2016年江西省宜春市高安二中高一下学期期末数学试卷与解析答案

2015-2016学年江西省宜春市高安二中高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的）
1．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）等于（）A．B．7 C．D．﹣7
2．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）
A．B．C．5 D．10
3．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2
4．（5分）设•不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A．+与﹣B．3﹣2与4﹣6
C．+2与+2D．和+
5．（5分）若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f（0）
=，则（）
A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减
C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减
6．（5分）若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则
•的取值范围（）
A．[，5]B．[，5]C．[，4]D．[，4]
7．（5分）函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）
A．B．C．D．
8．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）
A．B．﹣C．D．﹣
9．（5分）在等比数列{a n}中，若，，则
=（）
A．B．C．D．
10．（5分）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数
y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是（）
A．B． C．（﹣∞，9）D．
11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）
A．S m＞0，且S m+1＜0 B．S m＜0，且S m+1＞0
C．S m＞0，且S m+1＞0 D．S m＜0，且S m+1＜0
12．（5分）已知数列{a n}满足：a n=log（n+1）（n+2）定义使a1•a2•…•a k为整数的数k（k∈N*）叫做希望数，则区间[1，2012]内所有希望数的和M=（）A．2026 B．2036 C．2046 D．2048
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
13．（5分）已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在
方向上的投影是．
14．（5分）（几何证明选讲选做题）
如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．
15．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为．
16．（5分）设数列{a n}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
17．设函数f（α）=sinα+cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．
（1）若P点的坐标为（，1），求f（α）的值；
（2）若点P（x，y）为平面区域上的一个动点，试确定角α的取值范围，
并求函数f（α）的最小值和最大值．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．
19．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．
（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．
20．数列{a n}前n项和为S n，a1=4，a n+1=2S n﹣2n+4．
（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；
（2）设，数列{b n}前n项和为T n，求证：8T n＜1．
21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米，现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图，
的最大值．
使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求S
△DEF
22．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0．设f（x）=•．
（1）记函数y=f（x）的正的零点从小到大构成数列{a n}（n∈N*），当a=，b=1，ω=2时，求{a n}的通项公式与前n项和S n；
（2）令ω=1，a=t2，b=（1﹣t）2，若不等式f（θ）﹣＞0对任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范围．
2015-2016学年江西省宜春市高安二中高一（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的）
1．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）等于（）A．B．7 C．D．﹣7
【分析】先根据sinα的值求出tanα，然后根据两角和与差的正切公式可得答案．【解答】解：已知，则，
∴=，
故选：A．
2．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）
A．B．C．5 D．10
【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，
所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，
，
该四边形的面积：==5．
故选：C．
3．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比的平方，然后代入等比数列的通项公式求得a5．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
由S3=a2+5a1，a7=2，得
，解得：．
∴．
故选：A．
4．（5分）设•不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A．+与﹣B．3﹣2与4﹣6
C．+2与+2D．和+
【分析】由共线的向量不能作为平面向量的一组基底，能求出结果．
【解答】解：在A中，∵，不共线是两不共线的向量，
∴+与﹣不共线，
∴+与﹣能作为平面向量的一组基底．
在B中．，∵，不是两不共线的向量，
∴3﹣2=（4﹣6）共线，
∴3﹣2与4﹣6不能作为平面向量的一组基底
在C中，∵，不是两不共线的向量，
∴+2与2+不共线，
∴+2与2+能作为平面向量的一组基底，
在D中，∵，是两不共线的向量，
∴和+不共线，
∴和+能作为平面向量的一组基底．
5．（5分）若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f（0）
=，则（）
A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减
C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减
【分析】由周期求出ω，由f（0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．
【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．
再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，
故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．
在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；
在上，2x∈（0，π），函数f（x）=cos2x 单调递减，故排出C，
