可迁图的一些性质

窑2窑
黄山学院学报
2019 年
也可由如下递归定义得到：
n个
定义 5 Q1=K2，Qn=Qn-1伊Q1=K2 伊K2 伊…K2 ，n逸2。 由定义易知超立方体网络是点可迁的，具有一 些简单的递归和高对称结构、高容错，以及简单结 构的可嵌入性、简单路由选择算法和易扩充性等许 多好的性质[3，4]。 图 的 点 可 迁 和 边 可 迁 是 两 个 不 同 的 概 念 ，但 又有着密切联系，国内外有许多关于可迁图的研 究[5-7]。徐俊明给出了它们的一个性质，并通过有向 图证明了性质。 性质 1 每个 啄（G）跃0 的边可迁图 G 都是点可 迁图或者二部分图。 事实上边可迁的概念对于有向图和无向图是 不一样的。一个无向图是边可迁的，但作为有向图 不一定边可迁，例如无向路 P2 边可迁，而有向路 P2 不是边可迁。本文给出了可迁图的另外几个性质。 性质 2 任何点可迁有向图是正则的。 证明：任取有向图 D 中不同顶点 x，y，由于 D 是 点可迁的，所以存在兹沂A u（t D）使得 y=兹（x）。令 F={z沂V（D）|z=兹（u），u沂N+D（x）}，
有 d+D（x）和 d-D（x）不能同时为 0，令 V 1={x沂V（G）|d+D（x）屹0}，V 2={x沂V（G）|d-D（x）屹0} 显然 V 1胰V 2=V（G），且由边可迁性质，V 1 中点互
相相似，V 2 中点互相相似。 情形 1：V 1疑V 2=覫，则 G 为二部分图； 情形 2：V 1疑V 2屹覫，则 G 为点可迁图。 性质 4 连通的边可迁图 G 都是二部分图或者
点可迁图。 证明：对于无向图，G 连通，则 啄（G）跃0，故定理
成立。 对于有向图，G 连通，令 V 1胰V 2=V （G）。若
V 1疑V 2=覫，则 G 为二部分图；否则 V 1疑V 2屹覫。 情形 1：x，y沂V 1，则（x，u）沂E（G），（y，v）沂E（G），
故埚兹沂A u（t G）使得 兹（x）=y； 情形 2：x，y沂V 2，类似情形 1； 情 形 3：x 沂 V 1，y 沂V 2， 由 于 V 1 疑 V 2 屹 覫，设
则 | F |=| N+D（x）。由于兹在 V（D）上保持相邻性，
所以 F沂 N+D（y），因此
| F |=| N+D（x）|燮| N+D（y）|。 同样存在 仔沂A u（t D）使得 x=兹（y），且有 | N+D（y）|燮| N+D（x）|，所以
d+D（x）=| N+D（y）|=| N+D（x）|=d+D（y）。 同理可证 d-D（x）=| N-D（y）|=| N-D（x）|=d-D（y），由 x，y 的任意性知有向图是正则的。 性质 3 无孤立点的边可迁有向图 G 都是二部 分图或者点可迁图。 证明：由于图 G 无孤立点，所以对任意的 x沂V（G），
络拓扑结构中一类重要图遥 通可迁图曰性质
中图分类号院O157.5
文献标识码院A 文章编号院1672-447X渊2019冤05-0001-002
计算机互连网络通常指组件集合与通信信道集 合之间按照某些点对点方式相互连接所形成的系 统。组件之间连接方式是决定网络性能和价格比的 重要因素，因此研究网络组件之间的连接方式显得 十分重要。网络中组件和组件的连接方式称为网络 的拓扑结构。网络的拓扑结构是设计计算机互连网 络或制造超大规模并行计算机系统的重要一步，也 是实现协议的基础，对网络的性能、系统可靠性和费 用都有重大影响。在分析网络拓扑结构时，人们会把 网络中组件抽象成一个点，把通信信道抽象成两点 之间的连线，这样该网络的拓扑结构就被抽象成一 个图，于是研究网络的拓扑结构问题就转化为研究 图的结构问题。图是网络拓扑结构的一类重要数学 模型，可以通过图论方法来研究网络的拓扑结构。网 络的设计和分析经常需要计算机科学工作者和数学 工作者的密切协作和配合。
组合网络理论[1]的特点就是研究具体网络拓扑 结构中的理论问题。可迁图是图论中一类重要的图， 它具有许多有价值的性质，例如高度的对称性等，是 比较理想的高性能超大规模计算机系统互连网络拓 扑结构，本文采用有关图论术语和记号[2]。
定义 1 设 G =（V ，E）是有向图或无向图，在 V
（G）上定义二元关系 R： 坌x，y，沂V（G），xRy圳埚兹沂A u（t G）使得 y=兹（x）。若 xRy，则称 x，y 是相似的。
定义 2 设 G=（V ，E），是有向图或无向图，在 E（G）上定义一个二元关系 R*：
坌a，b 沂E （G），其中 a=（x,y）,b =（u，v），aR*b 圳 埚仔沂A u（t G），使得 u=仔（x），v=仔（y）。若 aR*b，则称 边是 a，b 相似的。
定义 3 若 G 中任何两顶点都是相似的，则称 G 是点可迁的；若 G 中任何两条边都是相似的，则 称 G 是边可迁的。
k
移 …xk 和 y=y1y2…yk 在 Qk 中相邻当且仅当 |xi -yi |= i=1
1，即有且仅有一个坐标不同。 由定义 4，利用图的笛卡尔乘积，超立方体 Qk
收稿日期院2019-03-18 基金项目：安徽省教育厅 2019 年高校学科渊专业冤拔尖人才学术资助项目渊gxbjZD38冤 作者简介院谢歆渊1973-冤袁安徽祁门人袁硕士袁黄山学院数学与统计学院袁副教授袁研究方向为图论和组合数学遥
超立方体网络的拓扑结构是指 k 维立方体，通 常记为 Qk。它的图论模型是一个简单无向图 Qk= （V ，E）。Haray 已列出它的许多等价定义，最常见的 是如下：
定义 4 {0，1}有序 k 元数组（亦称长为 k 的 2 元序列）
V ={x1x2…xk颐xi沂{0，1}，i=1，2，…，k}，两顶点 x=x1x2
第5期
第 21 卷第 5 期 2019 年 10 月
黄山学院学报 Journal of Huangshan University
可迁图的一些性质
Vol.21袁NO.5 Oct.2019
谢歆
（黄山学院 数学与统计学院，安徽 黄山 245041）
摘 要院图论是设计分析计算机互连网络拓扑结构的重要数学工具遥 可迁图有许多好的性质袁是互连网