内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2020届高三数学第二次模拟考试试题 文

2020届高三年级第二次模拟考试考试
数学（文）试题
考试时间：2020年11月14日 满分：150分 时长：120分
第一部分
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合M={0|<x x }，N={822
1
|
<<x x }，R 是实数集，则)(N M C R Y =（ ） A ．}3|{≥x x B ．}01|{<<-x x C ．1|{-≤x x 或}0≥x D ． }3|{<x x 2．已知tan 2θ=，则2
2
sin sin cos 2cos θθθθ+-= （ ）
A ．4
3
-
B.
5
4
C.
45
D.34
-
3．设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x 2
－x ，则f(1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
4．已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( )
A ．－1
B ．2
C ．0或－2
D ．－1或2
5．设323log ,log log a b c π===( )
A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >>
6．已知点P(2，y)在抛物线y 2
＝4x 上，则P 点到抛物线焦点F 的距离为( )
A ．2
B ．3 C. 3 D. 2 7．下列说法正确的是（ ）
A ．“0)0(=f ”是“函数)(x f 是奇函数”的充要条件
B ．若p ：R x ∈∃0,01020>--x x ，则p ⌝：R x ∈∀，012
<--x x
C ．“若6π
α=
，则21sin =
α”的否命题是“若6πα≠，则2
1sin ≠α”
D ．若q p ∧为假命题，则p ，q 均为假命题
8．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于1
2
，则C 的方程是 ( )
A.x 2
3＋y 2
4＝1 B.x 2
4＋y 2
3
＝1 C. x 2
4＋y 2
2＝1 D.x 2
4＋y
2
3＝1
9．已知向量b a ,，3=32=，
且)(b a a +⊥，则与的夹角为( )
A.
π2 B.2π3 C.3π4 D.5π
6
10． 设在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若A a B c C b sin cos cos =+，则ABC ∆的形状为（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不确定 11．已知双曲线9y 2－m 2x 2
＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15
，则m ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知)(x f y =为偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2
+-=，则满足2
1
))((=a f f 的实数a 的个数为（ ）
A 、8
B 、6
C 、4
D 、2
第二部分
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个题目考生都必须做答。

第（22）～第(23)题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．函数y ＝a x
在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为________。

14．已知C B A ,,为圆O 上的三点，若)(2
1
+=
，则与的夹角为 。

15．过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心C 在直线l ：2x －7y ＋8＝0上的圆的方程为________。

16．下面有5个命题：
① 函数4
4
sin cos y x x =-的最小正周期是π． ② 终边在y 轴上的角的集合是{|,}2
k k Z π
αα=
∈． ③ 在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点． ④ 把函数3sin(2)3
y x π
=+的图象向右平移
6
π
得到3sin 2y x =的图象． ⑤ 函数sin()2
y x π
=-
在[0,]π上是减函数．
其中，真命题的编号是 。

（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。

17．（本小题满分12分）设函数f(x)＝sinωx＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx－π2，x ∈R.
(1)若ω＝1
2
，求f(x)的最大值及相应的x 的集合；
(2)若x ＝π
8是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求f(x)的单调递增区间。

18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3cos(B －C)－1＝6cosBcosC.
(1)求cos A ；
(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c 。

19．（本小题满分12分）已知：圆C ：x 2
＋y 2
－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.
(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；
(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB|＝22时，求直线l 的方程。

20．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M ：2222+=1(>>0)x y a b a b
的右焦点F
作直30x y +-=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为
12
. (1)求椭圆M 的方程；
(2) ,C D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ACBD 面积的最大值。

21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .
(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (2)求()f x 的单调区间；
(3)设2
()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得
12()()f x g x <，求a 的取值范围。

请考生从第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑。

把答案填在答题卡上。

22． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为。

（1）M 为曲线C 1的动点，点P 在线段OM 上，且满足16⋅OM OP =，求点P 的轨迹
C 2的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为π
23
（，），点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值。

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
（1）设函数|1||3|)(--+=x x x f ，解不等式1)(≤x f ； （2）已知
=2，证明：+
≤2a b 。

