《图形的相似》总结提升

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类型之四
运用相似三角形证明角相等
要证明两个角相等，可证明这两个角所在的三角形相 似，且这两个角是对应角，若两个角所在的三角形不相似 ，也可添加辅助线，构造相似三角形．
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例 4 已知：如图 3－T －3，在△ABC 中，AB ＝ AC，延长 AB 到 D， 使 BD＝AB ，CE 是△ABC 的中线，连接 CD.求证：∠ACE ＝∠D.
[解析] ∵x ∶y∶z＝2∶3∶4， 可设 x ＝2k ，则 y＝3k ，z＝4k (k ≠0)， ∴2x －3y＋2z＝2×2k －3×3k ＋2×4k ＝3k ＝6， ∴k ＝2， ∴x ＋2y－z＝2k ＋6k －4k ＝4k ＝8.
[点评] (1)遇等比常用参数法设公比， 以便简化计算． (2)x ∶y∶z x y z ＝2∶3∶4，等价于 ＝ ＝ . 2 3 4
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类型之三
运用三角形相似证明线段相等
证明两条线段相等的方法有： (1)证明两条线段所在的三角形全 等； (2)证明两条线段所在的三角形是等腰三角形；(3)证明两条线段 所在的四边形是平行四边形； (4)利用等量代换证明两条线段相等． 如 若 A ＝B ，C＝B ，则 A ＝C.除上述方法外，我们还可以利用三角形相 a c e c a e 似证明两条线段相等．如若 ＝ ， ＝ ，则 ＝ ，即 A ＝E . b d b d b b
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类型之五
过某一点作平行线
在平面几何中，会遇到证明比例线段或求两线段的比 的问题，而题中(图中)不具备直接证明的条件，若尝试过 某一点作平行线，往往会“柳暗花明”．过某一点作平行 线，目的就是构造相似三角形或直接构造比例线段，这是 一种重要的辅助线，请特别留意．
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例 5 已知：如图 3 － T －4 ，在△ABC 中， D、 E 分别为 AB ， AC 上的点，且 BD＝CE ，连接 DE 并延长，交 BC 的延长线交于点 F ，连接 AF . 求证：AC·EF ＝AB ·DF .
图 3－T －4
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AC DF ＝ ，但图中不具备条件， AB EF 为构造比例式，过某一点(点 E )作平行线，问题便可解决． [解析] 要证结论成立，即证
证明： 过 E 作 EG∥AB 交 BC 于 G，则∠B ＝∠EGF ，又 ∠BFD＝∠GFE ， DF BD ∴△DFB ∽△EFG，∴ ＝ . EF GE DF CE ∵BD＝CE (已知)，∴ ＝ . EF G E AC CE ∵EG∥AB ，∴△CGE ∽△CBA ，∴ ＝ ， AB GE AC DF ∴ ＝ (等量代换 )， AB EF ∴AC·EF ＝AB ·DF .
类型之一 比例线段的应用
比例线段的应用一般体现在以下两个方面： (1)已知比例线段中的三条线段的长，借助方程以及比例 线段的基本性质求第四条线段的长；(2)利用线段的比，借助 “设参数k”的方法求其他比例线段的值．
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例 1 已知 x ∶y∶ z＝2∶3∶4 ，且 2x －3y＋ 2z＝6 ，那么 x ＋ 2y－z＝________ ． 8
图 3－T －1
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解：(1)证明：(方法一 )∵四边形 EFGH 为矩形， ∴EF ∥GH ，∴△AHG∽△ABC. AM HG 又∵AD⊥ BC，∴AM ⊥HG，∴ ＝ . AD BC (方法二)∵四边形 EFGH 为矩形，∴EF ∥GH ， ∴△AHG∽△ABC，△ AHM ∽△ABD， HG AH AM AH AM HG ∴ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ . BC AB AD AB AD BC AM HG (2)由(1)得 ＝ . 设 HE＝x ，则 HG＝2x . AD BC ∵AD⊥BC ，∴DM ＝HE ， ∴AM ＝ AD－DM ＝AD－HE ＝30－x . 30－x 2x 可得 ＝ ，解得 x ＝12，2x ＝24. 40 30 ∴矩形 EFGH 的周长为 2×(12＋24)＝72(CM )．
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类型之二
相似三角形的性质的运用
相似三角形对应边成比例、对应高的比等于相似比、面 积的比等于相似比的平方．
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例 2 如图 3－ T － 1 ，△ ABC 是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边 BC 上的高，BC＝40 cm ，AD＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一 个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH ，使它的一边 EF 在 BC 上， 顶点 G、 H 分别在 AC、AB 上，AD 与 HG 的交点为 M . AM HG (1)求证： ＝ ； AD BC (2)求矩形 EFGH 的周长．
图 3－T －3
[解析] 因为∠ACE 、∠D 分别是△ACE 、△ADC 中的角，要证 这两个角相等，可考虑证这两个三角形相似，这两个三角形已有 ∠EAC＝∠CAD ，通过计算证明夹这两个角的两边对应成比例．
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1 AC 证明：∵AC＝AB ， AE ＝ AB ，∴ ＝2. 2 AE AD AC AD ∵AC＝AB ＝BD，∴ ＝2，∴ ＝ . AC AE AC 又∵∠A ＝∠A ，∴△ACE ∽△ADC， ∴∠ACE ＝∠D.
数 学
新课标（XJ） 九年级上册
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本章知识框架
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长度 相等 ad
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相等对应成比例Fra bibliotek对应相等 对应成比例 对应成比例
夹
相似比 相似比的平方 相等 成比例 相似比 相似比的平方
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位拟比 相似比 相似 平行或在通一条直线上
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整合拓展创新
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例 3 如图 3－ T －2，四边形 ABCD 中，AD∥ BC，对角线 AC、 BD 相交于点 O， 过 O 作底边 BC 的平行线分别交 AB 、 CD 于点 E 、 F .求证：OE ＝OF .
图 3－T －2
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证明：∵OE ∥BC， ∴∠AEO ＝∠ABC. 又∠EAO ＝∠BAC(公共角)， OE AO ∴△AOE ∽△ACB ， ∴ ＝ .① BC AC OF DO 同理可证 ＝ .② B C DB 又 AD∥BC ，∴△AOD∽△ COB ， AO DO C O OB ∴ ＝ ，∴ ＝ ， C O OB AO DO C O＋AO OB ＋DO A C DB ∴ ＝ ，即 ＝ ， AO DO AO DO AO DO ∴ ＝ .③ A C DB OE OF 由①②③得 ＝ ， BC BC ∴OE ＝OF .