故选：D．
6．（5分）若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则
•的取值范围（）
A．[，5]B．[，5]C．[，4]D．[，4]
【分析】由数量积的定义计算出•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：∵向量=（3，2），=（x，y），
∴•=3x+2y，
作出不等式组对于的平面区域如图：
由z=3x+2y，则y=，
平移直线y=，由图象可知当直线y=，
经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，
由，解得，即B（1，1），
此时z max=3×1+2×1=5，
经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，
由，解得，即A（，），
此时z min=3×+2×=，
则≤z≤5
故选：A．
7．（5分）函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）
A．B．C．D．
【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．
【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a 的对称函数为，
利用诱导公式将其化为余弦表达式为
，
令，则．
故选：A．
8．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）
的值，进而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．
【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，
∴＜+α＜，＜﹣＜
∴sin（+α）==，sin（﹣）==
∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）=
故选：C．
9．（5分）在等比数列{a n}中，若，，则
=（）
A．B．C．D．
【分析】先用首项和公比表示，再用等比数列
{}与等比数列{a n}的联系系求解．
【解答】解：∵
∴
∴
故选：C．
10．（5分）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数
y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是（）
A．B． C．（﹣∞，9）D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合抛物线的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知当a≤0时，不满足条件，
则a＞0，抛物线y=ax2开口向上，
当抛物线经过点B时，a取得最大值，当经过点C时，取得最小值，
由，解得，即B（3，8），此时8=9a，解得a=．
由，解得，即B（3，8），此时8=9a，解得a min=．
由，解得，即C（1，9），此时9=a，解得a max=9．
∴≤a≤9，
故选：D．
11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）
A．S m＞0，且S m+1＜0 B．S m＜0，且S m+1＞0
C．S m＞0，且S m+1＞0 D．S m＜0，且S m+1＜0
【分析】由﹣a m＜a1＜﹣a m
+1，可得a1+a m＞0，a1+a m
+1
＜0，结合等差数列的求和
公式即可求解
【解答】解：∵﹣a m＜a1＜﹣a m
+1
，
∴a1+a m＞0，a1+a m
+1
＜0
∴＞0，＜0
故选：A．
12．（5分）已知数列{a n}满足：a n=log（n+1）（n+2）定义使a1•a2•…•a k为整数的数k（k∈N*）叫做希望数，则区间[1，2012]内所有希望数的和M=（）A．2026 B．2036 C．2046 D．2048
【分析】利用a n=log n+1（n+2），化简a1•a2•a3…a k，得k=2m﹣2，给m依次取值，可得区间[1，2012]内所有希望数，然后求和．
【解答】解：a n=log n+1（n+2），
∴由a1•a2•a3…a k为整数得，log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）为整数，
设log2（k+2）=m，则k+2=2m，
∴k=2m﹣2；
因为211=2048＞2012，
∴区间[1，2012]内所有希望数为22﹣2，23﹣2，24﹣2，210﹣2，
其和M=22﹣2+23﹣2+24﹣2+…+210﹣2=2026．
故选：A．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
13．（5分）已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在
方向上的投影是3．
【分析】根据向量数量积的定义求出y的值，然后根据投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，
∴cos=，
即=，平方得y=，即=（3，）
∴在方向上的投影是||•cos＜，＞===3．
故答案为：3．
14．（5分）（几何证明选讲选做题）
如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．
【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，
利用余弦定理即可求出ED的长．
【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，
∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，
∴∠ECD=60°，
在△ECD中，CD=AB=，EC=，
根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，
则ED=．
故答案为：
15．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．
【分析】由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为4++，利用基本不等式求得结果．
【解答】解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，
则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，
等号成立，
故答案为：8．
16．（5分）设数列{a n}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=2015．【分析】构造b n=a n+1﹣a n，可判数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得a n=n（n+1），裂项相消法可得答案．
【解答】解：构造b n=a n+1﹣a n，则b1=a2﹣a1=4，
由题意可得（a n
+2﹣a n
+1
）﹣（a n
+1
﹣a n）=b n
+1
﹣b n=2，
故数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，
故b n=a n+1﹣a n=4+2（n﹣1）=2n+2，
故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，a n﹣a n﹣1=2n，
以上n﹣1个式子相加可得a n﹣a1=，解得a n=n（n+1），
故++…+=2016（++…+）
=2016（1﹣+﹣+…+﹣）=2016﹣，
∴[++…+]=2015，
故答案为：2015．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
17．设函数f（α）=sinα+cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．
（1）若P点的坐标为（，1），求f（α）的值；
（2）若点P（x，y）为平面区域上的一个动点，试确定角α的取值范围，
并求函数f（α）的最小值和最大值．
【分析】（1）由三角函数的定义，算出sinα=，cosα=，代入即可得到求f（α）的值；
（2）作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部区域，运动点P并加以观察，可得α∈[，]．利用辅助角公式化简得f（α）=2sin
