高三数学一诊模拟考试试题理含解析试题

第七中学2021届高三一诊模拟考试
数学〔理〕试题
〔考试时间是是：120分钟试卷满分是：150分〕
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
，且，那么〔〕
【答案】A
【解析】
【分析】
根据随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．
【详解】∵随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，
∴对称轴是x=3．
∵P〔X≥5〕=0.2，
∴P〔1＜X＜5〕=1﹣2P〔X≥5〕=1﹣0.4=0.6．
应选：A．
【点睛】此题考察正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开场，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．的图象大致是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断．
【详解】因为满足偶函数f〔﹣x〕=f〔x〕的定义，
所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，
又x=0时，y=0，排除A、C，
应选D.
【点睛】此题考察了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于根底题．
3.“牟合方盖〞是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图〔其中四边形是为表达直观性而作的辅助线〕.当“牟合方盖〞的正视图和侧视图完全一样时，其俯视图为〔〕
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．
【详解】∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．
∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，
应选：B．
【点睛】此题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考察了空间想象才能，属于中档题．是虚数单位，复数满足，那么的虚部为〔〕
A. 1
B. -1
C. -2
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
令z=a+bi(a,b，将其代入，化简即可得出．
【详解】令z=a+bi，代入，
〔a-1+bi〕= a+3+bi，,
，
应选C.
【点睛】此题考察了复数相等的概念及运算法那么、虚部的定义，考察了计算才能，属于根底题．
5.执行下边的算法程序，假设输出的结果为120，那么横线处应填入〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，
模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果．
【详解】模拟执行算法程序，可得：
S=1，k=1，
不满足条件，S=1，k=2，
不满足条件，S=2，k=3，
不满足条件，S=6，k=4，
不满足条件，S=24，k=5，
不满足条件，S=120，k=6，
此时i满足条件，退出循环，输出S的值是120；
所以横线处应填写上的条件为，
应选C.
【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，属于直到型循环构造，当循环的次数不多，或者有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
满足，那么的最大值是〔〕
A. -1
B.
C. 1
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由约束条件确定可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率求得答案．
【详解】由约束条件，作出可行域如图，
联立，解得A〔〕，
的几何意义为可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率，
由图可知，最大．
故答案为：．
【点睛】此题考察简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．
7.“〞是“〞的〔〕
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对数函数的单调性即可判断出结论．
【详解】⇒a>b>0 ⇒，但满足的如a=-2,b=-1不能得到，故“〞是“〞的充分不必要条件.
应选A.
【点睛】此题考察了对数函数的单调性、简易逻辑的断定方法，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．
的图象的一条对称轴方程是〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将函数表达式展开合并，再用辅助角公式化简，得f〔x〕=sin〔2x+〕-．再根据正弦函数对称轴的公式，求出f〔x〕图象的对称轴方程.
【详解】f〔x〕==sinx
=sin2x-=sin2x+-=sin〔2x+〕-，
∴f〔x〕=sin〔2x+〕-，
令2x+=(k,解得x=(k,k=0时，，
应选B.
【点睛】此题考察了三角函数的化简与三角函数性质，运用了两角和差的正余弦公式和二倍角公式，属于中档题．
分解因式得，为常数，假设，那么〔〕A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由可得=5m-2=-7,m=-1，
.
【详解】因为的通项公式为，=x+〔-2〕=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,
=2，
应选D.
【点睛】此题考察了二项式定理的应用，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
10.正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，那么其内切球〔与四个面都相切〕的外表积为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE 是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积，再求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，利用等体积能求出球的外表积．
【详解】如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，
连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∴为侧面与底面所成的二面角的平面角，
∴=
∵PD=6，∴DE=2,PE=4 , AB=12,
∴S△ABC=×〔12〕2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24．
∴S表=108.
设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
∵PD=6，∴V P﹣ABC=•36•6=72．
那么由等体积可得r==2，
∴S球=4π22=16π．
应选B.
【点睛】此题考察棱锥的内切球的半径的求法，棱锥全
面积和体积的求法，考察球的外表积公式，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养．分别是的内角的对边，，设是边的中点，且的面积为，那么等于〔〕
A. 2
B. 4
C. -4
D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角形内角和定理可得．由正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，
由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈〔0，π〕可得A的值，结合的面积求得bc,将利用向量加减法运算转化为,即可求得结果.
