2k因子设计

它们都是ab，a，b和l的线性组合，组合的系数只有1 。 和（-1），满足 C 0 。同时有 C 4 。
4
4
r
r 1
2 r
r 1
方差分析
因此，A，B，AB 的离差平方和分别为
SA （对照） 4n 1
2 A

( ab a b l ) 4n
2
SB
S AB
（对照） 4n
2.2.1 22设计
假设在每一种水平组合下作n次重复观察，即取n个 观察值。为分析问题的方便, 引进下列记号： A表示因子A的效果，B表示因子B的效果，AB表示交 互作A×B的效果。a表示因子A在高水平、因子B在低 水平情况下观察值之和；b表示因子A在低水平，因子 B在高水平情况下观察值之和；ab表示因子A，B都在 高水平情况下观察值之和，l表示因子A，B都在低水 平情况下观察值之和。
谢谢
再由式（2.2.9）、式（2.2.10）和式（2.2.11），得离差平方和分 别为
S A
SB
50
2
208 . 33 ,
2
4 ×3
( 30 ) 4 ×3 75 . 00 ,
S AB
10
2
8 . 33 .
4 ×3
参照第1章方差分析中式（1.2.35)，求总离差平方和 ST 和误差 平方和SE
目录

因子设计的一般概念
2k因子设计——22设计
2.2 2k因子设计
假设试验中共有k个因子，每个因子都只有 两个水平。这种设计的安排总共有2k个不同的组 合，若每种组合下取一个观察值，总观察值共有 2k个，因此叫2k因子设计。
对2k设计作如下假设： （1）因子是固定的 （2）设计是完全随机的 （3）一般都满足正态性 （4）反应近似于线性
试分析因子A，B和交互作用A×B对化学反应的影响。
解 由表2.2.1，求出 l=28+25+27=80, a=36+32+32=100, b=18+19+23=60, ab=31+30+29=90. 由此得
( 对照 ) A 90 100 60 80 50 ( 对照 ) B 90 60 100 80 30 ( 对照 ) AB 90 80 100 60 10
2.1 因子设计的一般概念
使用因子设计方法，在每一个完全的试验或 试验的多次重复中，各个因子的各个水平的所有 可能的组合都要考虑。
主要效果：一个因子的效果是由因子水平的 改变而引起的反应的变化，经常称为主要效果。
2.1 因子设计的一般概念
例：设某一试验有两个因子A和B，因子A有两个 水平A1，A2，因子B有两个水平B1，B2，试验所 得结果数据如表所示：
22 设计的符号准则
表2.2.4 22设计效果计算符号表
因子水 平组合
I
因子效果 A B
AB
l a b ab
+ + + +
+ +
+ +
+ +
表2.2.4从纵向看，每列按l，a，b，ab配上该列顺序的+、号构成的和式，就是该列因子的（对照）定义式。 表2.2.4有下列性质 （1）除I列外，各列中“+”号、“-”号个数相同 （2）任意两列（包括I列）同行系数成积之和为0，这叫正 交性。
2.2.1 22设计
因子A的平均效果:在B的低水平下为
1
a l
ab
b
在B的高水平下为
n
1 n
总平均效果是这两个数的平均值,即
A 1 2n 1 2n
ab
b a l
ab
a b l
2.2.1 22设计
因子B的平均效果：在A的低水平下为
ST

i 1 2 2
2
2
3
y ijk
2
y 2 23
2 2
2
j 1 k 1
28 25 29
330 12
9398 . 00 9075 . 00 323 . 00
S E S T S A S B S AB 323 . 00 208 . 33 75 . 00 8 . 33 31 . 34 .
（对照） 4n 1
1
2 B

( ab b a l ) 4n

2
2 AB
( ab l a b ) 4n
2
例2.2.1 考虑一个化学反应过程，这里有两个因素：因素A为反应 物的浓度，它有两个水平，15%，25%；因素B为催化剂的是否 使用，有两个水平：不用、用。每种组合作3次试验。因素各水 平的组合情况为： A(low) 15% B(low) 不用催化剂 A(hight) 25% B(low) 不用催化剂 A(low) 15% B(hight) 用催化剂 A(hight) 25% B(hight) 用催化剂 全部试验得出的观察值如表2.2.1
列方差分析表，如表2.2.2所示 方差来源 平方和 自由度 均方 F
因子A
因子B AB
208.33
75.00 8.33
1
1 1
208.33
75.00 8.33
53.15
19.13 2.13
误差E
总和T
31.34
323.00
8
11
3.92
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对A,B给出α=0.01，对AB给出α=0.05，查出 F0.01（1，8） =11.26，F0.05(1，8)=5.23，FA=53.15>11.26，FB=19.13>11.26， FAB=2.13<5.23. 所以，因子A，B对化学反应均有显著影响，A的影响更显著， 交互作用A×B无显著影响。
也可以看作在A的高水平下与在A的低水平下，B的 平均效果之差的平均值，即：
2.2.1 22设计
1. 因子A的效果A是右边（高水平） 两项之和减去右边（低水平）两项 之和，再被2n除 2. 因子B的效果B是上边（高水平） 两项之和减去下边（低水平）两项 之和，再被2n除 3. 交互作用A×B的效果AB是右上方 两高水平）与左下方（两低水平） 两项之和减去左上方（A低B高） 与右下方（A高B低）两项之和， 再被2n除
试验设计与分析
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因子设计的一般概念
2k因子设计——22设计
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因子设计的一般概念

