永定区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

永定区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知正△ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）
A ．112
B ．114
C ．116
D ．120
3． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A ．512个
B ．256个
C ．128个
D ．64个
4． “a ≠1”是“a 2≠1”的（ ） A ．充分不必条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5． A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7． 函数y=2x 2﹣e |x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A
． B
． C
．
D
．
8． 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）
=+6x ﹣1的极值点，则log 2
（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9． 函数y=a 1﹣x （a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny ﹣1=0（mn ＞0
）上，则的最小
值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．某几何体的三视图如图所示（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ）
A ．20+2π
B ．20+3π
C ．24+3π
D ．24+3π
11．设函数y=的定义域为M ，集合N={y|y=x 2
，x ∈R}，则M ∩N=（ ） A ．∅
B ．N
C ．[1，+∞）
D ．M
12．直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）
A ．2x+y ﹣2=0
B ．2x ﹣y ﹣6=0
C ．x ﹣2y ﹣6=0
D ．x ﹣2y+5=0
二、填空题
13．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．
14．已知,x y 满足41
y x
x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则222
23y xy x x -+的取值范围为____________.
15．在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cos θ+sin θ）=6的距离为 ．
16．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）
的标准差是a = ．
17．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ）⊥，则λ的值为 ． 18．已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足：（1）对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立；（2）当x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x ．给出如下结论：
①对任意m ∈Z ，有f （2m ）=0；②函数f （x ）的值域为[0，+∞）；③存在n ∈Z ，使得f （2n +1）=9；④“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得（a ，b ）⊆（2k
，2
k+1
）”；其中所有正确
结论的序号是 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=x 2﹣mx 在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）设向量，求满足
不等式的α的取值范围．
20．已知a ＞0，a ≠1，命题p ：“函数f （x ）=a x 在（0，+∞）上单调递减”，命题q ：“关于x 的不等式x 2﹣2ax+≥0对一切的x ∈R 恒成立”，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．
21．（本小题满分13分） 已知函数3
2
()31f x ax x =-+， （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01(0,)2
x ∈．
22．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|，g （x ）=|x ﹣1|+2． （1）解不等式|g （x ）|＜5；
（2）若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f （x 1）=g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线的参数方程是243x t
y t
=-+⎧⎨
=⎩（为参数）.
（1）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程； （2）求曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值.
24．已知向量=（x ，
y ），=（1，0），且（+
）•（﹣
）=0．
（1）求点Q （x ，y ）的轨迹C 的方程；
（2）设曲线C 与直线y=kx+m 相交于不同的两点M 、N ，又点A （0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m 的取值范围．
永定区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵正△ABC的边长为a，∴正△ABC的高为，
画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，
∴△A′B′C′的高为=，
∴△A′B′C′的面积S==．
故选D．
【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．【答案】B
【解析】解：根据频率分布直方图，得；
该班级数学成绩的平均分是
=80×0.005×20+100×0.015×20
+120×0.02×20+140×0.01×20
=114．
故选：B．
【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．
3．【答案】D
【解析】解：经过2个小时，总共分裂了=6次，
则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26=64个．
故选：D．
【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
4．【答案】B
【解析】解：由a2≠1，解得a≠±1．
∴“a≠1”推不出“a2≠1”，反之由a2≠1，解得a≠1．
∴“a≠1”是“a2≠1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．【答案】B
【解析】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，
则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，
其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR，
则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==．
故选B．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．
6．【答案】D
【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，
∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，
∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，
设f（t）=t3+2t+sint，
则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，
即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，
即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），
∵函数f（t）单调递增
∴x﹣2=2﹣y，
即x+y=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．
7．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，
∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，
故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D
8．【答案】C
【解析】解：函数f（x）=+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6，
∵a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，
∴a2014，a2016是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．
数列{a n}中，满足a n+2=2a n+1﹣a n，
可知{a n}为等差数列，
∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16，
从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4．
故选：C．
【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．
9．【答案】B
【解析】解：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），
∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，
∴m+n=1．
则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．
故选：B．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体（一个半圆柱与正方体的组合体），
其底面面积S=2×2+=4+，
底面周长C=2×3+=6+π，高为2，
故柱体的侧面积为：（6+π）×2=12+2π，
故柱体的全面积为：12+2π+2（4+）=20+3π，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．
11．【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，
∴函数的定义域M={x|x≥﹣1}；
∵集合N中的函数y=x2≥0，
∴集合N={y|y≥0}，
则M∩N={y|y≥0}=N．
故选B
12．【答案】B
【解析】解：∵直线x+2y ﹣3=0的斜率为﹣，
∴与直线x+2y ﹣3=0垂直的直线斜率为2， 故直线l 的方程为y ﹣（﹣2）=2（x ﹣2），
化为一般式可得2x ﹣y ﹣6=0
故选：B
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
二、填空题
13．【答案】3
2
【解析】
试题分析：由题意得11,422
k α
α==⇒=∴32k α+=
考点：幂函数定义 14．【答案】[]2,6 【解析】
考点：简单的线性规划．
【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数
的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（122
x y +表示点
(),x y 与原点()0,0的距离；（2()()
22
x a y b -+-(),x y 与点(),a b 间的距离；（3）
y
x
可表示点
(),x y 与()0,0点连线的斜率；（4）y b
x a --表示点(),x y 与点(),a b 连线的斜率.
