2018高考湖南文科数学试题及全解全析

y
x
2018高考湖南文科数学试题及全解全析
一．选择题
1．已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6
,5,4,2=N ，则( ) A ．{}6,4=⋂N M .B M N U = C ．U M N C u = )( D. N N M C u
= )( 【答案】B
【分析】由{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6
,5,4,2=N ，易知B 正确. 2．“21<-x ”是“3
<x ”的( )
【答案】A
【分析】由21<-x 得13x -<<，所以易知选A. 3．已条变量y
x ,知足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤≥,0,2,
1y x y x 则y x +的最小值是( )
【答案】C
【分析】如图得可行域为一个三角形，其三个极点分别为(1,1),(1,2),(2,2),
代入考证知在点 (1,1)时,x y +最小值是1
12.+=应选C. )
0()(2
≤=x x x f 的反函数是( ) )0()(.1≥=-x x x f A )
0()(.1
≥-=-x x x f B )0()(.1
≤--=-x x x f C )
0()(.21≤-=-x x x f D 【答案】B
【分析】用特别点法,取原函数过点(1,1),-则其反函数过点(1,1),-“原函数与反函
数的定义域、值域交换”来解答。

5.已知直线m,n 和平面βα,知足β
α⊥
⊥⊥,,a m n m ,则( ) .A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α
⊂n
【分析】易知D 正确.
6．下边不等式成立的是( )
A ．322l o g 2l o g 3l o g 5<<
B ．3log 5log 2log 223<<
C ．5log 2log 3log 232<<
D ．2log 5log 3log 322<< 【答案】A
【分析】由322
l o g 21l o g 3l o g 5<<< , 应选A. 7．在ABC
∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则A B A C •= ( ) A ．23-
B ．32-
C ．32
D ．2
3
【答案】D
【分析】由余弦定理得1cos ,4CAB ∠=所以13
32,42
A B A C •=⨯⨯=选Ｄ.
8．某市拟从4个要点项目和6个一般项目中各选2个项目作为今年度启动的项目，
则要点项目A 和一般项目B 起码有一个被选中的不一样选法种数是( ) A ．15 B ．45 C ．60 D ．75 【答案】C
【分析】用直接法：111221
353535
15301560,C C C C C C ++=++= 或用间接法：2222
4635
903060,C C C C -=-=应选Ｃ. 9．长方体1111
A B C D A B C D -的8个极点在同一个球面上，且AB=2，AD=3， 11=AA ，则极点A 、B 间的球面距离是( ) A ．
42π B ．2
2π
C ．π2
D ．2π2
【答案】B
【分析】11
2B D A C =R ∴设11,B D A C O =则
O A O B ==,2
AOB π
⇒∠=,2l R π
θ∴
=⨯应选Ｂ.
10．双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y
a
x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )
A ．
B ．)+∞
C ．(1]+
D ．1,)++∞
X
y
O
P
B
A
【分析】200a e x a x c -=+20(1)a e x a c ⇒-=+2
(1),a a e a c
⇒+≥-
1111,a e c e ∴-≤+=+2
210,e e ⇒--≤1212e ⇒-≤+ 而双曲线的离心率1,e >1,21],
e ∴∈应选Ｃ.
二．填空题
11．已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则b a +=_____________________. 【答案】２
【分析】由(1,3),||132.
a b a b +=-∴+=+= 12.从某地域15000位老人中随机抽取500人，其生活可否自理的状况以下表所示：
则该地域生活不可以自理的老人中男性比女性约多_____________人。

【答案】60
【分析】由上表得15000
(2321)23060.500
-⨯=⨯=
13．记n x
x )1
2(+的睁开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，
则n =__________. 【答案】5
【分析】由211(2)()2,r n r r n r r n r
r n n T C x Cx x
---+=⋅=⋅⋅得2233222,n n n n
C C --⋅=⨯⋅ 所以解得5.n
=
14．将圆1
2
2=+y x 沿x 轴正向平移1个单位后所获得圆C ，则圆C 的方程是________,若过点（3，0）的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率为
_____________.
【答案】22
(1)1
x y -+=
, ±【分析】易得圆C 的方程是22(1)1
x y -+=, 直线l 的倾斜角为30,150, 所以直线l
的斜率为k =±
15．设[]x 表示不超x 的最大整数，（如[]1
45,22=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=）。

对于给定的+∈N n , 定义[][][),
,1,)
1()1()
1()2)(1(+∞∈+--+---=x x x x x x n n n n C x
n
则3
28C =________; 当[)3
,2∈x 时，函数x C 8的值域是_________________________。

【答案】
163 28
(,28]3
【分析】328
816,332
C =
=当2x =时，2
8
8728,21C ⨯==⨯当3x →时，[]2,x = 所以88728,323x
C ⨯=
=⨯故函数x C 8的值域是28
(,28]3
.
三．解答题
16．甲乙丙三人参加一家企业的招聘面试，面试合格者可正式签约。