2k因子设计——22设计
2.1 因子设计的一般概念
复因子试验是指在一个试验中研究两个或两个 以上因子的试验。
因子设计目的：通过对各因子及其交互作用效 果来进行方差分析，从而判断各因子及其交互作 用对实验指标的影响。 很多试验包含着两个、三个或更多的因子， 对这些因子产生的效果都要进行研究。对这种类 型的试验，最有效的是因子设计方法。
2.1 因子设计的一般概念
分别画出这两种情况的图形：
2.1 因子设计的一般概念
第一种情况下，因子A、B之间 没有交互作用。 第二种情况下,因子A、B之间有 交互作用。交互作用是不能忽 视的,有时它比因子的作用还大, 因子设计方法是不会漏掉交互 作用的。 因此,因子设计是有效的设计方 法,特别是当交互作用存在的时 候。
2.1 因子设计的一般概念
复因子试验具有如下几个主要特点： （1）复因子试验可同时估计单因子作用及多 因子之间的相互作用。 （2）复因子试验扩大了试验研究的范围。由 于复因子试验可考虑多因子间各种水平组合，从 而在较大试验范围内选择出多因子不同水平的最 佳组合处理。 （3）复因子试验由于增加各因子重复数，从 而降低试验误差而提高试验精度。 （4）复因子试验的主要缺点是：当因子数目 增加时，试验规模随之急剧增加。
表2.1.1 两因子实验数据 表2.1.2 两因子实验数据
因子B 因子A
因子B
B1
20 40
B2
30 52
因子A
B1
20 50
B2
40 12
A1 A2
A1 A2
试考察因子A，B的效果。
解:先考虑表2.1.1的情形： 因子A的主要效果可看成是在A的第一个水平 下的平均反应与在第二个水平下的平均反应之差, 记为A,即 A=(40+52)/2 – (20+30)/2=21 因子B的主要效果是 B=(30+52)/2 – (20+40)/2=11 再考虑表2.1.2的情况 因子A的主要效果是 A=(50+12)/2 – (20+40)/2=1 因子B的主要效果是 B=(40+12)/2 – (20+50)/2=-9
方差分析
定义2.2.1 若有线性组合 满足约束条件 ，则 称这样的线性组合为对照（contrast），并记为
则C的离差平方和为：
方差分析
根据式（2.2.4）和式（2.2.5），从式（2.2.1），式 （2.2.2）和式（2.2.3），可以定义因子A，B，交互 作用A×B的总效果分别为：
( 对照 ) A ab a b l , ( 对照 ) B ab b a l , ( 对照 ) AB ab l a b .
1 n
b l
在A的高水平下为
1 n
ab
a
总平均效果是这两个数的平均值，即
B 1 2n 1 2n
ab a b l
ab b a l
2.2.1 22设计
交互作用A×B的平均效果AB定义如下： 它是在B的高水平下与在B的低水平下， A的平均效果之差的平均值，即：
22设计的符号准则
各因子的线性组合式按顺序l,a,b,ab写出来，称为标准顺 序，用这个标准顺序表示因子的效果，各项的系数如表2.2.3 所示
效果A B AB l -1 a +1 b -1 ab +1
-1 +1
-1 +1 -1 -1
+1 +1
如引进符号I 表示整个实验的总和全用“+”号，把 “+1”、“-1”，简写为“+”、“-”，并把行与列交换， 这样就得出一个完整的符号表如表2.2.4所示
因子A、B和交互作用A×B的平均效果分别为（注意：n=3）
A 1 2 ×3 6 1 30 B × ( 对照 ) B 5 . 00 ， 2 ×3 6 × ( 对照 ) A 50 8 . 33 ，
AB
1 2 ×3
× ( 对照 ) AB
10 6
1 . 67 .