高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》单元汇编附答案解析

高考数学《平面向量》课后练习
一、选择题
1．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3
π，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( ) A ．4
B ．2
C ．1
D ．16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解.
【详解】 由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ， 所以|2|2a b -=r r ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
A ．,,M N P 三点共线
B ．,,M N Q 三点共线
C ．,,N P Q 三点共线
D ．,,M P Q 三点共线 【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可.
【详解】 因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r
所以()
2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r
,
因为5MN a b =+u u u u r r r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r 由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu r 为共线向量,
又因为MN u u u u r 与NQ uuu r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线. 故选: B
【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
3．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v
（） A ．4
B ．6
C ．23
D ．43 【答案】B
【解析】
【分析】 根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，
∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，
∴|||3 302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故选B ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
4．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C 2
D ．2 【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.
【详解】 由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r ，
,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r ，
()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.
故选：B .
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.
5．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r
（ ） A ．3144AB AC -u u u r u u u r B ．1136
AB AC -u u u r u u u r C ．2133AB AC -u u u r u u u r D ．3144
AB AC +u u u r u u u r 【答案】A
【解析】
【分析】 根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r ，化简得到答案.
【详解】
()
11312444
MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u u r r u u u r . 故选：A .
【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
6．已知a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ）
A ．-4
B ．-2
C ．2
D ．4 【答案】D
【解析】
【分析】 根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r 方向上的投影a b b
⋅r r r . 【详解】
()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ，
即2220b a a b -+=r r r r g .
2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，
所以a r 在b r 方向上的投影为4a b b
⋅=r r r . 故选：D .
【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题.
7．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r ，则x =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=r r ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r
，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=r r ，
所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r ，解得1x =，故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v （ ）
A ．43
AD BE +u u u v u u u v B ．53AD BE +u u u v u u u v C ．4132
AD BE +u u u v u u u v D ．5132
AD BE +u u u v u u u v 【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的加减运算求解即可
【详解】 据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 故选B ． 【点睛】
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题
9．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v 的最小值是（ ）
A ．21-
B ．2
C ．0
D ．1
【答案】D
【解析】 试题分析：由题意得，设
，,,又因为,所以
，所以PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值为1，故答案选D. 考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.
10．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r （ ）
A ．134
- B ．54 C ．5 D ．154 【答案】B
【解析】
【分析】 据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r ，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.
【详解】
设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r
的方向为y 轴，建立直角坐标系，
则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
u u u r ， 所以95144
DE DF ⋅=-=u u u r u u u r . 故选：B.
【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
11．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）
A ．13-
B ．13
C ．12-
D ．12 【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.
【详解】
解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点，
由向量的加减法运算，
得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
， 2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，
则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩
， 则12
λμ+=-. 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
12．已知向量(3b =r ，向量a r 在b r 方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ）
A ．13
B ．1
3- C ．23 D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
设(),a x y =r 36x y +=-，()
34x λ=-，整体代换即可得解. 【详解】 设(),a x y =r ，
Q a r 在b r 方向上的投影为6-，∴362a b x b ⋅+==-r r r 即312x y +=-. 又 ()a b b λ+⊥r r r ，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即1330x y λλ++=，
∴()34x y λ+=-即124λ-=-，解得13
λ=
. 故选：A.
【点睛】
本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.
13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r ，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r
，A ，B ，C 三点共线且该直线不过
O 点，则S 2010等于（ ）
A ．1005
B ．1006
C ．2010
D ．2012 【答案】A
【解析】
【分析】 根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值.
【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ；
∴{a n }为等差数列；
由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线；
∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1，
∴S 2010()
12010201020101100522
a a +⨯===. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
14．已知椭圆C ：2
212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v ，则AF u u u v ＝( )
A
B ．2
C
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】 设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v ，得043x =，013
y n =，根据点
B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得
AF =u u u v 【详解】
根据题意作图：
设点()2,A n ，()00,B x y ．
由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =， 即1c =，所以右焦点F (1,0)．
由3FA FB =u u u v u u u v ，得()()001,31,n x y =-．
所以()0131x =-，且03n y =.
所以043x =，013
y n =. 将x 0，y 0代入2
212
x y +=， 得22
1411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.解得21n =， 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=.
故选A
【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.
15．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若
AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+等于（ ）
A．
323
3
-+
B．
323
3
+
C．31
-D．31
+
【答案】B
【解析】
【分析】
建立坐标系，求出D点坐标，从而得出λ，μ的值．
【详解】
解：1
AC=
Q，3
AB=，30
ABC
∴∠=︒，60
ACB
∠=︒，
以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则
13
,1
2
D
⎛⎫
+
⎪
⎪
⎝⎭
．
()3,0
AB=
u u u r
，()
0,1
AC=
uu u r
，
∴
13
,1
2
AD
⎛⎫
=+
⎪
⎪
⎝⎭
u u u r
．
Q AD AB AC
λμ
=+
u u u r u u u r u u u r
，
∴
1
3
2
3
1
λ
μ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，∴
3
3
1
λ
μ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，
23
1
λμ
∴+=+．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
16．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则AO
uuu v
·BC
uuu v
的值是
A ．－8
B ．－1
C ．1
D ．8
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1()2
AO AC BO AB CO =+++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1()2
BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则 1()()4
AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v
221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
2211(||)()42
AC AB AC BO AB CO =-+⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)[()]42
AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42
AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)42
AC AB AO BC =-+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 所以221(||)82
AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D 17．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
【解析】
【分析】
利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.
【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()
0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠=
，故ABC ∆为直角三角形.
故选：A.
【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.
18．如图，向量a b -r r 等于
A ．1224e e --u r u u r
B ．1242e e --u r u u r
C ．123e e -r u u r
D ．123e e -+r u u r 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r ，
19．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ） A ．13 B ．223- C ．23- D ．1
3
- 【答案】D
【解析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.
【详解】
//a b ∴r r
1cos tan sin 3
ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭
故选：D
【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.
20．已知向量(),1a x =-r ， (b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ）
A
B C ．2 D ．4 【答案】C
【解析】
由a b r r ⊥，(),1a x =-r ， (b r =，可得：x 0x ，==，即)
1a =-r
所以2a =
=r 故选C。