湖南省三湘名校教育联盟等差数列练习题(有答案)

一、等差数列选择题
1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21
B ．15
C ．10
D ．6
2．定义
12n
n
p p p ++
+为n 个正数12,,
,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前
n 项的“均倒数”为
12n ，又2n n a b =，则1223
910
111
b b b b b b +++
=（ ） A ．
8
17 B ．
1021
C ．
1123 D ．
919
3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ．
825
两 B ．
845
两 C ．
865
两 D ．
885
两 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45
B ．50
C ．60
D ．80
5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列
D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2m
B ．21m +
C ．22m +
D ．23m +
7．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．
47
B ．
1629
C ．
815
D ．
45
8．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21S
B ．20S
C ．19S
D ．18S
9．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72
B ．90
C ．36
D ．45
10．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12
B ．20
C ．40
D ．100
11．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，数列{}n b 满足
1111n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25
B ．11
C ．10
D ．9
13．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）
A ．7
B ．9
C ．21
D ．42
14．已知递减的等差数列{}n a 满足22
19a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）
A ．4或5
B ．5或6
C ．4
D ．5
15．在数列{}n a 中，11a =，且11n
n n
a a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．
21
1n n -+
B ．2
1
2n n -+
C ．22
1
n n -+
D ．2
2
2
n n -+
16．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36
B ．48
C ．56
D ．72
17．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
18．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15
B ．30
C ．3
D ．64
19．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019
B ．4040
C ．2020
D ．4038
20．已知数列{}n a 的前项和2
21n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）
A ．20
B ．17
C ．18
D ．19
二、多选题
21．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2
3
n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为
（ ） A ．2
B ．5
C ．3
D ．4
22．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．681a a >
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为6T
23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
24．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54
C ．S 2020＝a 2022－1
D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋
a 2021＝a 2022
25．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+= D ．222
2123202020202021a a a a a a ++++=
26．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的
是（ ） A ．110S =
B ．10n n S S -=（110n ≤≤）
C ．当110S >时，5n S S ≥
D ．当110S <时，5n S S ≥
27．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项
28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310
S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
29．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列
30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a =
B ．当9n =或10时，n S 取最大值
C ．911a a <
D ．613S S =
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一、等差数列选择题 1．C 【分析】
根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】
因为1342
22a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，
所以5154
550101102
S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 2．D 【分析】
由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n
=，则：2
2n S n =， 当1n =时，112a S ==，
当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-， 且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-， 故212n
n a b n =
=-，()()1
11111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 据此有：
1223910
1111111111233517191.21891919
b b b b b b +++
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
=⨯= 故选：D
3．C 【分析】
设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，
8106
100
a S =⎧⎨
=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】
设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，
则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109
101002a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. 所以长兄分得86
5
两银子. 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得
()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和
前n 项和公式. 4．C 【分析】
利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】
{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =
1158158()15215
156022
a a a S a +⨯⨯=
===
故选：C 【点睛】
本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 5．D 【分析】
根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】
由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，
根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；
当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；
当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 6．C 【分析】
首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】
由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++=
=
+，
()()()1232322323<02
m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()12222
12211>02
m m m m m a a S m a a ++++++==
++.
故选:C. 【点睛】
关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11
,2
,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，
第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 7．D 【分析】
设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】
设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知202019
2042322
S d ⨯=⨯+=， 解得4
5
d =
． 故该女子织布每天增加4
5
尺． 故选：D 8．B 【分析】
设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系139
2
a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】
设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392
a d =-. 又10a >，所以0d <，因此
222120(20)2002222n d d d d
S n a n n dn n d ⎛⎫=
+-=-=-- ⎪⎝
⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 9．B 【分析】
由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2
444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】
由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，
∴2
444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，
∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，
∴99(229)
902
S ⨯+⨯=
=，
故选：B 【点睛】
思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2
k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()
2
n n n a a S +=的应用. 10．B 【分析】
由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：
1011045100S a d =+=，
12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.