【详解】∵，，
∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，
∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈〔0，π〕，可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,
又=-=-=-
===-bccosA=2.
应选A.
【点睛】此题主要考察了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考察了转化思想和计算才能，属于中档题．
不是等差数列，但假设，使得，那么称的项数为4，记事件：集合，事件：为“部分等差〞数列，那么条件概率〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出事件与事件的根本领件的个数，用=计算结果.
【详解】由题意知，事件一共有=120个根本领件，事件“部分等差〞数列一共有以下24个根本领件，
〔1〕其中含1，2，3的部分等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3一共3个，含3，2，1的部分等差数列的同理也有3个，一共6个.
含3，4，5的和含5，4，3的与上述〔1〕一样，也有6个.
含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1一共 2个，
含4，3，2的同理也有2个.
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4一共4个，
含5，3，1的也有上述4个，一共24个，
=.
应选C.
【点睛】此题主要考察了条件概率的求法，综合运用了等差数列与集合的知识，理解题意是解决此类题的关键.
二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.
13.某初中部一共120名老师，高中部一共180名老师，其性别比例如下图，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么工会代表中男老师的总人数为________.
【答案】12
【解析】
【分析】
利用分层抽样中的比例，可得工会代表中男老师的总人数．
【详解】∵高中部女老师与高中部男老师比例为2：3，
按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么男老师有9人，工会代表中高中部老师一共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，
工会代表中初中部老师人数与高中部老师人数比例为2：3，
工会代表中初中部老师总人数为10，又∵初中部女老师与高中部男老师比例为7：3，
工会代表中初中部男老师的总人数为10×30%=3；
∴工会代表中男老师的总人数为9+3=12，
故答案为12．
【点睛】此题考察对分层抽样的定义的理解，考察识图才能与分析数据的才能，考察学生的计算才能，比拟根底．
的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，假设，那么的值〔〕
A. B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据条件，结合抛物线的定义得==，即可得出结论．
【详解】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据条件，结合抛物线的定义得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，
∴==，.
应选：D．
【点睛】此题考察了抛物线的定义HY方程及其性质、向量的
一共线，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
，，为自然对数的底数，假设，那么的最小值是________. 【答案】
【解析】
【分析】
运算=1，将变形，利用分母的和为定值，将乘以，利用根本不等式即可求得结果.
【详解】=1，
，.
故答案为.
【点睛】此题考察了“乘1法〞与根本不等式的性质，考察了微积分根本定理，积分的运算，属于中档题．
有三个不同的零点，那么实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，结合图象求出实数a的取值范围．
【详解】由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，如下图：
当时，的图象易得，当时，函数g(x)=，==0，x=1, 在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，如下图：
有三个不同的交点，a≤4
故答案为：
【点睛】此题主要考察函数的零点与方程的
根的关系，表达了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.
中，，.
求的前项和；
对于中的，设，且，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】
利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1=1，q=2，由此能求出{a n}的前项和．〔2〕由，直接利用累加法求出{b n}的通项．
【详解】设正项等比数列的公比为，那么
由及得，化简得，解得或者〔舍去〕.
于是，所以，.
由，，所以当时，由累加法得
，
.
又也合适上式，所以的通项公式为，.
【点睛】此题考察数列通项公式、数列的前n项和的求法，考察累加法求通项等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．
18.“黄梅时节家家雨〞“梅雨如烟暝村树〞“梅雨暂收斜照明〞……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2021～2021年梅雨季节的降雨量〔单位：〕的频率分布直方图，试用样
本频率估计总体概率，解答以下问题：
“梅实初黄暮雨深〞.假设每年的梅雨天气互相HY，求镇将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；
“江南梅雨无限愁〞.在〔/亩〕与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为〔元/〕，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使利润〔万元〕的期望更大？〔需说明理由〕；
降雨量
亩产量500 700 600 400
【答案】乙
【解析】
【分析】
由频率分布直方图可求出降雨量超过的概率，利用HY重复试验的概率公式计算三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率.
根据题意，列出随机变量〔万元〕的分布列并求期望，与甲品种的平均值作比拟得出结论.
【详解】频率分布直方图中第四组的频率为.
江南地区在梅雨季节时降雨量超过的概率为.
所以地区将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为
〔或者0.15625〕.
根据题意，总利润为〔元〕，其中.
所以随机变量〔万元〕的分布列如下表.
27 35
故总利润〔万元〕的数学期望
〔万元〕.
