高三数学文科期末统一监测试卷 试题

2021-2021学年度上学期高三数学文科期末统一监测试卷
本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，满分是150
分，考试时间是是120分钟。

参考公式：
假如事件A 、B 互斥，那么 球的外表积公 P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕 S=42
R π
假如事件A 、B 互相HY ，那么 其中R 表示球的半径 P 〔A ·B 〕=P 〔A 〕·P 〔B 〕 球的体积公式 假如事件A 在依次实验中发生的概率是 V 球=3
3
4
R π P ，那么n 次HY 重复实验中恰好发生k 其中R 表示球的半径 次的概率
k n k k n n P P C k P --=)1()(
第一卷〔选择题 一共60分〕
一、选择题〔本大题翻工12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小
题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1．设集合=⋂∈≤==Q P Z x x x Q P 则},,2|||{},4,3,2,1{
〔 〕
A ．{1，2}
B ．{3，4}
C ．{1}
D ．{－
2，－1，0，1，2}
2．向量b a ,满足b a b b a b a ,,0)(,1||,2||那么向量=⋅-==的夹角为 〔 〕
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3．假设圆0122
2
=+--+y ax y x 关于直线x －y －1=0对称的圆的方程
是03422=+-+x y x ，那么a 的值是
〔
A ．0
B ．1
C ．2
D ．±2
4．在北纬45°圈上有A 、B 两地，A 地在东经120°，B 地在西经150°，
设地球半径为R ，那么A 、B 两地的球面间隔 为
〔
A ．R π3
5
B ．R π2
1 C ．
R π4
2
D ．R π3
1
5．假设{a n }为等差数列，a 3，a 15是方程0162
=--x x 的两根，那么
1110987a a a a a ++++=
〔
A ．18
B ．－18
C ．15
D ．12
6．函数)2[)3(log 2
2
1∞++-=，在a ax x y 上是减函数，那么a 的取值范
围是 〔 〕
A ．]4,(-∞
B ．]4,4(-
C
．
),2[)4,(+∞⋃--∞
D ．[－4，4] 7．假设ααπααα2cos 2sin ,0,3
1
cos sin +<<=
+则的值是 〔 〕
A ．
917
8+ B ．
917
8+- C ．
9
17
8-- D ．
9
17
8±- 8．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，假设3
人中至少有一名女生，那么不同的选派方案一共有 〔
A ．108种
B ．186种
C ．216种
D ．270
种 9．设)(1
x f
-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，假设
8)](1[)](1[1
1
=+⋅+--b f a f
，那么
f 〔a +b 〕的值是
〔 〕
A ．1
B ．2 C
．
3
D ．3log 2
10．做一个面积为1平方米，形状为直角三角形的框架，有以下四种长度
的钢管供选择，其中最合理〔够用且最料〕的是
〔
A ．
B ．
C ．
D ．
11．双曲线)0(12
22>=-a y a
x 的一条渐近线与直线2x －y+3=0垂直，那
么该双曲线的准线方程是
〔
A ．2
3±
=x B ．25±
=x C ．
3
34±
=x
D ．5
5
4±
=x 12．给出以下4个命题：
①函数m ax x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是m=0 ②假设函数1},1|{)1lg()(-<<+=a x x ax x f 则的定义域是
③假设*,1lim ,2log 2log N n b
a b a n n
n
n n b a ∈=+-<∞→其中则 ④圆25054102
2=--=-+-+a y ax M y x y x 关于上任意点的对称点M
‘
也在该圆上其中正确的命题个数是
〔 〕 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第二卷
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在题中的横线上〕 13．62
12
1
)2(--x
x 的展开式中常数项为 。

14．设实数x ，y 满足x y x y x y x 则,0
320420
2⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-+≤--的最大值是 。

15．假设关于x 的不等式|1|||||++<x x a 的解集为R ，那么实数a 的取值范围是
16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，给出以下四个结论：①AC
⊥BD ；②AB ，CD 所
成角为60°；③△ADC 为等边三角形；④AB 与平面BCD 所成角为60°。