故选：B.
11．B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n
a a +-
=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-
，求得1
4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得221114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以
4为公差，以1为首项的等差数列， 所以21
14(1)43n
n n a =+-=-，
因为0n a >
，所以n a =
，
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=，
所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+
11
1339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得
2
2
1114n n a a +-
=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，1
4
n b =
=，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 12．D 【分析】
利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，
故选：D ． 13．C
【分析】
利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()
1212121632
a a S +=
=， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++
+=++++++
111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，
()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++
+=++++++=即可求解.
14．A 【分析】
由22
19a a =，可得14a d =-，从而得2922
n d d S n n =
-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】
解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），
因为2219a a =，所以22
11(8)a a d =+，化简得14a d =-，
所以221(1)9422222
n n n d d d d
S na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92
n =
， 因为n ∈+N ，
02
d
<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A 15．D 【分析】
先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出212
2
n n n a -+=，进而求出n a .
【详解】 解：
11n
n n
a a na +=
+，
()11n n n a na a ++=∴，
化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：
111
n n
n a a +-=， 即
21
11
1a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --
=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：
213243111111+a a a a a a --+-+ (1)
11
123n n a a -+-=+++…1n +-， 即
111(1)
2
n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222
n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又
1
1
1a =也满足上式， 212()2
n n n n z a -+∴=∈， 22
()2
n a n z n n ∴=
∈-+.
故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 16．A 【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】
因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()199998
3622
a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 17．B
【分析】
由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得
10a .
【详解】
()122n n a a n --=≥，且11a =，
∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
通项公式为()12121n a n n =+-=-，
10210119a ∴=⨯-=，
故选：B. 18．A 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，
12111a a d =+，即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174
174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以12117760
111115444
a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A 19．B 【分析】
由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则
()15202020
202016202010102
a a a a S +=
⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+
()12020
202052016202010104101040402
a a a a S +=
==⨯=+⨯⨯ 故选：B 20．C 【分析】
根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】
因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=． 故选：C ．
二、多选题
21．BD 【分析】
利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵2
3
n n n S a +=
， ∴2n ≥时，1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=
-， 化为：112
111
n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
单调递减， 可得：2n =时，
2
1
n -取得最大值2． ∴1
n n a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22．AD 【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】
①671,1a a >>, 与题设
671
01
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设
671
01
a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .
∴B ，C ，错误.
故选：AD. 【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1
*
1n n a a q n N -=∈.
23．AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；
（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 24．BCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++
++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----
即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，
()()()135202124264202220202022+++
+++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 25．BCD 【分析】
根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】
对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得
135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；
对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2
121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222
123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．
故选：BCD 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 26．BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192
a d =-，然后逐项判断.
【详解】 设公差d 不为零, 因为
38a a =，
所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192
a d =-，
11191111551155022S a d d d d ⎛⎫
=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭
，故A 错误；
()()()()()()221101110910,10102222
n n n n n n d
d na d n n n a n n S S d ----=+
=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫
=+=⨯-
+=> ⎪⎝⎭
，解得0d >，
()()2
2510525222
n d d d n n S n S =
-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 27．ABD 【分析】 由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】
A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；
B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么
()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；
C.1111
11n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
不是等差数列，故C 不正确；
D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 28．AD 【分析】
由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】
由已知得：780,0a a ><,
结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，
310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,
这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.
29．ABC 【分析】
由2
n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当1n =时，11a S a b c ==++．
当2n ≥时，()()2
21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．
所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=
所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 0
a c
b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0
c ≠时，{}n a 从第二
项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】
本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题． 30．AD 【分析】
由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】
解：1385a a S +=，111110875108,90,02
d
a a d a a d a ⨯++=+
+==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.
9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.
61656+
5415392
d
S a d d d ⨯==-+=-， 131131213+
11778392
d
S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD 【点睛】
考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。