[配套K12]2017-2018学年高中数学 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 2 直线的极

2．直线的极坐标方程
1．直线的极坐标方程
(1)若直线经过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
(2)当直线l 过极点，即ρ0＝0时，l 的方程为θ＝α.
(3)当直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为ρcos_θ＝a .
(4)当直线l 过点M ⎝
⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴时，l 的方程为ρsin_θ＝b .
2．图形的对称性
(1)若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称．
(2)若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π
2所在直线对称．
(3)若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点对称．
求从极点出发，倾斜角是
4
的射线的极坐标方程． 将射线用集合表示出来，进而用坐标表示． 设M (ρ，θ)为射线上任意一点(如图)，
则射线就是集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫M ⎪
⎪⎪
∠xOM ＝
π4. 将已知条件用坐标表示，得θ＝π
4(ρ≥0)．
这就是所求的射线的极坐标方程．
方程中不含ρ，说明射线上点的极坐标中的ρ无论取任何正值，θ的对应值都是π
4
.
求直线的极坐标方程，首先应明确过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α的直线的极坐标方程的求法．
另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程．
1．在极坐标系中，过点⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3且垂直于极轴的直线方程为( )
A ．ρ＝3
2sin θ
B ．ρ＝32cos θ
C ．ρsin θ＝3
2
D ．ρcos
θ＝32
解析：选D 由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，332， 则过此点垂直于x 轴的直线方程为x ＝3
2，
化为极坐标方程为ρcos θ＝3
2，
所以选D.
2．设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6
，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐
标方程．
解：设P (ρ，θ)为直线上任意一点(如图)． 则α＝π3－π6＝π6，β＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝2π
3＋θ，
在△OPA 中，有ρsin π6＝
2
sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3
＋θ，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1.
在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－6＝1，求点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－6到直线l 的距离．
将极坐标问题转化为直角坐标问题． 点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，－π6
的直角坐标为(3，－1)．
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1可化为ρsin θ·cos π6－ρcos θ·sin π6＝1，
即直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0. ∴点P (3，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离为
d ＝
|3＋3＋2|1＋－3
2
＝3＋1.
故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离为3＋1.
对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．
3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2
＝2ρsin θ， 其直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2y ，
ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
＝2y ，
x ＝－1.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，y ＝1.点(－1,1)的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，3π4.
答案：⎝
⎛⎭
⎪⎫
2，
3π4 4．(陕西高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2 的距离是________．
解析：将极坐标⎝
⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为(3，1)．
极坐标方程ρsin θ＝2转化为直角坐标方程为y ＝2，
则点(3，1)到直线y ＝2的距离为1，即点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离为1.
答案：1
课时跟踪检测(四)
一、选择题
1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1
解析：选C 设P (ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1，即为此直线的
极坐标方程．
2．7cos θ＋2sin θ＝0表示( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线
解析：选A 两边同乘ρ，得7ρcos θ＋2ρsin θ＝0. 即7x ＋2y ＝0，表示直线．
3．(陕西高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2
B ．θ＝π
2(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C ．θ＝π
2(ρ∈R)和ρcos θ＝1
D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
解析：选B 在直角坐标系中，圆的方程为x 2
＋y 2
＝2x ，
即(x －1)2＋y 2
＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0，x ＝2，即θ＝π2(ρ∈
R)和ρcos θ＝2.
4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为( )
A ．2 B. 2 C.52 D.52
2
解析：选D 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，
得2ρ⎝
⎛⎭
⎪⎫
22sin θ－22cos θ＝2，
∴y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，∴d ＝
|2＋2＋1|2
＝52
2.
二、填空题
5．把极坐标方程ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程是________________________．
解析：将极坐标方程变为
32ρcos θ＋1
2
ρsin θ＝1，
化为直角坐标方程为32x ＋1
2
y ＝1， 即3x ＋y －2＝0.
答案：3x ＋y －2＝0
6．在极坐标系中，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是
________．
解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程，得x 2
＋y 2
＝4y ， 即x 2
＋(y －2)2
＝4，
将点的极坐标⎝
⎛⎭⎪⎫22，π4化为直角坐标为(2,2)，
由于22＋(2－2)2
＝4，点(2,2)与圆心的连线的斜率k ＝2－22－0＝0，
故所求的切线方程为y ＝2， 故切线的极坐标方程为ρsin θ＝2. 答案：ρsin θ＝2
7．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.
解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝a 2
，
C 1与x 轴的交点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，0， 此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝2
2
. 答案：
22
三、解答题
8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程． 解：由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)， 即2x －y ＋7＝0.
设M (ρ，θ)为直线上任意一点，
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直角坐标方程2x －y ＋7＝0， 得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程．
9．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，
得圆的方程为x 2
＋y 2
＝2x ， 即(x －1)2
＋y 2
＝1，
直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |
32＋42
＝1， 解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.
10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝3
1－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B 两点，
且|AB |＝6.求直线AB 的极坐标方程．
解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1.
A (ρ1，θ1)，
B (ρ2，θ1＋π)，
ρ1＝3
1－2cos θ1，ρ2＝
3
1－θ1＋π
＝
3
1＋2cos θ1
.
|AB |＝|ρ1＋ρ2| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1， ∴
1
1－4cos 2
θ1
＝±1， ∴cos θ1＝0或cos θ1＝±
22
. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π
4.。