《一次函数的图象、直线的方程及其倾斜角与斜率》示范公开课教案【高中数学北师大】

《一次函数的图象、直线的方程及其倾斜角与斜率》教案
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．
3．掌握过两点的直线斜率的计算公式．
4．通过学习直线的倾斜角与斜率，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养．
重点：直线倾斜角的概念；直线的斜率公式．
难点：直线的斜率公式．
一、新课导入
情境导入：中华人民共和国成立后，我国航天事业取得了巨大成就．2017年4月20日成功发射的“天舟一号”是我国自主研制的首艘货运飞船，被形象地称为中国航天的“快递小哥”．在茫茫太空，让“快递小哥”顺利完成为“天宫二号”提供补给的任务，如何确定和描述空间位置呢？
答：在初中，我们就已经知道，通过数轴可以将实数和直线上的位置（点）建立一一对应关系，继而建立平面直角坐标系，将有序数对和平面上的位置（点）建立一一对应关系．这样使我们能够用坐标研究图形，通常把这种方法叫作坐标法，也叫作解析几何法．
二、新知探究
一次函数的图象与直线的方程
思考：下面三个方程有什么共同特点？你能结合函数图象，从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1） 2x+1=3；（2） 2x+1=0；（3） 2x+1=−1．
分析：这三个方程可以看成函数y=2x+1的函数值分别为3，0，−1时，求自变量x 的值．从图象来看这三个方程的解，分别对应着函数y=2x+1图象上A，B，C三点的横坐标．
问题1：我们知道，一次函数y=2x+1的图象是一条直线，设为l．
◆教学目标
◆教学重难点
◆
◆教学过程
◆
(1)满足函数解析式y=2x+1的每一对x，y的值都是直线l上点的坐标吗？
(2)直线l上每一点的坐标(x，y)都满足函数解析式y=2x+1吗？
答案：(1)都是(2)都满足
结论：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x，y的值为坐标的点构成的，同时函数解析式y=kx+b可以看作二元一次方程．即二元一次方程的解是一次函数图像上的点的坐标，反过来也成立．在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题．
直线的倾斜角
问题2：由初中的平面几何知识，我们知道两点确定一条直线；由必修课程中的平面向量知识，我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线．那么，怎样用代数方法刻画直线呢？
答：
经过原点的直线有无数条．
的直线有无数条；经过原点，与x轴（正方向）所成的角与x轴（正方向）所成的角为π
6
的直线仅有一条．一个定点和与x轴的一个定夹角,唯一确定一条直线．
为π
6
直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．常用α表示．
直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0；直线倾斜角的取值范围为[0，π
2
)；直线倾
斜角刻画了直线的倾斜程度，倾斜角越接近π
2
，倾斜程度越大．
直线的斜率
问题3：日常生活中，我们通常如何描述倾斜程度？请举例说明．
答案：用坡度刻画道路，水坝，屋顶的坡面倾斜程度．坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比，这个比值反映了物体在水平方向的改变量和铅直方向的改变量的联系．实际上，坡度是利用高度的平均变化率刻画倾斜程度．
思考：已知一条直线上的两点坐标，如何表示它的倾斜程度？
分析：在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
记Δx=x2−x1 (Δx≠0) ，Δy=y2−y1，比值k=Δy
Δx
反映了直线l的倾斜程度．由下
图可知，k=Δy
Δx
的大小与两点P1、P2在直线上的位置无关．
（1）定义：称k=y1−y2
x1−x2
（其中x2≠x1）为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率．
（2）①若直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在；②若直线l平行于x轴，则它的斜率为0；③若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一．
三、应用举例
例1求满足下列条件的直线的斜率：
（1）经过点A(2，−8)，B(5，1)；
（2）经过点C(0，2)，D(2，−1)；
（3）经过点M(−1，3)，N(0，3)．
解：由经过两点的直线的斜率计算公式，可得
（1）k AB=1−(−8)
5−2
=3．
（2）k CD=−1−2
2−0=−3
2
．
（3）k MN=3−3
0−(−1)
=0．
例2 已知直线l经过点A(−1，2)，且斜率k=−2，判断 B(1，−2) ， C(0，4)，D(0，0) 中，哪些点在直线l上，哪些点不在直线l上．
解：因为k AB=−2−2
1−(−1)=−2，k AC=4−2
0−(−1)
=2≠−2，k AD=0−2
0−(−1)
=−2，且直线l经
过点A(−1， 2)，所以点B，D在直线l上，点C不在直线l上．
例3已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D（−1，b）四点在同一直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
解：由题意可知k AB=5−1
3−1=2，k AC=7−1
a−1
=6
a−1
，k AD=b−1
−1−1
=b−1
−2
，所以k=2=
6 a−1=b−1
−2
，解得a=4，b=−3，所以直线的斜率k=2，a=4，b=−3．
四、课堂练习
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）、
（1）任意一条直线都有倾斜角．（）
（2）任意一条直线都有斜率．（）
（3）倾斜角越大，斜率也越大．（）
（4）倾斜角为0的直线只有一条，即x轴．（）
2．已知过点M(−2，a)，N（a，4）的直线的斜率为−1
2
，求a的值．
3．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α（0<α<π
2
），求
其倾斜角．
4．一条直线l经过第二、四象限，求直线l的倾斜角α的范围．
参考答案：
1．（1）√（2）×（3）×（4）×
解析：由倾斜角和斜率的概念得知：（1）√（2）×（3）×（4）×．2．10
解析：由题意得知，k MN=4−a
a+2=−1
2
．解得a=10．
3．π
2+α或π
2
−α
解析：由题意得，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为π
2
+α；当l向上方向的
部分在y轴右侧时，倾斜角为π
2−α．故倾斜角为π
2
+α或π
2
−α．
4．π
2
<α<π
解析：由题意，可知直线l经过第二、四象限，直线l的倾斜角α的范围是π
2
<α<π．
五、课堂小结
1．一次函数的图象与直线的方程：二元一次方程的解是一次函数图像上的点的坐标，反过来也成立．
2．直线的倾斜角：x轴正向与直线l向上方向之间所成的角；范围π
2
<α<π．
3．直线的斜率： k=y1−y2
x1−x2
（其中x2≠x1）为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率．
六、布置作业
教材第5页练习1、2、3、4题．。