对称性全局统计分析中正交幂等系统等的相关定义

对称性全局统计分析中正交幂等系统等的相关定义
摘要：对称性全局统计分析方法重点关注系统函数对称性方面的研究。

利用任意函数的对称分解技术，将系统函数分解成若干个相互正交的对称函数的和，并通过考察这些对称函数在整个系统函数中所起作用的大小，可以达到认识系统函数的目的。

本文主要介绍正交幂等系统等的相关定义，为对称性全局统计分析方法的推广做准备。

关键词：类对称算符;对称剖分;正交幂等系统
引言
近年来，全局分析在试验设计领域里得到了广泛的重视，主要原因是该方法可以在整体上考察系统函数的性质，给工程人员带来许多有意义的参考信息。

在进行试验设计之前对系统函数有一个清晰的理解，试验设计将变得更加具有针对性，相应的试验结果也必定会更加有效。

文[1][2][3][4]中主要提出全局敏感性分析的概念，并利用Monte-Carlo方法对其定义的全局敏感性指标进行估计，提供了对复杂系统函数进一步识别的方法。

然而美中不足的是，由于所定义的敏感性度量指标缺乏工程意义，因此该方法很难为工程人员所采用。

为了能够让全局分析方法为工程人员所采用，寻找恰当的敏感性度量指标是极其重要的。

张应山教授在2008年初提出了正交性和对称性全局统计分析的构想，重点讨论对称性全局统计分析方法。

文[5][6]中给出的对称函数的新定义，及在此定义基础上提出的对称性全局统计分析方法，其在工程应用中具有较好的使用价值。

对称性全局统计分析方法利用对称函数分解技术，提出一种基于对称函数的敏感性度量指标——贡献率（对称函数在整个函数中方差所占的比例），重点考察各对称函数所起作用的大小。

Monte-Carlo模拟发现，对称性全局统计分析是一种能够分析系统函数特性的有效方法。

本文主要集中阐述正交幂等系统等的定义，为对称性全局统计分析的推广，做一些工作。

1概念
定义1如果群G能写成剖分形式：G=[θ1]∪[θ2]∪…∪[θk]，其中[θi]是G 的包含θi的一个子集合，[θi]∩[θj]=φ，Ai≠j，并且满足如下两个条件：
（1）若定义[θi][θj]={θπ:θ∈[θi],π∈[θj]}则有[θi][θj]=[θj][θi]∩[θi][θj]，Ai,j
（2）若定义[θi]-1={θ-1:θ∈[θi]},i=1,…k
则群G的剖分有如下的性质：p={[θ1],…[θk]}={[θ1]-1,…[θk]-1}
则称G=[θ1]∪…∪[θk]为G的一个对称剖分。

如果单位元e自成一个集合，这样的对称剖分称为正规的，简称正规对称剖分。

定义2示性函数：
定义3称如下形式的函数为类函数：f(σ)=c1I1(σ)+…+ckIk(σ)
其中ci为常数，i=1,…k，简记为f=CTI
则称f为对称算符。

这里|G|表示群G内的元素个数。

定义5如果f既是定义在有限群剖分G=[θ1]∪…∪[θk] 上的类函数，又是群G上的对称算符，那么称f为关于剖分G=[θ1]∪…∪[θk]上的类对称算符。

任何定义在n阶有限群G=(σ1,…,σn)上的对称算符都可以看成是关于剖分G=[θ1]∪…∪[θn]上的类对称算符。

类对称算符是构造对称函数以及对称设计中必不可少的工具，在代数上它也具有一些优良性质[7]。

定义6若定义在有限群G上的非零对称算符f1,…,fk’(k’≤|G|)满足：fi·fj=0,i≠j，则称fi,fj为正交的，并且称{f1,…,fk’}为正交幂等系统[8] 。

定义7取{f1,…,fk’}为定义在有限群G上的正交幂等系统(k’≤|G|)，对特殊的对称算符E=|G|I{e} ，可以进行如下正交分解：
如果f△=0，那么{f1,…,fk’}称为饱和的正交幂等系统。

定理1若f1,…,fk是关于剖分G=[θ1]∪[θk]上的相互正交的非零类对称算符，则f1,…,fk除排列顺序外是唯一确定的。

定理2若f1,…,fk为关于正规对称剖分G=[θ1]∪…∪[θk]上的相互正交的非
零类对称算符，则{f1,…,fk}构成一个饱和正交幂等系统。

2举例
下面以6阶群G={(123)(132)(213)(231)(312)(321)}=S3为例，由于群论是代数学中的重要组成部分，本文所引有限群及其乘法表来自[9]。

以上6个元素也可以采用置换群元素的记法，分别对应以下置换群元素：
我们将群元素依次简记为1,2,3,4,5,6,其对应的乘法表为：
为了方便读者理解，这里给出元素之间相乘的几个例子。

例1如果取群S3的正规对称剖分为：
[θ1]={1},θ1=1
[θ2]={2,3,4,5,6,},θ2=2,3,4,5,6,
验证如下：
[θ1][θ2]=[2,3,4,5,6,]=[θ2],[θ2][θ1]=[2,3,4,5,6,]=[θ2] [θ1][θ2]=[θ2][θ1]
[θ1]-1={1}=[θ1],[θ2]-1={2,3,4,5,6,}=[θ2] {[θ1]-1,[θ2]-1}={[θ1],[θ2]}
此为一个对称剖分，并且为一个正规对称剖分。

找到相互正交的类对称算符为：
f1(σ)=5I1(σ)-I2(σ)
f2(σ)=I1(σ)+I2(σ)
验证如下：
这两个相互正交的类对称算符构成了一个饱和正交幂等系统。

例2如果取群S3的对称剖分为：
[θ1]={1,2},θ1=1,2
[θ2]={3,4,5,6,},θ2=3,4,5,6,
验证如下：
[θ1][θ2]=[3,4,5,6,]=[θ2]；[θ2][θ1]=[3,4,5,6,]=[θ2] [θ1][θ2]=[θ2][θ1]
[θ1]-1={1,2}=[θ1];[θ2]-1={3,4,5,6,}=[θ2] {[θ1]-1,[θ2]-1}={[θ1],[θ2]}
此为一个对称剖分。

找到相互正交的类对称算符为：
f1(σ)=2I1(σ)-I2(σ)
f2(σ)=I1(σ)+I2(σ)
验证如下：
这两个相互正交的类对称算符构成了一个不饱和正交幂等系统。

参考文献：
[1]I.M.Sobol’ S.Tarantola D.Gatelli S.S. Kucherenko W.Mauntz.Estimating the approximation error when fixing unessential facters in global sensitivity analysis.Reliability Engineering and System Safety 92,2007:957-960.
[2]I.M.Sobol＇.Theorems and examples on high dimensional model representation.Reliability Engineering and System Safety 79 ,2003:187-193.
[3]I.M.Sobol＇Yu.L.Levitan.On the use of variance reducing multipliers in Monte Carlo computations of a global sensitivity puter Physics Communications 117,1999:52-61.
[4]I.M.Sobol’.Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates.Mathematics and Computers in Simulation 55, 2001:271-280.
[5]王伯英.多重线性代数[M].北京：北京师范大学出版社,1985.
[6]张应山.多边矩阵理论[M].北京：中国统计出版社,1993.
[7]赵建立.群的幂等正交类系统及应用.华东师范大学博士论文,2007.
[8]潘长缘,陈雪平,张应山.正交幂等系统的构造.华东师范大学学报,2007.
[9]A.D.Thomas G.V.Wood.Group Tables[M].Shiva Publishing Limited,1980.。