高考数学一轮复习平面向量多选题知识点总结含答案

高考数学一轮复习平面向量多选题知识点总结含答案
一、平面向量多选题
1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，
AB =BC =1，0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，以下正确的是
（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC
【答案】ABCD 【分析】
根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】
在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵
0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，
∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠
APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，
在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，
∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CD
PCA P CD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪'∠=∠⎩
，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即
1
2
BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP AC
CP BC
==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.
【点睛】
关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.
2．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→
→
=<<，则下列结论正确的是（ ）
A ．当13λ=时，1233
E A A E D B →→
→=+
B ．当23λ=时，10
cos ,10
AE BE →→=
C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →
→
⊥不成立
D ．A
E BE →→
+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】
根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→
→
=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，
当1
3
λ=
时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →
→→=+，即可判断A 选项；当2
3
λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公
式、向量的数量积运算和模的运算，求出cos ,AE BE →→
=
，即可判断B 选项；若AE BE →→
⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→
→
+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.
【详解】
解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→
→
=，可得()3,2E λ，
A 项，当1
3
λ=
时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-， 设AD m AE n BE →→→
=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
故2133
AD AE BE →
→→
=+，A 错误；
B 项，当2
3λ=
时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-，
故
cos ,AE BE AE BE AE BE
→→
→
→
→
→
⋅==
=
⋅，B 正确；
C 项，()3,2AE λ→
=，()33,2BE λ→=-，
若AE BE →→
⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→
⋅=-+⨯=-+=， 对于方程29940λλ-+=，()2
Δ94940=--⨯⨯<， 故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →
→
⊥，C 正确；
D 项，()63,4A
E BE λ→→
+=-，所以
4AE BE →→
+=≥，
当且仅当1
2
λ=时等号成立，D 正确. 故选：BCD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.
3．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b ⊥，则tan 2θ=B ．若b 在a 上的投影为12
-
，则向量a 与b 的夹角为23π
C ．存在θ，使得||||||a b a b +=+
D ．a b 3【答案】BCD 【分析】
若a b ⊥，则tan 2θ=-A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-，且||1b =，则2π
cos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若b 在a 上的投影为1
2
-
，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确； 2cos sin a b θθ+==3)θϕ+， a b 3D 正确.
【详解】
若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan 2θ=-A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-
，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2π
cos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若2()2a b a b a b =+2
2
++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C
正确；
2cos sin a b θθ+==3)θϕ+，因为0πθ≤≤，π
02ϕ<<，则当π2
θϕ+=时，
a b 3，故D 正确，
故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2π
θθ⎛⎫
≠
⎪⎝
⎭
角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若
12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在
23
π
θ=
的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）
A ．()1,3a b -=-
B ．5a =
C ．a b ⊥
D ．a 在b 上的投影为37
14
-
【答案】AD 【分析】
123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；3
2
a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3
3727a b b
-
⋅==，故D 正确.
【详解】
()(
)
121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；
()
2
12
2254cos
33
a e e π
=
+=+=B 错误；(
)()
2
2
121211223
222322
a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-
，故C 错误；
由于(
)
2
22
27b e e =-=，故a 在b 上的投影为3
3727a b b
-
⋅==-
，故D 正确。

故选：AD 【点睛】
本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．12
33
BE BA BC =
+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14n
n n a a +-=
【答案】BD 【分析】 证明12
33
BE BA BC =
+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}
是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14n
n n a a +-=，所以选项D 正确，易得
321a =，选项C 不正确.
【详解】
因为2AE EC =，所以2
3
AE AC =， 所以2
()3
AB BE AB BC +=+, 所以12
33
BE BA BC =
+，所以选项B 正确；
设BD tBE =（0t >），
则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以
()()1111
23n n n n BE a a BA a a BC t t
-+=
-+-， 所以
()11123n n a a t --=，()11233
n n a a t +-=， 所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，
显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；
因为2a -1a =4，
11
4n n
n n a a a a +--=-， 所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以14n
n n a a +-=，所以选项D 正确，
易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b += B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ⋅=-
【答案】CD 【分析】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒. 由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；
由()2
2
221243a b
a a
b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2
144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.
故选：CD 【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
7．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是
（ ） A ．1- B ．
113
C ．
313
+ D ．
313
- 【答案】BCD 【分析】
由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】
若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=
230k ∴+=解得23
k =-
若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
2390k ∴-+-=解得113
k =
若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
()130k k ∴-+-=解得313k ±=
综合可得，k 的值可能为211313313
,,,
33+-- 故选：BCD 【点睛】
本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.
8．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=的格点B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 【答案】BCD 【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=，
所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．
若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
二、立体几何多选题
9．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0
60,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）
A ．BC FM ⊥
B ．A
C 与平面MOF 所成的角的余弦值为
32
C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°
D ．设平面ABF 平面MOF l =，则有//l AB
【答案】AD 【分析】
证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ； 【详解】
由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=，
所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；
因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为
1
2
，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作
//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF
与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A
，所以
23BC =，则1
3,12
OF BC OM =
==，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面
MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得：//l AB ，故D 正确； 故选：AD.
【点睛】
方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
10．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使得1CN A
B ⊥
B ．翻折过程中，CN 的长是定值
C ．若AB BM =，则1AM B
D ⊥
D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -外接球的体积是43
π 【答案】BD
【分析】
对于A ，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，不可能；
对于B ，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112
NE AB =
（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得NC 是定值．
对于C ，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，假设1AM B D ⊥，易得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不一定成立．
对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，体积是
43
π． 【详解】 对于A 选项：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，
则11////NE AB NF MB ，，又11AB MB ⊥，所以EN NF ⊥，
如果1CN AB ⊥，可得EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，
不可能，故A 选项不正确；
对于B 选项：如图1，由A 选项可得1AMB EFN ≈△△，故1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值）， 故在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，
整理得2
22212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 选项正确．
对于C 选项：如图，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，
由AB BM =，得1B O AM ⊥，假设1AM B D ⊥，
111B D B O B =，所以AM ⊥面1ODB ，所以OD AM ⊥，
从而AD MD =，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C 选项不正确．
对于D 选项：由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，
此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得12
BO =，
DM =11
B E ===， 因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1， 体积是
43
π．故D 选项正确． 故答案为：BD ．
【点睛】 本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大.。