高中数学 课时分层作业9 等差数列的概念及简单的表示 新人教A版必修5

课时分层作业(九) 等差数列的概念及简单的表示
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14等于( ) A ．45 B ．41 C ．39
D ．37
B [设公差为d ，则d ＝a 6－a 26－2
＝
17－5
4＝3，
∴a 1＝a 2－d ＝2，
∴a 14＝a 1＋13d ＝2＋13×3＝41.]
2．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )
【导学号：91432143】
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
D [∵a n ＋1－a n ＝1
2
，
∴数列{a n }是首项为2，公差为1
2的等差数列，
∴a n ＝a 1＋(n －1)·12＝2＋n －1
2，
∴a 101＝2＋101－1
2
＝52.]
3．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20
D ．28 C [设公差为d ，则a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋9d ＝10. ∴3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝20.] 4．数列{a n }中，a n ＋1＝a n
1＋3a n
，a 1＝2，则a 4为( )
【导学号：91432144】
A.87
B.85
C.165
D.219
D [法一：a 1＝2，a 2＝21＋3×2＝27，a 3＝27
1＋67＝213，a 4＝2131＋
613＝2
19
.
法二：取倒数得1
a n ＋1＝1
a n
＋3，
∴
1
a n ＋1－1
a n
＝3，
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1
2为首项，3为公差的等差数列．
∴1a n ＝1
2＋(n －1)·3 ＝3n －52＝6n －52，
∴a n ＝26n －5，∴a 4＝2
19
.]
5．若lg 2，lg(2x
－1)，lg(2x
＋3)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．0 B ．log 25 C ．32
D ．0或32
B [依题意得2lg(2x －1)＝lg 2＋lg(2x
＋3)， ∴(2x
－1)2
＝2(2x
＋3)， ∴(2x )2
－4·2x
－5＝0， ∴(2x
－5)(2x
＋1)＝0，
∴2x
＝5或2x
＝－1(舍)，∴x ＝log 25.] 二、填空题
6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.
【导学号：91432145】
13 [设公差为d ，则a 5－a 2＝3d ＝6， ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13.]
7．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，则a n ＝________. 3n [因为n ≥2时，a n －a n －1＝3，
所以{a n }是以a 1＝3为首项，公差d ＝3的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n .] 8．在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则a 10＝________.
【导学号：91432146】
1 [法一：设数列{a n }的公差为d ，由题意知：
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝19，
d ＝－2，
故a n ＝19＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋21. ∴a 10＝－2×10＋21＝1. 法二：∵a n ＝a m ＋(n －m )d ， ∴d ＝a n －a m
n －m ， ∴d ＝
a 8－a 58－5
＝
5－11
3
＝－2，
a 10＝a 8＋2d ＝5＋2×(－2)＝1.]
三、解答题
9．在等差数列{a n }中，已知a 1＝112，a 2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？ [解] 由题意，得
d ＝a 2－a 1＝116－112＝4，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝112＋4(n －1)＝4n ＋108. 令450≤a n ≤600，
解得85.5≤n ≤123，又因为n 为正整数，故有38项． 10．已知函数f (x )＝
3x x ＋3
，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *
)确定． (1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1x n 是等差数列；
(2)当x 1＝1
2
时，求x 2 015.
【导学号：91432147】
[解] (1)证明：∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3
(n ≥2且n ∈N *
)，
∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1
， ∴1x n －1x n －1＝13
(n ≥2且n ∈N *)， ∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1x n 是等差数列． (2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋5
3，
∴
1
x 2 015＝2 015＋53＝2 0203，
∴x 2 015＝3
2 020
.
[冲A 挑战练]
1．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，3
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤83，3
C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤83，3 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫83，3 C [设a n ＝－24＋(n －1)d ，
由{ a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0， 解得8
3
<d ≤3.]
2．在数列{a n }中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，则( )
【导学号：91432148】
A ．a n ＝3n
B ．a n ＝3n
C ．a n ＝n － 3
D ．a n ＝3n 2
D [∵点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，
∴a n －a n －1＝3，即数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式为
a n ＝3＋(n －1)3＝3n ，
∴a n ＝3n 2
.]
3．已知数列{a n }满足a 2
n ＋1＝a 2
n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 4n －3 [由a 2
n ＋1－a 2
n ＝4，知数列{a 2
n }成等差数列，且a 2
1＝1 ∴a 2
n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. 又∵a n >0，∴a n ＝4n －3.]
4．等差数列{a n }中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________.
【导学号：91432149】
a n ＝38－5n (n ∈N *) [由题意可得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 7＝a 1＋6d >0，a 8＝a 1＋7d <0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
33＋6d >0，
33＋7d <0，
解得－336<d <－33
7
，
又∵d∈Z，∴d＝－5，
∴a n＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n(n∈N*)．]
5．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2, … )，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{a n}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．
[解](1)由于a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2，…)，
且a1＝1.
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列 {a n}不可能为等差数列，
证明如下：
由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，
解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{a n}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{a n}是等差数列．。