其
中真命题是。

〔填命题序号〕
三、解答题〔本大题有6个小题，一共74分。

解容许写出文字说明，证明
过程或者演算步骤〕 17．〔本小题满分是12分〕
函数)0(cos cos sin 3)(2>-⋅=
ωωωωx x x x f 的最小正周期为
2
π。

〔Ⅰ〕求ω的值 〔Ⅱ〕假设)(,3
0x f x 求π
≤<的最大值和最小值。

18．〔本小题满分是12分〕
甲、乙两人HY 解某一道数学题，甲HY 解出的概率是0.6，乙HY 解出的概率是0.8。

〔Ⅰ〕求两人中只有一人解出该题的概率；〔Ⅱ〕求两人中至少有一人解出该题的概率。

19．〔本小题满分是12分〕
如图，DA ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，在△ABE 中，AE=1，BE=3
〔Ⅰ〕证明：平面ADE ⊥平面BCE ； 〔Ⅱ〕求二面角B —AC —E 的余弦值。

20．〔本小题满分是12分〕
等差数列{C n } C 3=9，C 5=13
〔Ⅰ〕假设数列{a n }的前n 项和S n =nC n +1，求a n
〔Ⅱ〕设数列{b n }中n n n n
n b b b T C b ...,2
21++==，求T n 。

21．〔本小题满分是12分〕
椭圆C 1的方程为14
22
=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。

〔Ⅰ〕求双曲线C 2的方程 〔Ⅱ〕假设直线2:+
=kx y l 与双曲线C 2恒有两个不同交点A 、B ，
且O OB OA (2>⋅为原点〕。

求k 范围。

22．〔本小题满分是14分〕
定义在R 上的函数),,,(42)(2
3R d c b a d cx bx ax x f ∈++-=的图象关于原点对称，且x =1时，5
2
)(-取极小值x f 〔Ⅰ〕求f 〔x 〕的解析式；
〔Ⅱ〕当x ]1,1[-∈时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互
相垂直？试证明你的结论。

〔Ⅲ〕假设5
4)()(].1,1[,2121≤--∈x f x f x x 求证：
[参考答案]
一、选择题
1—5 A C C D C 6—10 B C B B C 11—12 D B 二、填空题： 13．－160 14．6
5
15．〔－1，1〕 16．①②③ 三、解答题 17
．
解
：
〔
Ⅰ
〕
)12(cos 2
1
2sin 23cos cos sin 3)(2+-=
-⋅=x x x x x x f ωωωωω
2
1
)62sin(--=πωx …………………………………………4′
2,2
22=∴===ωπωπωπT ……………………………………
……6′
〔Ⅱ〕3
0),,0(π
π≤<∴∈x x
6
76
46
π
π
π
≤
-
<-x …………………………………………8′ ∴
即
－
2
1
21)64sin(1≤--≤πx …………………………………………10′
1)(,2
1
)(min max -==
x f x f …………………………………………12′ 18．解：〔Ⅰ〕设甲、乙分别解出此题的事件为A 、B ，那么
44.0)()()()(1=⋅+⋅=B P A P B P A P P …………………………
……6′
〔
Ⅱ
〕
92.02.04.01)()(12=⨯-=⋅-=B P A P P ……………………12′
19．解：〔Ⅰ〕DA ⊥平面ABE ∴DA ⊥BE △ABE
中，AE=1 BE=
3 AB=2 ∴BE ⊥
EA ……………………………3′
⇒
⎭
⎬⎫
⊂⊥∴
BCE BE ADE BE 平面平面平面ADE ⊥平面
BCE …………………………………6′
〔Ⅱ〕过点E 作EF ⊥AB 与F ∵DA ⊥平面ABE ∴平面ABCD ⊥平面ABE ∴EF ⊥平面ABCD
过F 作FG ⊥AC 与G ，连EG ，那么EG ⊥AC 〔三垂线定理〕 ∴∠EGF
为二面角
B —A
C —E
的平面
角。

