一维无限深势阱的波函数

摘
要 ： 利 用 数 值 计 算 方 法 绘 制 了无 限 深 方 势 阱 的 不 同 解 析 解 形 式 的 波 函数 ， 讨 论 不 同解
析 解 波 函数 的 相 位 的 成 因 ， 并 通 过 绘 制 无 限 深 方 势 阱 的 概 率 密度 分 布 曲 线 得 出 虽 然 不 同 解 析 解
的 相 位 不 同 ，但 它们 的 概 率 分 布 是 一 致 的 结 论 ． 从 一 个 侧 面 说 明 了量 子 力 学 中的 波 函数 可 以 相
差 一相 位 因子．
关键 词 ： 概 率 密度 ； 波 函数 ； 相 位 中图分 类号 ： Ｏ４ １ ３ ． １ 文 献标 志码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ６ ７ ３ －１ ８ ０ ８ （ ２ ０ １ ４） ０ ３ — ０ ０ ０ ７ —０ ５
而根据 （ ４ ） 编 制 的程序可 以绘 制 ｎ ＝ ｌ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ， ６的波 函数 ．
， 厂 、 ＼
／
、
．
ｆ ｝
Ｉ Ｉ ．
ｌ
｛
Ｉ
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｜ 。 ｜ ｜
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２ 利 用 贰 ２ Ｊ 式绘 利 日 可ｎ ＝ ２ 的 渡 函 数 圈 惕
１ 无 限深 势 阱的 波 函数
考虑在一维空间中运动的粒子 ， 它的势能在一定区域 内（ ＝一 ０ 到 ＝０ ） 为零 ， 而在此 区域外势能为无
限大． 粒 子 的势 可 由下式 描述 ：
（ ） ＝０
／Ｌ
ｌห้องสมุดไป่ตู้
， Ｌ
（ ） ＝∞
这 种势 称 为一维 无 限深 势 阱． 它 的 一 组 坡 函数 的 解 为 ：
．
、
＼
２
｛、 ／ １ ｓ ｉ ｎ 旦 ２ ａ ， ｎ 为 …。 偶 数 Ｉ ｌ ‘ 。 ＜ Ⅱ
【０ ｌ ｌ ≥ａ
另 一组 解 的波 函数 为 ：
．
｛＼ ／ 』 ｃ ｏ ｓ 旦 ２ ａ ， 凡 为 ～ 奇数 ’ Ｊ’ Ｊ ＜ ｎ
（ ｘ ） ￡
１ ， ¨ ９ ｅ ７ ６ ６ ¨ ４ ∞ ３ １
， 呻
¨
０ 暑 ： 们 蚰
因为当 为偶数时有 ：
＝ ｓ ｉ ｎ 誓 一号 ｓ ｉ ｎ 署
旦 上仃 － 丌
（ ６ ）
这说明 ， 当波函数（ ４ ） 中 取偶数和奇数时， 分别对应（ ２ ） 和（ ３ ） ， 但如式（ ５ ） 和式 （ ６ ） 所示分别相差一个常
利用式4绘制的n1的波函数图像利用式4绘制的n2的波函数图像利用4式绘制的n3的波函数曲线图10利用4式绘制的n4的波函数曲线图11利用4式绘制的n5的波函数曲线图12利用4式绘制的n6的波函数曲线对应的概率密度曲线图16对应的概率密度曲线图13对应的概率密度曲线图14对应的概率密度曲线图17对应的概率密度曲线图18对应的概率密度曲线图19数值计算得到n1的波函数图20数值计算得到n2的波函数一维无限深势阱的波函数此问题也可利用有限差分法进行数值计算
【 ０ Ｉ Ｉ ≥
上 两式 可合 并 为一个 式 子
，
｛、 ／ ｌ 一ｓ ｉ ｎ ２ ａ （ ＋ 口 ）
ｉ ０
ｌ 。 。 ｌ ＜ ０
ｌ Ｉ ≥Ⅱ
因为 当 ｎ为 奇数 时有 ：
＝
ｃｏ ｓ
ａ 、 ／
…
ａ 、 ／
ｃｏｓ
＜ ≥ ｏ 口
维无限深方势阱中束缚态作为量子力学最基本 的问题 ， 大部分的量子力学书中都有讲述 ２ ３ ． 由于它 是 可 以求 得解 析 解 的为 数不 多 的例 子 之一 ，所 以研 究 它 的状态 对 于 掌握 量子 力 学 的基本 概念 和 处理 问题
一
的方法都有帮助 ， 所 以近年来仍然有不少文章对它进行讨论， 并提出一些新的见解［ ３ ． 本文讨论一维无 限深方势阱中束缚态中波函数的相位问题 ，其 中数学计算相对容易 ，物理图像清晰， 对 于深 入理 解 波 函数 具 有相 位不 确定 性这 一 特性 可 以起 到一 定 的积极 作 用．
／ ｌ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｆ ｜ Ｊ ＼ ／ ｜ ｜ ｜ ｜ ＼ ｜ ｜ ｜ ＼ ｜ Ｌ ／ Ｌ ｜
） （ ， ａ
图 ３ 利用（ ３） 式绘制的 ｎ ＝ ３的波函数 曲线
１
图 ４ 利用（ ２） 式绘制的 ｎ ＝ ４的波函数 曲线
。８ 。６ 。４
Ｏ２
一
｛ ｌ ｜ ｜ ／ ＼ ｆ
＇
ｌ
ｌ ｌ ｜ ＼ ｜ ＼ ／
ｆ
Ｉ
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数相 因子 ｅ 、 ｅ ．
２ 波 函数 曲线
由（ ２ ） 和（ ３ ） 式可作 出波 函数图 １ ～图 ６ ． 由（ ４ ） 式作出的波 函数 图为 图 ７ ～图 ｌ ２ ． 作图时以势阱宽度 口 为单位长度． 下面根据（ ２ ） 式编制程序绘制 ｎ ＝ ２ ， ４ ， ６ 的波函数， 根据 （ ３ ） 式编制程序绘制 ｎ ＝ ｌ ， ３ ， ５ 的波函数．
二 Ⅱ
“
［ 收稿 日期 ］ ２ ０ １ ４ — ０ ３ — ０ １ ［ 作者简介 ］贾 晶（ １ ９ ５ ９ 一） ， 男， 天津人 ， 山西大学物理电子工程学院 ， 副教授 ， 研 究方向 ： 量子光 学
・
７ ・
贾 晶
一 ｘ ）
一 维 无 限 深 势 阱 的波 函数
第３ ｌ 卷第 ３ 期
２ ０ １ ４年 ６月
晋
中
学
院
学
报
Ｖｏ １ ． ３１ Ｎｏ ． ３ Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ４
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ｎ ｚ ｈ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
一
维 无 限深 势 阱 的 波 函数
贾 晶
（ 山 西 大 学 物 理 电子 工程 学 院 ， 山 西 太原 ０ ３ ０ ０ ０ ０ ）
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