陕西省宝鸡市2023-2024学年高一下学期期末测试数学试卷

陕西省宝鸡市2023-2024学年高一下学期期末测试数学试卷
一、单选题
1．某单位老、中、青人数之比依次为2:3:5.现采用分层随机抽样方法从中抽出一个容量为n 的样本，若样本中青年人人数为20，则此样本的容量n 为（ ） A ．40
B ．50
C ．70
D ．100
2．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间{}Ω1,2,3,4,5,6,7,8=，设{}11,2,3,4A =，
{}{}231,2,3,5,1,6,7,8A A ==，则（ ） A ．1A 与2A 互斥 B ．1A 与3A 相互对立
C ．1A 与2A 相互独立
D ．()()()()123123P A A A P A P A P A =
3．若()2
121(4),33z m m m i z i =+++-=-，则1m =是12z z =的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，//m α，则//n α B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥
D ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥
5．已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ） A ．3m -
B ．3
m -
C ．
3
m D ．3m
6．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中120A ︒=，1b =，且ABC V 面
ABC V 的外接圆的半径为（ ）
A B C D ．7．某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数
B ．甲班平均成绩高于乙班平均成绩
C ．甲班学生比乙班学生发挥稳定
D ．甲班不及格率高于乙班不及格率
8．如图，圆锥PO 的底面直径和高均是4，过PO 的中点1O 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）
A ．(4π+
B ．(6π+
C ．(8π+
D ．(9π+
二、多选题 9．下列关于复数2
1i
z =+的四个命题中为真命题的是（ ） A ．2z = B ．22i z =-
C ．z 的共轭复数为1i -+
D ．z 是关于x 的方程2220x x +=-的一个根
10．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，把得到的点数之和是几就选几班，针对这种选法下面说法不正确的有（ ）
A ．公平，每个班被选到的概率都为112
B ．公平，每个班被选到的概率都为1
6
C ．不公平，6班被选到的概率最大
D ．不公平，7班被选到的概率最大
11．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共
截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为12+则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）．
A ．A
B =B ．该半正多面体的外接球的表面积为6π
C ．AB 与平面BC
D 所成的角为4
π
D ．与AB 所成的角是
3
π
的棱共有16条
三、填空题
12．若一组样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差为4，则数据121x +，221x +，L ，21n x +的标准差为.
13．已知向量,a b r r 满足1,22a a b =+=r r r ，且()
2b a b -⊥r r r
，则b =r .
14．在空间四边形ABCD 中，AB =CD ，且异面直线AB 与CD 所成的角为30°，E ､F 分别是边BC 和AD 的中点，求异面直线EF 和AB 所成的角为..
四、解答题
15．如图，在OAB V 中，P 为线段AB 上一点，且OP xOA yOB =+uu u r uu r uu u r .
()1若AP PB =uu u r uu r
，求x ，y 的值；
()2若3AP PB =u u u r u u u r
，4OA =u u u r ，2OB =u u u r ，且OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为60︒，求OP AB ⋅u u u r u u u r 的值. 16．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,AED DCF △△分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点A '.
(1)求证:A D EF '⊥； (2)求三棱锥A EFD '-的体积.
17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[4050)[5060),[90100],,,,,L 得到如图所示
的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a 的值； (2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在[)50,60的平均成绩是61，方差是7，落在[6070),的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2.s
18．在ABC V 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；
(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.
19．某校在课外活动课上连续开展若干项体育游戏，其中一项为“扔沙包”的游戏．其规则是：将沙包扔向指定区域内，该区域共分为A ，B ，C 三个部分．如果扔进A 部分一次，或者扔进B 部分两次，或者扔进C 部分三次，即视为该项游戏过关，并进入下一项游戏．小杨每次都能将沙包扔进这块区域内，若他扔进A 部分的概率为p ，扔进B 部分的概率是扔进A 部分的概率的两倍，且每一次扔沙包相互独立．
(1)若小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为1
4
，求p ；
(2)设小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为1P ；设小杨第四次扔完沙包后，恰好游戏过关的概率为2P ，试比较1P 与2P 的大小．。