……………………………………9′
在
Rt
△
EFG
中
7
7
cos ==
∠EG FG EGF ………………………………………12′ 20．解：〔Ⅰ〕有条件可得 C n =2n+3 …………………………………………2′
S n =nC n +1=2n 2
+3n+1 ∴
当
n
≥
2
时
1)1(3)1(2132221-----++=-=-n n n n S S a n n n
=4n+1…………………………………………
4′
当
n=1
时
a 1=S 1=6
⎩⎨
⎧≥+==∴2
,141
,6n n n a n ………………………………6′ 〔Ⅱ〕n n n n n C b 2
322+==
n
n n T 232...29272532+++++=
∴
1322
3
2212...272521+++++++=n n n n n T ………………………………………8′
①－②得 1122
32)21...2121(2521
+-+-++++=
n n n n T
2
11)
211(212
322511--++-=-+n n n
1112
7
2272123227+-++-=-+-=
n n n n n …………………10′ n
n n T 2
7
27+-=∴…………………………………………………………12′
21．解：〔1〕设双曲线C 2方程为122
22=-b
y a x
那么
a 2=4－1=3 c 2=4 ∴
b 2=c
2
－
a 2
=1 ………………………………………2′
∴
双
曲
线
C 2
的
方
程
为
13
22
=-y x …………………………………………4′ 〔2〕将13
222
=-+=y x kx y 代入消y 有
0926)13(22=++-kx k …………………………………………6′
∵直线l 与双曲线交于两个不同点
1310
)13(36)26(013222
22<≠∴⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠-∴k k k k 且 ①
设A 〔x 1，y 1〕 B 〔x 2，y 2〕 那么1
39
,31262
21221-=-=+k x x k k x x
1
37
32)(2)1(2221212
2121-+=
++++=+∴k k x x k x x k y y x x …………………8′
又∵2137
3,2,22
22121>-+>+∴>⋅k k y y x x OB OA 即 331,01
39322
2<<∴>-+-∴k k k ② 又
∵
k
2
＜ 1 故
)1,3
3
()33,1(,1312⋃--∈∴<<k k ………………………12′ 22．解：〔Ⅰ〕∵函数f 〔x 〕的图象关于原点对称， ∴f 〔0〕=0 即 4d=0 ∴ d=0
又f 〔－1〕=－f 〔1〕即－a －2b －c=－a+2b －c ∴b=0 ∴
f 〔x 〕
=c ax x f cx ax +=+2
'
3
3)(,…………………………………………2′
∵x=1时取极小值03,52
=+∴-
c a 且53
,51,52-==∴-=+c a c a
x x x f 5
3
51)(3-=∴…………………………………………5′
〔Ⅱ〕当x ∈[－1，1]时，图象上不存在这样的两点，使结论成立
假设存在)1(5
3)(),,(),,(2
'
2211-=x x f y x B y x A 那
么
)1(5
3),1(532
22211-=-=x k x k …………………………………………7′
且1)1)(1(25
92221-=--x x * 01,01],1,1[,2
22121≤-≤-∴-∈x x x x
0)1)(1(2221≥--∴x x 此与*矛盾，故假设不成
立………………………10′ 〔Ⅲ〕证明：1,0)()1(5
3)('2
'
±==-=
x x f x x f 得令 0)(,)1,1(0)(,),1()1,(''<-∈>+∞-∞∈∴x f x x f x 时时或
∴f 〔x 〕在[－1，1]上是减函数，且
5
2
)1()(,52)1()(-===
-=f x f f x f 最小值最大值……………………12′
∴在[－1，1]上时于是]1,1[,,5
2
)(21-∈≤
x x x f 5
4
5252)()()()(2121=+≤+≤-x f x f x f x f ………………
………14′。