重点高中自主招生培训题

数学辅导提升试题
1、如果关于x 的方程22
30x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ）
A 、22<<-a
B 、23≤<a
C 、23≤<-a
D 、23≤≤-a
2、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是 （ ）
A 、296
B 、221
C 、225
D 、641
3、函数4433221-+-+-+-=x x x x y 的最小值是 。

4、已知231,231+=-=
b a ，则622++b a 的值为： A ． 3 B ．4 C ．5 D ．6
5、函数y
A ．225+
B ．3
C ．1+22
D ．5
6、如图，△ABC 中，AB ＝AC=BC ，P 为三角形内一点，PA 2=，PB ＝1，
PC =△ABC 的面积是 。

7、已知非零实数a,b 满足a b a b a 24)3(2422=+-+++-，则a+b=
8、设a ＞b ＞0,=-+=+b
a b a ab b a 则,622
9、如果关于x 的方程一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根X 1,X 2
,那么｜X 1-1｜+｜X 2-1｜的最小值是多少
A B C P
1、解：∵△=a2-4（a2-3）=12-3a2
（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，
若a=2，此时方程x2-2x+1=0的根x=1符合条件，
若a=-2，此时方程x2+2x+1=0的根x=-1不符舍去，
（2）当方程有两个根时，△＞0可得-2＜a＜2，
①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2-3≤0，解可得-≤a≤，而a=-时不合题意，舍去．
所以-＜a≤符合条件，
②若方程有两个正根，则，
解可得a＞，
综上可得，-＜a≤2．
故选C．
2、解：设第一排有a名学生，则第n排有a+n-1，
∴=3125，
∵a与n为正整数，n取到最大值，
∴a=38，n=50，
∴排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是：a+a+n-1+n-2+n-2=221．
故选B．
3、解：①x≤1时，y=1﹣x+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=30﹣10x，当x=1时，y最小值=30﹣10=20；
②1＜x≤2时，y=x﹣1+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=﹣8x+28，当x=2时，y最小值=28﹣16=12；
③2＜x≤3时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=﹣4x+20，当x=3时，y最小值=20﹣12=8；
④3＜x≤4时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（4﹣x）=2x+2，无最小值；
⑤x＞4时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）=10x﹣30，无最小值．
综上所述，原式的最小值为8．
5、
上式中，把1写成（0-1) 2, 2的平方写成(0-2) 2
则y表示的就是点(x,0)与点A（－2,1)、B(2，－2)的距离之和，即x轴上的点到此两点A、B距离之和，由图易得，y的最小值为｜AB|=5故有y≥5
PC=
=，
AC=，
=×××
故答案为：
9、解：若方程是f(x) = 0，则y = f(x)是一条抛物线
根的判别式4(m+3)2 - 4(m2+3) = 4(m2 + 6m + 9 - m2 - 3) = 4(6m+6) = 24(m+1)
因为有两个实数根，所以判别式大于等于0，即m >= -1
m取-1时，易知抛物线顶点在x = -2，且m增大时，抛物线顶点向左移动，远离x = 1
把x = 1代入方程，得到1 + 2m + 6 + m2 + 3 = m2 + 2m + 10 = 0，显然这个方程是无解的综上，抛物线的两个零点始终在x = 1的左边，且随m增大，抛物线零点与x = 1的距离不断增大
|x1-1|+|x2-1|代表的是抛物线两个零点与x = 1的距离之和，所以当m取-1时，这个值最小最小值是6。