ≠），令16x =，得14y t
=
，即14(16,)P t ．
由223424,
2
x y x ty ⎧+=⎨=+⎩得22(34)12120t y ty ++−=． 设11(,)A x y ，22(,)C x y ，则122
1234t y y t +=−+，12212
34
y y t =−+． 设AC 的中点为33(,)N x y ，则12
3262
34
y y t
y t +==−
+． 所以3328
234
x ty t =+=
+. 因为四边形ABCD 为菱形, 所以N 为BD 的中点，AC BD ⊥. 所以直线BD 的斜率为t −. 所以直线BD 的方程为2268
()3434
t y t x t t +=−−++. 令0x =得222862343434
t t t y t t t =−=+++. 所以22(0,
)34
t
B t +. 设点D 的坐标为44(,)x y ，则43216234x x t ==+，43
2221423434
t t
y y t t =−=−++， 即221614(
,)3434
t
D t t −++. 所以直线PD 的方程为2
214141434(16)161634
t t t y x t t ++−=−−+，即7
(4)6y x t
=−.
所以直线PD 过定点(40)，
.
解：（Ⅰ）当1a =时，()ln(1)f x x =−+
（ⅰ）1()
1f x x '=
−−．所以(2)2f =，(2)0f '=． 所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为2y =．
（ⅱ）由（ⅰ）知()ln(1)f x x =−+(1,3]x ∈，1()
1f x x '=
−−，且(2)0f '=． 当(1,2)x ∈时，因为11
1x >>−，所以()0f x '>； 当(2,3)x ∈时，因为
11
1x <−()0f x '<. 所以()f x 在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减.
因为(2)2f =，(3)ln 20f =>，3(1e )330f −+=−+−+ .所以函数()f x 恰有一个零点.
（Ⅱ）由()ln()f x x a =−+()f x '=
．
设()()g x x a −，(,3)x a a ∈，则'()10
g x =<.
所以()g x 是(,3)a a 上的减函数.
因为()0g a =>，(3)20g a a =−<，
所以存在唯一0()x a ∈，00()()0g x x a =−−=． 所以()f x '与()f x 的情况如下：
0000()ln()ln()2()f x x a x a x a =−+=−+−．
当1a ≥时，因为(2)0g a a =−≤，所以02x a ≤.
所以0()ln(2)2(2)ln 2f x a a a a a a ≤−+−=+． 所以0()()ln 2f x f x a a ≤≤+，符合题意.
当01a <<时，因为(2)0g a a >，所以02x a >.
所以0()ln(2)2(2)ln 2f x a a a a a a >−+−=+，不合题意．
综上所述，a 的取值范围是[1,)+∞．
解：（Ⅰ）m 的值为27或32． （Ⅱ）（ⅰ）假设存在{1,2,
,}i n ∈，使得i i a d >.
记i i x a d =−，由*i a ∈N ，*i d ∈N 得*x ∈N . 因为i i i x a d a =−<，所以i x A ∉. 因为12,,
,n A A A 具有性质P ，
所以存在{1,2,
,}j n ∈，且j i ≠，使得j x A ∈.
不妨设0(1)j j x a k d =+−，0*k ∈N .
记i j y x d d =+，则0(1)j i j y a d k d =++−，由0*i d k +∈N ，所以j y A ∈. 因为(1)i i i j i j i y a d d d a d d =−+=+−，*j d ∈N ， 所以i y A ∈. 所以i
j A A ≠∅，与i
j A A ∅=矛盾.
所以i i a d ≤（1,2,,i n =）. （ⅱ）记12
n M d d d =，{1,2,
,}A M =.
因为{|(1),1,2,}i i i A x x a k d k ==+−=，且1i i a d ≤≤， 所以i A A 中恰有
i
M
d 个元素，1,2,,i n =. 令i i
B A A =，1,2,
,i n =，则1
2
n B B B A =，i
j B B ∅=（1i j n ≤<≤）.
由A 中元素的个数可得1n
i i
M
M d ==∑，即111n
i i d ==∑.
由A 中所有元素之和可得1(1)(+1)()22n i i i i i i
M M
d d M M M
a d d =−=+
∑， 即
211(+1)
1()22n
n i i i i i
a M M M M M d d ===+−∑∑.所以111+1122222n n
n i i i i i i i i
a a M M
n M n
d d d ====+−=+−∑∑∑.所以11
2n
i i i
a n d =+=∑
.。