因为31>28，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大.
【点睛】此题考察频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望的求法，考察计算才能．的离心率为，且经过点.
求椭圆的HY方程；
设为椭圆的中线，点，过点的动直线交椭圆于另一点，直线上的点满足
，求直线与的交点的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】
〔1〕利用椭圆C：的离心率为，且经过点M〔2，0〕，可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；
〔2〕直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，结合求出C的坐标，写出BD、OC的直线方程，利用消参法求轨迹.
【详解】因为椭圆的离心率，且，所以.
又.故椭圆的HY方程为.
设直线的方程为〔当存在时，由题意〕，代入，并整理得
.
解得，于是，即.
设，那么.
由得，得，解得，于是.
又，
由两点的坐标可得直线的方程为.
又由点坐标可得直线的方程为.
两式相乘，消去参数得.〔假如只求出交点的坐标，此步不得分〕
又当不存在时，四点重合，此时也满足题意.
故直线与的交点的轨迹方程.
【点睛】此题考察椭圆的HY方程，考察直线与椭圆的位置关系，考察直线过定点，正确运用韦达定理是关键．
20.如图，在多面体中，和交于一点，除以外的其余各棱长均为2.
作平面与平面的交线，并写出作法及理由；
求证：平面平面；
假设多面体的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】见解析见解析
【解析】
【分析】
由题意可得平面，由线面平行的性质作出交线即可.
取的中点，连结，.由条件可证得平面，故.
又.平面.从而平面平面.
利用等体积法求得三棱锥的高，通过建立空间坐标系，利用空间向量法求线面角. 【详解】过点作〔或者〕的平行线，即为所求直线.
和交于一点，四边形边长均相等.
四边形为菱形，从而.
又平面，且平面，平面.
平面，且平面平面，.
取的中点，连结，.，，，. 又，平面，平面，故.
又四边形为菱形，.
又，平面.
又平面，平面平面.
由，即.
设三棱锥的高为，那么，解得.
又，平面.
建立如图的空间直角坐标系，那么，，，.
，.
由得，平面的一个法向量为.
又，于是.
故直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】此题考察证明线面平行的方法，求二面角的大小，找出二面角的平面角是解题的关键和难点．
，其中为常数.
假设曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；
假设对，都有，求的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
〔1〕求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得a即可．〔2〕对a分类讨论，易判断当或者当时，在区间内是单调的，根据单调性得出结论，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，故
，又因为，的最大值为
，将最大值构造新函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后求解结果．
【详解】求导得，所以.
又，所以曲线在处的切线方程为.
由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求.
对，，所以在区间内单调递减.
①当时，，所以在区间内单调递减，故，由
恒成立，得，这与矛盾，故舍去.
②当时，，所以在区间内单调递增，故，即
，由恒成立得，结合得.
③当时，因为，，且在区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内单调递增，在区间
内单调递减.
故，由恒成立知，，，所以.
又的最大值为，由得，
所以.
设，那么，所以在区间内单调递增，于是，即.所以不等式恒成立.
综上所述，所求的取值范围是.
【点睛】此题考察导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，构造新函数以及二次导数是解决函数恒成立问题常用的方法，考察转化思想以及计算才能．请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
中，曲线的参数标方程为〔其中为参数〕，在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系〔两种坐标系的单位长度一样〕中，直线的极坐标方程为.
求曲线的极坐标方程；
求直线与曲线的公一共点的极坐标.
【答案】
【解析】
【分析】
〔1〕先将曲线C的参数标方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标方程；
〔2〕将与的极坐标方程联立，求出直线l与曲线C的交点的极角，代入直线的极坐标方程即可求得极坐标．
【详解】消去参数，得曲线的直角坐标方程.
将，代入，得.
所以曲线的极坐标方程为.
将与的极坐标方程联立，消去得.
展开得.
因为，所以.
于是方程的解为，即.
代入可得，所以点的极坐标为.
【点睛】此题考察曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考察计算才能．
[选修4-5：不等式选讲]
，且.
假设，求的最小值；
假设，求证：.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由柯西不等式将中的变为，
求得的最小值.
因为，又，故再结合绝对值三角不
等式证得结论成立.
【详解】由柯西不等式得，〔当且仅当时取等号〕，所以，即的最小值为；
因为，所以
，故结论成立.
【点睛】此题考察了利用柯西不等式求最值，考察了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题.
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。