15．【答案】 1 ．
【解析】解：点P （2，）化为P
．
直线ρ（cos θ+
sin θ）=6化为
．
∴点P 到直线的距离d==1．
故答案为：1． 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
16．【答案】2 【解析】
试题分析：第一组数据平均数为2)()()()()(,2524232221=-+-+-+-+-∴x x x x x x x x x x x ，
22222212345()()()()()8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=．
考点：方差；标准差．
17．【答案】 ﹣ ．
【解析】解： +λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（ +λ）•=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．
故答案为﹣
．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题．
18．【答案】 ①②④ ．
【解析】解：∵x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x ．
∴f （2）=0．f （1）=f （2）=0． ∵f （2x ）=2f （x ），
∴f （2k x ）=2k
f （x ）．
①f （2m ）=f （2•2m ﹣1）=2f （2m ﹣1）=…=2m ﹣1f （2）=0，故正确；
②设x ∈（2，4]时，则x ∈（1，2]，∴f （x ）=2f （）=4﹣x ≥0．
若x ∈（4，8]时，则x ∈（2，4]，∴f （x ）=2f （）=8﹣x ≥0． …
一般地当x ∈（2m ，2m+1
），
则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，
∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，
即2n﹣1=9，∴2n=10，
∵n∈Z，
∴2n=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．
故答案为：①②④．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数
∴x=≤1
∴m≤2
∴实数m的取值范围为（﹣∞，2]；
（2）由（1）知，函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调增函数
∵，
∵
∴2﹣cos2α＞cos2α+3
∴cos2α＜
∴
∴α的取值范围为．
【点评】本题考查函数的单调性，考查求解不等式，解题的关键是利用单调性确定参数的范围，将抽象不等式转化为具体不等式．
20．【答案】
【解析】解：若p为真，则0＜a＜1；
若q为真，则△=4a2﹣1≤0，得，
又a＞0，a≠1，∴．
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q中必有一个为真，且另一个为假．
①当p为真，q为假时，由；
②当p 为假，q 为真时，无解．
综上，a 的取值范围是
．
【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a ＞0，a ≠1”，a 的取值范围是在此条件下进行的．
21．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-， （1分）
①当0a >时，解()0f x '>得2x a >或0x <，解()0f x '<得20x a <<， ∴()f x 的递增区间为(,0)-∞和2(,)a
+∞，()f x 的递减区间为2
(0,)a ． （4分）
②当0a =时，()f x 的递增区间为(,0)-∞，递减区间为(0,)+∞． （5分）
③当0a <时，解()0f x '>得20x a
<<，解()0f x '<得0x >或2
x a <
∴()f x 的递增区间为2(,0)a ，()f x 的递减区间为2
(,)a
-∞和(0,)+∞． （7分）
（Ⅱ）当2a <-时，由（Ⅰ）知2(,)a -∞上递减，在2
(,0)a
上递增，在(0,)+∞上递减．
∵2
2
240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，∴()f x 在(,0)-∞没有零点． （9分） ∵()010f =>，11
(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞上递减，
∴在(0,)+∞上，存在唯一的0x ，使得()00f x =．且01
(0,)2x ∈ （12分）
综上所述，当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01
(0,)2
x ∈． （13分）
22．【答案】
【解析】解：（1）由||x ﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x ﹣1|+2＜5 ∴﹣7＜|x ﹣1|＜3， 得不等式的解为﹣2＜x ＜4…
（2）因为任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f （x 1）=g （x 2）成立， 所以{y|y=f （x ）}⊆{y|y=g （x ）}，
又f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|≥|（2x ﹣a ）﹣（2x+3）|=|a+3|， g （x ）=|x ﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a ≥﹣1或a ≤﹣5， 所以实数a 的取值范围为a ≥﹣1或a ≤﹣5．…
【点评】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．
23．【答案】（1）参数方程为1cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩，3460x y -+=；（2）14
5.
【解析】
试题分析：（1）先将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得22(1)1x y -+=,利用圆的参数方程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程；（2）利用参数方程写出曲线C 上任一点坐标,用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值. 试题解析：
（1）曲线C 的普通方程为22cos ρρθ=，∴2220x y x +-=， ∴22(1)1x y -+=，所以参数方程为1cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨=⎩，
直线的普通方程为3460x y -+=.
（2）曲线C 上任意一点(1cos ,sin )θθ+到直线的距离为
33cos 4sin 65sin()914555
d θθθϕ+-+++=
=≤，所以曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值为14
5.
考点：1.极坐标方程；2.参数方程. 24．【答案】
【解析】解：（1）由题意向量=（x ， y ），=（1，0），且（+）•（﹣
）=0，
∴，
化简得
，
∴Q 点的轨迹C 的方程为．…
（2）由
得（3k 2+1）x 2+6mkx+3（m 2
﹣1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m 2＜3k 2
+1．①…
（i ）当k ≠0时，设弦MN 的中点为P （x P ，y P ），x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则，
从而
，
，…
又|AM|=|AN|，∴AP ⊥MN ．
则
，即2m=3k 2
+1，②
将②代入①得2m ＞m 2
，解得0＜m ＜2，由②得，解得，
故所求的m 的取值范围是（，2）．…
（ii ）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP ⊥MN ，m 2＜3k 2
+1，
解得﹣1＜m ＜1．…
综上，当k ≠0时，m 的取值范围是（，2）， 当k=0时，m 的取值范围是（﹣1，1）．…
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．。