16章 二次根式全章导学案

二次根式(1)
学习目标：
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。

2、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a
· ·预 习 案
（一）复习回顾：
（1）已知a x =2，那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。

（2）4的算术平方根为2
，用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____，
0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

思考：16 ，
π
s
,3-b 等式子.说一说他们的共同特征.
定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。

“
”称为 。

1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“√”，哪些不是在后面“×”为什么
3（ ），16-（ ），34（ ） ），)0(3
≥a a （ ），12+x （ ）
2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。

3、根据算术平方根意义计算 ：
(1) 2)4( = (2) = （3）2)5.0( = （4）2)3
1(=
根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ）
4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

如(5)2=5或5=(5)2.
练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6= =
合 作 探 究
例1：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义
练习1:x 取何值时，下列各二次根式有意义
② ③
________)(2=a 4
2
)3(
例2：在式子x
x
+-121中，x 的取值范围是什么
练习2:x 取何值时，下列各二次根式有意义
②
③ ④
训练案
1、计算： 2)3(= 2)5.0(= 2
= 2
=
2、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ）
A 、 a ＜l
B 、a ≤1
C 、a ≥1
D 、a ＞1 3、已知03=+x 则x 的值为（ ）
A 、 x >-3
B 、x <-3
C 、x =-3
D 、 x 的值不能确定
4、有意义，则a 的值为_______．若x
x
+-121有意义，
x 的取值范围是________. 5、当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 。

6、在实数范围内因式分解：
（1）-=-229x x ( )2=（x + ）(y - )（2）-=-223x x ( )2=（x + ）(y - )
二次根式的性质
学习目标 ：
1、掌握二次根式的基本性质：a a =2 ，能利用上述性质对二次根式进行化简. 预习案 一、复习引入：
1、定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫 ，a 叫做______。

“”称为 。

2、二次根式
5
2
-x 有意义，则x = 。

3、在实数范围内因式分解：-=-226x x ( )2=（x + ）(y — )
x --21
（二）自主学习 1、计算：
=24
= =220
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时 2、计算：
-
2)4(=
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<
2,0a a 时 3、计算：
=20 当==2,0a a 时
归纳总结0000a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
练习1、化简下列各式：
（1）、=23.0 （2）、=-2)5.0( （3）、=-2)6( （4）、
()2
2
a = （0<a ）
4、讨论二次根式的性质)
0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。

练习2：化简：（1= (2)
0)x p =
（3）2)4(-π= (4))3()3(2≥-a a =
注：利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。

探究案 例1：化简：
（1）()232+x （
x ＜-2）
（2）若0＜x ＜1，化简：
4)1
(2+-x
x －4)
1(2-+x x
（3）(2
2x ＞0，y ＞0） （4）a 、b 、c 为三角形的边，b a c --
练习3：2)12(-x -2)32(-x )2(≥x 练习4：若2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x
例2：5、已知42-x +y x +2＝0，求x y -的值
练习5：若2140x y -+-=，求 3
212xy ⎛⎫
⨯ ⎪⎝⎭的值。

训练案 1、把()
2
1
2--x x 的根号外的()x -2适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2B 、2-x C 、x --2 D 、2--x 2、已知实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：
二次根式的乘法 学习目标：
a b ab a ≥0，b ≥0）ab a b a ≥0，b ≥0），并利用其进行计算化简
预习案
（一）复习引入
（149=__ __49⨯=____； 49_ _49⨯
（21625=____1625⨯；
1625_ _1625⨯（二）、探索新知
交流总结规律：一般地，对二次根式的乘法规定为 乘法法则：
a ·
b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0 积的算术平方根:
ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）
练习1：（157 = （2）
13
9= （3x y z g g = （4274
43g = （5916⨯= （61681⨯= （781100⨯= （8）9×27=
探 究 案
例1、计算（应用a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0
b 0
a
（1）× （2 （3(
练习1：计算： ①55×215 ③312a ·231ay
例2、化简(逆用乘法法则
（1= （2= (3) =
练习2：化简: = = = =
=
总结：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。

例3、 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1=
（2=4
训 练 案
1、等式1112-=-•+x x x 成立的条件是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ≥-1
C ．-1≤x ≤1
D ．x ≥1或x ≤-1 2、二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ） A ．26 B ．-26 C ．6 D ．12 3、若04
1
44222=+
-++++-c c b b a ，则c a b ••2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1 2、化简：
（1）360= （2= （3= （4= （5）432x =
3、计算：
（1）3018⨯； （2）75
2
3⨯
； （3）68×（-26）； （4；
4、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

(1) -33
2 (2) a a 212-
二次根式的除法
学习目标:
掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

预习案
（一）复习回顾
1二次根式的乘法法则： 积的算术平方根的性质： 2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯
3、填空： （1
=____； 规律：
（2；
一般地，对二次根式的除法规定
练习1、计算：（1
= （2= （3= （4=
探究案
问题：对于二次根式运算的结果有什么要求
最简二次根式（化简二次根式的要求）：
1．被开方数中不含能 因数或因式（如：== ，== ）
2. 分母中不含有根式（由
2
a ==与(0)
b b
c bc
c
a a c ac ==≠g ，则
==g ）
（注：分子分母同时乘以 的
= = ）
3.根号内不能是 数或 式（如：= = = =
= = = = ）
练习2：化简:(1) = (2) = (3)
= (4)
20
8=
例1：化简：（1 （2
30,0)m n f f （4
练习3：化简 （1）2 （2）
x
x 823 （3 （4
例2：计算（1 （2） （3
练习4：计算（1 (2) ( （3）5
21312321⨯÷
（4）2147431⨯÷ (5) 2
1
54
1
)741
8
1
(2133÷-
⨯
（6）a
b b a ab b 3)23(235
÷-•（a >0,b >0）
总结：1、灵活变形，大小根号可以互换. 2、除法变成 （除数变成 ） 3、带分数要变成 （注意带分数与分数与根式乘法的区别） 4、注意结果符号（同号得 ，异号得 。

