《用向量方法讨论立体几何中的位置关系》知识清单

《用向量方法讨论立体几何中的位置关系》知识清单
知识点1空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量
①_______来表示.我们把向量②________称为点P的位置向量.
2.空间直线的向量表示式
如图(1),a是直线l的方向向量,在直线l上取AB=a,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得AP=t a,即AP t AB
=.进一步地,如图(2),取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使③________(i),将AB=a代入(i)式,得④_______(ii).(i)式和(ii)式都称为空间直线的向量表示式.
3.空间平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数,x y,使⑤________(iii).我们把(iii)式称为空间平面ABC的向量表示式.
4.法向量
如图,直线l α⊥,取直线l 的方向向量a ,我们称向量a 为平面α的⑥_______.给定一个点A 和一个向量a ,那么过点A ,且以向量a 为法向量的平面完全确定,可以表示为集合⑦_________.
知识点2空间中直线、平面的平行
知识点3空间中直线、平面的垂直
【答案】
①OP ②OP ③OP OA t =+a ④OP OA t AB =+⑤OP OA x AB y AC =++ ⑥法向量⑦{|P AP ⋅a 0}=⑧12λ=u u ⑨0⋅=u n ⑩12λ=n n 12⊥u u ⑫120⋅=u u ⑬//u n ⑭λ=u n 12⊥n n ⑯120⋅=n n
【知识辨析】判断正误,正确的画“√”,错误的画“⨯”.
1.直线l 的方向向量是唯一的.(,,,,)
2.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.(,,,,)
3.若向量a是直线l的一个方向向量,则向量k a也是直线l的一个方向向量.(,,,,)
4.已知直线l垂直于平面α,向量a与直线l平行,则a是平面α的一个法向量.(,,,,)
5.若直线l是平面α外的一条直线,直线m垂直于l在平面α内的投影,则l与m垂直.(,,,,)
6.一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量.(,,,,)
【答案】
1.×,与直线l平行或共线的任何向量都可作为l的方向向量.
2.√
k≠.
3.×,此命题成立的前提条件是0
4.×,不一定.当0
a,但a不是平面α的一个法向量.
a=时,也满足//l
5.×,不一定.若直线m在平面α外,例如mα
⊥,尽管m垂直于直线l在平面α内的投影,但也不能得出m l
⊥的结论.
6.√。