九台区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

九台区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若数列{a n }的通项公式a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），{a n }的最大项为第p 项，最小项为第q 项，则q ﹣p 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ） A ．p 真q 真
B ．p 假q 真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 假
3． 设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l
5． 已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a +2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 6． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
7． 设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）
A.{}|12x x <≤
B.{}|21x x -≤≤
C. {}2,1,1,2--
D. {}1,2
【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．
8． △ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量
，
，若
，则角B 的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）
10．执行如图所示的程序框图，若a=1，
b=2，则输出的结果是（ ）
A ．9
B ．11
C ．13
D ．15
二、填空题
11．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．
12．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号）
①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．
13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间
()1k k +，
内，则正整数k 的值为________．
14．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式
1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 .
【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.
15．已知A （1，0），P ，Q 是单位圆上的两动点且满足，则+的最大值为 ．
16．（
﹣2）7的展开式中，x 2
的系数是 ．
三、解答题
17．如图，点A 是以线段BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF=EF ；
（2）求证：PA 是圆O 的切线．
18．已知函数()()x f x x k e =-（k R ∈）． （1）求()f x 的单调区间和极值； （2）求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值．
（3）设()()'()g x f x f x =+，若对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
及[]0,1x ∀∈有()g x λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．
19．如图：等腰梯形ABCD，E为底AB的中点，AD=DC=CB=AB=2，沿ED折成四棱锥A﹣BCDE，使AC=．
（1）证明：平面AED⊥平面BCDE；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
20．已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
21．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
22．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF均为正方形，CF 平面ABCD，
==．
AB BG BH BG⊥平面ABCD，且24（1）求证：平面AGH⊥平面EFG；
--的大小的余弦值．（2）求二面角D FG E
九台区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：设=t∈（0，1]，a n=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），
∴a n=5t2﹣4t=﹣，
∴a n∈，
当且仅当n=1时，t=1，此时a n取得最大值；同理n=2时，a n取得最小值．
∴q﹣p=2﹣1=1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．【答案】B
【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，
若“非p”为真，则p为假，
∴p假q真，
故选：B．
【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．
3．【答案】A
【解析】解：由已知得到如图
由===；
故选：A．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．
4．【答案】C111]
【解析】
考
点：线线，线面，面面的位置关系 5． 【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得a 3+a 13=2a 8，
即有a 82
=4a 8，
解得a 8=4（0舍去）， 即有b 8=a 8=4，
由等比数列的性质可得b 4b 12=b 82
=16．
故选：D ．
6． 【答案】C
【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}， ∴当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个． 故选C ．
7． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及||2x ≤，得22x -≤≤，则{}|22A x x =-≤≤，所以{}1,2A B =，故选D.
8． 【答案】B
【解析】解：若
，
则（a+b ）（sinB ﹣sinA ）﹣sinC （
a+c ）=0，
由正弦定理可得：（a+b ）（b ﹣a ）﹣c （
a+c ）=0，
化为a 2
+c 2﹣b 2
=﹣
ac ，
∴cosB=
=﹣
，
∵B ∈（0，π），
∴B=，
故选：B．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．
9．【答案】
【解析】选B.取AP的中点M，
则P A＝2AM＝2OA sin∠AOM
＝2sin x
2
，
PB＝2OM＝2OA·cos∠AOM＝2cos x
2，
∴y＝f（x）＝P A＋PB＝2sin x
2＋2cos x
2
＝22sin（x
2
＋
π
4
），x∈[0，π]，根据解析式可知，只有B选项符合要求，
故选B.
10．【答案】C
【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5，
当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9，
当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13，
当a=13时，满足退出循环的条件，
故输出的结果为13，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
二、填空题
11．【答案】6．
【解析】解：双曲线的方程为4x2﹣9y2=36，即为：
﹣=1，
可得a=3，
则双曲线的实轴长为2a=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．
12．【答案】①③④
【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，
当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC中，tan∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，
故答案为：①③④
13．【答案】2
【解析】
14．【答案】)3,0(
【解析】构造函数x x f x F 3)()(-=，则03)(')('>-=x f x F ，说明)(x F 在R 上是增函数，且
13)1()1(-=-=f F .又不等式1log 3)(log 33-<x x f 可化为1l o g 3)(l o g 33-<-x x f ，即
)1()(l o g 3F x F <，∴1log 3<x ，解得30<<x .∴不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为)3,0(.