甲表示只需面试合格
就签约，乙、丙则商定：两人面试都合格就一起签约，不然两人都不签约。

设每人面试
合格的概率都是2
1
，且面试能否合格互不影响。

求：
（I ）起码一人面试合格的概率； （II ）没有人签约的概率。

解：用,,A BC 分别表示事件甲、乙、丙面试合格。

由题意知,,A BC 互相独
立，且()()()1
2
PA P B P C ===.
(1) 起码有1
人面试合格的概率是
()()()()
3
17
11128
P A B C P A P B P C ⎛⎫-=-=-= ⎪
⎝⎭ (2)
没有人签约的概率为
(
)()()
()()()()()()()()()
3
3
3
11122238
P A B C P A B C P A B C P AP B PC P APBPC P APBPC ++=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=
17．已知函数x
x x x f sin 2
sin 2cos )(22
+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期；
（II ）当)4,0(0π∈x 且5
24)(0
=x f 时，求)6(0π+x f 的值。

（2）求二面角A —BE —P 和的大小。

解 解法一(Ⅰ)如图年示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，ΔBCD 是等边三角形.由于E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ，又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB .又由于PA ⊥平面ABCD ，BE 平面ABCD ，所以PA ⊥BE .而PA ∩AB ＝A ，所以BE ⊥平面PAB .
又BE 平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB . (Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE ⊥平面PAB ，PB 平面PAB ，所以PB ⊥BE .
又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A －BE －P 的平面角.
在Rt ΔPAB 中，tan ∠PBA ＝3=AB
PA
，∠PBA ＝60°.
故二面角A －BE －P 的大小是60°.
解法二 以下图，以A 为原点，成立空间直角坐标系.则有关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (
0,23,23)，D (0,2
3
,21)，P (3
,0,0)，E (0,2
3
,1). (Ⅰ)由于3
(0,
,0)2
B E =，平面PAB 的一个法向量是0n ＝(0,1,0)，所以B E 和0n 共线.进而BE ⊥平面PAB .又由于BE 平面BEF ，所以平面PBE ⊥平面PAB .
(Ⅱ)易知P B =(1,0,-3), B E =(0,
32
,0),
设1n =(x 1,y 1,z 1)是平面PBE 的一个法向量，则有111111030,3
000.2
x y z x y z ⎧+⨯-=⎪
⎨⨯+
+⨯=⎪⎩
所以y 1=0,x 1=3z 1.故可取1n =(3,0,1). 而平面ABE 的一个法向量是2n =(0,0,1). 于是，cos ＜1n ,2n ＞＝
12121
||2
n n n n =||.
故二面角A B E P
--的大小是60.
19已知椭圆的中心在原点，一个焦点是)0,2(F ，且两条准线间的距离为)4(>λλ。

（1）求椭圆的方程；
（2）若存在过点A （1，0）的直线l ，使点F 对于直线l 的对称点在椭圆上，
求λ的取值范围。

于是，当且仅当2
3[2(6)]4(4)0,2(6)
(4
)λλλλλλλλ⎧∆=---≥⎪
-⎨-⎪-⎩＞0. (*) 上述方程存在实根，即直线l 存在.
解(*)得16,3
46.
λλ⎧
≤
⎪⎨⎪⎩＜＜所以4＜λ≤163.
20．数列{}n a 知足,2,021==a a ,,3,2,1,2
sin 4)2cos 1(2
22 =++=+n n a n a n
n π
π （1）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）设1231-+++=k k a a a S ，k
k a a a T 242+++= ，)(22+∈+=N k T S W k
k
k ， 求使1>k W 的全部k 的值，并说明原因。

21．已知函数cx
x x x x f +-+=2
342941)(有三个极值点。

（1）证明：527<<-c ；
（2）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[
]2,+a a 上单一递减，求a 的取值范围。

解 (Ⅰ)由于函数()432
1942
f x x
x x c x =+-+有三个极值点，所以 ()
33
390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根. 设()3339g xx x x c =+-+，则()()()2
369331g x x x x x '=+-=+-. 当x ＜-3时，()0g x '
>
,g (x )在(-∞,-3)上为增函数,
当-3＜x ＜1时，()0g x '
<,g (x )在(-3,1)上为减函数, 当x ＞1时，()0g x '
>
,g (x )在(1,+ ∞)上为增函数. 所以函数g (x )在x =-3时取极大值，在x =1时取极小值.
当g (-3) ≤0或g (1) ≥0时，g (x )=0最多只有两个不一样实根，由于g (x )=0有三个不一样实根，所以g (-3)＞0，且g (1)＜0.即-27+27+27+c ＞0，且1+3-9+c ＜0,解得c ＞-27，且c ＜5. 故-27＜c ＜5.。