（α+），由α+∈[，]结合正弦函数的图象与性质加以计算，可得函数f（α）的最小值和最大值．
【解答】解：（1）∵P点的坐标为（，1），可得r=|OP|==2，
∴由三角函数的定义，得sinα=，cosα=，
故f（α）=sinα+cosα=+×=2．
（2）作出不等式组表示的平面区域，
得到如图所示的△ABC及其内部区域，
其中A（0，1）、B（0.5，0.5），C（1，1），
∵P为区域内一个动点，且P为角α终边上的一点，
∴运动点P，可得当P与A点重合时，α=达到最大值；
当P与线段BC上一点重合时，α=达到最小值．由此可得α∈[，]．
∵f（α）=sinα+cosα=2sin（α+），
∴由α∈[，]，可得α+∈[，]，
当α+=即α=时，f（α）有最小值2sin=1；
当α+=即α=时，f（α）有最大值2sin=．
综上所述函数f（α）的最小值为1，最大值为．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．
【分析】（I）利用余弦定理、三角函数求值、三角形内角和定理即可得出．（II）利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”方法即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，
∴，A∈（0，π），
∴，由，得．
（Ⅱ）设{a n}的公差为d，由（I）得，且，
∴，又d≠0，∴d=2，
∴a n=2n，
∴=，
∴．
19．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．
（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理有，又，可得
，结合∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，可求∠ADC，即可求B的值．
（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，，可求，，，由余弦定理即可计算得解DC的长．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有．
因为，所以．
又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，
所以∠ADC=120°． (3)
于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，所以∠B=60°．…（6分）
（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，．
于是，，．…（9分）
在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，
即，得x=2．
故DC=2．…（12分）
20．数列{a n}前n项和为S n，a1=4，a n+1=2S n﹣2n+4．
（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；
（2）设，数列{b n}前n项和为T n，求证：8T n＜1．
【分析】（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可证数列{a n﹣1}为等比数列；
（2）确定数列{b n}的通项，利用裂项法求前n项和为T n，即可证得结论．
=2S n﹣2n+4，∴n≥2时，a n=2S n﹣1﹣2（n﹣1）+4【解答】证明：（1）∵a n
+1
∴n≥2时，a n
=3a n﹣2（2分）
+1
又a2=2S1﹣2+4=10，∴n≥1时a n+1=3a n﹣2（4分）
∵a1﹣1=3≠0，∴a n﹣1≠0，
∴，∴数列{a n﹣1}为等比数列（6分）
（2）由（1），∴，
∴（9分）
∴=（11分）
∴，
∴8T n＜1（12分）
21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米，现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图，
的最大值．
使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求S
△DEF
【分析】设=λ（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成
的最大值．关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S
△DEF
【解答】解：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
∴cosB=，可得B=60°，
∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°
设=λ（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，
Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，
∵C到AB的距离为BC=百米，
∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米
可得S
=EF•h=λ（1﹣λ）百米2
△DEF
∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当λ=时等号成立
∴当λ=时，即E为AB中点时，S
的最大值为百米2．
△DEF
22．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0．设f（x）=•．
（1）记函数y=f（x）的正的零点从小到大构成数列{a n}（n∈N*），当a=，b=1，ω=2时，求{a n}的通项公式与前n项和S n；
（2）令ω=1，a=t2，b=（1﹣t）2，若不等式f（θ）﹣＞0对任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范围．
【分析】（1）由向量的数量积的坐标表示和两角和的正弦公式可得f（x）的解析式，令f（x）=0，求出零点，再由等差数列的通项公式和求和公式，即可得到所求；
（2）由题意可得（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ＞0对任意的t∈[0，1]恒成立．令t=0，t=1，得sinθ＞0，cosθ＞0．求出对称轴＜1恒成立，可得判别式小于0，由三角函数的图象和性质，即可得到所求θ的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=•=acosωx+bsinωx=cos2x+sin2x
=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．
由2sin（2x+）=0，可得2x+=kπ，即x k=﹣+，k∈Z，
当k=1时，x1=＞0，且x k+1﹣x k=（常数），
∴{a n}为首项是a1=，公差为的等差数列．
∴a n=﹣+，n∈N*．
∴S n===n2+n，n∈N*．
（2）由题意可得f（θ）﹣=t2cosθ+（1﹣t）2sinθ﹣t（1﹣t）
=（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ．
∴题意等价于（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ＞0对任意的t∈[0，1]恒成立．
令t=0，t=1，得sinθ＞0，cosθ＞0．
由1+2sinθ＜2+2sinθ+2cosθ，
∴对称轴t=＜1恒成立．
∴对称轴落在区间（0，1）内．
∴题意等价于，
得，即有
可得+2k3π＜θ＜+2k3π，k3∈Z．
∴θ的取值范围是[+2kπ，+2kπ]，k∈Z．
赠送初中数学几何模型
【模型三】
双垂型：图形特征：
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.
（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC
＝，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB
=APBC的面积是36，求△ACB的周长.
2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。