15．【答案】 ．
【解析】解：设=
，则=
=
，
的方向任意．
∴
+
=
=1×
×
≤
，因此最大值为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．
16．【答案】﹣280
解：∵（﹣2）7
的展开式的通项为
=．
由
，得r=3．
∴x 2的系数是．
故答案为：﹣280．
三、解答题
17．【答案】
【解析】证明：（1）∵BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，∴EB ⊥BC ． 又∵AD ⊥BC ，∴AD ∥BE ．
可得△BFC ∽△DGC ，△FEC ∽△GAC ．
∴
，得
．
∵G 是AD 的中点，即DG=AG ． ∴BF=EF ．
（2）连接AO ，AB ．
∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC=90°．
由（1）得：在Rt △BAE 中，F 是斜边BE 的中点，
∴AF=FB=EF ，可得∠FBA=∠FAB ． 又∵OA=OB ，∴∠ABO=∠BAO ． ∵BE 是圆O 的切线，
∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°， ∴PA ⊥OA ，由圆的切线判定定理，得PA 是圆O 的切线．
【点评】本题求证直线是圆的切线，着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．
18．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(1,)k -+∞，单调递减区间为(,1)k -∞-，
1()(1)k f x f k e -=-=-极小值，无极大值；（2）2k ≤时()(1)(1)f x f k e ==-最小值，23k <<时1()(1)k f x f k e -=-=-最小值，3k ≥时，2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；（3）2e λ≤-.
【解析】
（2）当11k -≤，即2k ≤时，()f x 在[]1,2上递增，∴()(1)(1)f x f k e ==-最小值；
当12k -≥，即3k ≥时，()f x 在[]1,2上递减，∴2
()(2)(2)f x f k e ==-最小值；
当112k <-<，即23k <<时，()f x 在[]1,1k -上递减，在[]1,2k -上递增，
∴1()(1)k f x f k e -=-=-最小值．
（3）()(221)x g x x k e =-+，∴'()(223)x g x x k e =-+， 由'()0g x =，得32
x k =-， 当3
2x k <-
时，'()0g x <； 当3
2
x k >-时，'()0g x >，
∴()g x 在3(,)2k -∞-上递减，在3
(,)2
k -+∞递增，
故323
()()22
k g x g k e -=-=-最小值，
又∵35,22k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴[]30,12k -∈，∴当[]0,1x ∈时，323()()22k g x g k e -=-=-最小值，
∴()g x λ≥对[]0,1x ∀∈恒成立等价于32
()2k g x e λ-
=-≥最小值；
又32
()2k g x e λ-
=-≥最小值对35,22k ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
恒成立．
∴3
2
min (2)k e
k --≥，故2e λ≤-．1
考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的. 19．【答案】
【解析】（1）证明：取ED 的中点为O ， 由题意可得△AED 为等边三角形，
，
，
∴AC 2=AO 2+OC 2
，AO ⊥OC ，
又AO ⊥ED ，ED ∩OC=O ，AO ⊥面ECD ，又AO ⊆AED ， ∴平面AED ⊥平面BCDE ；…
（2）如图，以O 为原点，OC ，OD ，OA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则E （0，﹣1，0），A （0，0，
），C （
，0，0），B （
，﹣2，0），
，，，
设面EAC的法向量为，
面BAC的法向量为
由，得，∴，
∴，
由，得，∴，
∴，
∴，
∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…
2016年5月3日
20．【答案】
【解析】解：（1）由高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0，∴=﹣2．∵直线AC⊥BH，∴k AC k BH=﹣1．
∴，
直线AC的方程为，
联立
∴点C的坐标C（1，1）．
（2），
∴直线BC的方程为，
联立，即．
点B到直线AC：x﹣2y+1=0的距离为．
又，
∴．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
21．【答案】
【解析】解：（1）依题意，
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，
10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，
解得a=0.005．
∴图中a的值0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05
=73（分），
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
∵GH∈平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．……………………………5分。