高三数学（文科）参考答案：
一、选择题：1.A 2.C 3.A 4.D 5.A 6.B 7.C 8.D 9.D 10.B 11.D 12. A 二、填空题：13. 2 14.ο90 15. 13)2()3(2
2=-+-y x 16.①④
三、解答题：
17. 解：(1)f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ， 当ω＝12时，f (x )＝sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，又－1≤sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－π4≤1，
所以f (x )的最大值为2，此时，x 2－π4＝π
2＋2k π，
k ∈Z ，即x ＝
3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x 的集合为{x |x ＝3π
2
＋4k π，k ∈Z}． (2)法一：因为f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π4，
所以，x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8－π4＝0，
即
ωπ8
－π
4
＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，k ∈Z ，
又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－1
4
<k <1，而k ∈Z ，
所以k ＝0，ω＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π8＋k π≤x ≤3π
8
＋k π，k ∈Z ，
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z.
法二：x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ωπ8－cos ωπ8＝0，
即tan
ωπ
8
＝1.所以
ωπ
8＝k π＋π
4
，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z 又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.
以下同法一．
18. 解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，
得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－1
3
，
从而cos A＝－cos(B＋C)＝1 3 .
(2)由于0<A<π，cos A＝
1
3
，所以sin A＝
22
3
.
又S△ABC＝22，即
1
2
bc sin A＝22，解得bc＝6.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋c2＝13.
解方程组
⎩⎪
⎨
⎪⎧bc＝6，
b2＋c2＝13，
得
⎩⎪
⎨
⎪⎧b＝2，
c＝3，
或
⎩⎪
⎨
⎪⎧b＝3，
c＝2.
19. 解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，
半径为2.
20.【解析】（1）设
112200
()(),(,)
A x y
B x y P x y
，，，,则
∵
22
11
22
+=1
x y
a b
，
22
22
22
+=1
x y
a b
，21
21
=1
y y
x x
-
-
-
，
∴
2
2121
2
2121
()
==1
()
b x x y y
a y y x x
+-
-
+-
，
∵0
21020
1
2,2,
2
y
x x x y y y
x
+=+==.∴22
2
a b
=.
∵由题意知，椭圆M的右焦点为(3,0)，
∴2
2
3a b -=.∴2
2
6,3a b ==.∴椭圆M 的方程为
22
+=163
x y . （2
）由22+=163
0x y x y ⎧⎪⎨⎪+=⎩
，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
0x y =⎧⎪⎨=⎪
⎩
∴AB =. 由题意可设直线CD
的方程为(3
y x n n =+-
<<， 由22
+=163x y y x n ⎧⎪⎨⎪=+⎩
，得2234260x nx n ++-=， 设3344(,),(,)C x y D x y ，则23434426,33
n n x x x x -+=-⋅=，
∴CD =
= ∴四边形ABCD
的面积12S AB CD =
⋅=. 当0n =
时，max 3
S =
， ∴四边形ABCD
面积的最大值为3
． 21. 解：(Ⅰ)由已知1
()2(0)f x x x
'=+
>， ………………2分 (1)213f '=+=.
故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. ………………4分 (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x
+=+
=>. ………………5分 ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >
所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………6分 ②当0a <时，由'()0f x =，得1
x a
=-.
在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1
(,)a
-+∞上()0f x '<，
所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1
(,)a
-+∞.
………………7分
（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <. ………………8分
max ()2g x = ………………9分
由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在3
3
(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) ………………10分 当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1
(,)a
-+∞上单调递减，
故()f x 的极大值即为最大值，1
1
()1ln()1ln()f a a a
-=-+=----， ………11分 所以21ln()a >---，解得3
1
e a <-. ………12分 22.解：
（1）设P 的极坐标为（
）（＞0），M 的极坐标为
（）由题设知
|OP|=，=.
由
|OP|=16得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为.
（2）设点B 的极坐标为
（
）.由题设知|OA|=2，
，于是△OAB 面积
当
时， S 取得最大值
. 所以△OAB 面积的最大值为.
23. 解：（1）]21
,(--∞∈x （2）因为+
=+++33223
()33a b a a b ab b
=++23()ab a b +≤+
+2
3()2(a b)4
a b +=+3
3()24
a b
所以 +≤3()8a b ，因此+≤2a b。