）
二次根式的加减学案
学习目标：
理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式，理解和掌握二次根式加减的方法． 预习案 （一）、复习引入 1、计算．（1）x x 32+；（2）222532x x x +-；（3）y x x 32++；（4）22223a a a +-
（二）计算下列各式．
（1） = （2） = （3 =
二次根式的被开方数相同也是可以合并，如但它们也可以合并（与同类项类似把33与32-， a 2-与a 4称为同类二次根式（化简之后，被开方数 ）
练习1．以下二次根式：是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 练习2．若最简二次根式123+x 与13-x 是同类二次根式，则x ＝______．
+ = 3+ =
所以，二次根式加减时，先将二次根式化成 ，•再将同类二次根式进行 ．
探究案
例1．计算 （1 （2） （3））+
归纳： 将不是最简二次根式的项化为 二次根式；将 的最简二次根式进行 ． 练习3：计算(1) )27
131(
12-- (2) )512()2048(-++ (3) y
y
x y x x 1
241+-+ （4）)461(9322x x x x x x --
例2．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（2
3
+y -（x
练习4.先化简，再求值．)364()36(3xy y
x x xy y x y x
+-+，其中x =32，y =27．
训练案
1．下列：①；②
1
7
=1；；，其中错误有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 2．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( ) (A)3和18
(B)3和
3
1 (C)b a 2和2ab
(D)1+a 和1-a
3．下列各式的计算中，成立的是( )
A ．5252=+ B.15354=- C.y x y x +=+22 D.52045=-
4．计算二次根式的最后结果是________．
5．若最简二次根式b a +3与b a b 2+是同类二次根式，则a ＝____，b ＝____． 6．计算：（1）
a a
a a a a a 1084
333273123-+-
二次根式的混合运算 学习目标:
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

预习案
（一）复习回顾
（1）整式混合运算的顺序是： 。

（2）二次根式的乘除法法则是： 。

（3）二次根式的加减法法则是： 。

（4）写出已经学过的乘法公式：① ② 5、计算： （1）6·a 3·b 31 （2）16141÷ （3）505
1
1221832++-
探究案
例1、计算：
（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷- （3）)52)(32(++ （4）
2)232(-
练习1：计算： （1）12)3
2
3242731(
⋅-- （2）)32)(532(+-
注：整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。

例2：计算（1）2(71)+-- (2)
(3)
(4) ()0
1
(1 3.14π-+-
总结：1、先确定运算顺序，再逐步计算
2、分母带跟号： ，若分母能构成平方直接
3、整体平方开根号等于整体的 ，1=
练习2：（1）2(71)+-- (2)
(3)
(4) ()0
1(1 3.14(5π-+---+
例3：观察：
2221)211213=-⨯=-=-
反之，23211)-=-= ∴
231)-= ∴ 223-=2-1
仿上求：（1）；324+= （2）124-=
训 练 案
1、计算：
（1）5)9080(÷+（2）326324⨯-÷（3）)()3(33ab ab ab b a ÷+-（a >0,b >0）
《二次根式》复习
学习目标：1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算，熟练进行二次根式的加减法运算和化简。

自主复习
1．若a ＞0，a 的平方根可表示为________，a 的算术平方根可表示________
2．当a ______
有意义，当a ______
没有意义。

3
________
=______=
4．________1872_______;4814=÷=⨯
5．_______20125_______;2712=-=+
6、计算： (1) 25341122÷⨯
(3) 2(-
7、精讲点拨：在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：
（1
）二次根式性质：22(0)(0)a a a a =≥=≥与
（2）二次根式性质：⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==000
02a a a a a a a （3
0,0)0,0)a b a b =≥≥=≥≥
（4
0,0)0,0)a b a b =≥>=≥>
（5）完全平方公式与平方差公式：22222()2()()a b a ab b a b a b a b ±=±++-=-与 探 究 案（两类式子简算）
例1：（1
++L L (2) 20092010(⨯
练习1：（1
+++L L （2）20092009(3(3+
总结：第一类：先将分母 ，再消掉 部分，最后检查可否简化。

第二类：先观察底数能否相乘是否为 ，再根据乘方的性质把指数转变成 ， 底数先相乘，最后检查是否可简化。

训练案
1、化简()25-的结果是（ ）
A 5
B -5
C 士5
D 25 2、代数式
24
-+x x 中，x 的取值范围是（ ） A 4-≥x B 2>x C 24≠-≥x x 且 D 24≠->x x 且
3、化简272
3-的结果是（ ）
33A B C D - -
4、计算．
(1)453227+- (2)
(3)2)+
5、已知223,223+=-=
b a 求b a 11-的值。