2020-2021学年北京北外附属外国语学校高二数学理下学期期末试卷含解析

2020-2021学年北京北外附属外国语学校高二数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
2. 下列命题中，真命题是( )
A．x∈R，x>0 B．如果x<2，那么x<1
C．x∈R，x2≤－1 D．x∈R，使x2＋1≠0
参考答案：
D
略
3. 对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：
n1n n+1x1+x2+x3+ (x2017)
值为（）
A．9400 B．9408 C．9410 D．9414
参考答案：
C
【考点】8I：数列与函数的综合．
【分析】利用已知函数的关系求出数列的前几项，得到数列是周期数列，然后求出通过周期数列的和，即可求解本题．
【解答】解：因为数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，x n+1=f（x n）
所以x1=2，x2=4，x3=8，x4=2，x5=4，x6=8，x7=2，x8=4…
所以数列是周期数列，周期为3，一个周期内的和为14，所以x1+x2+x3+x4+…+x2016+x2017=672×（x1+x2+x3）+2=9410．
故选：C．
【点评】本题考查函数与数列的关系，周期数列求和问题，判断数列是周期数列是解题的关键．
4. 在中，面积，则
A、 B 、75 C 、55 D、49
参考答案：
C
5. 若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
参考答案：
C
6. “﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则，
所以，即﹣3＜m＜5且m≠1．
所以“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．
故选B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程．
7. 已知f（n）=1+++…+（n∈N*），计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f （32）＞，由此推算：当n≥2时，有（）
A．f（2n）＞（n∈N*） B．f（2n）＞（n∈N*）
C．f（2n）＞（n∈N*）D．f（2n）＞（n∈N*）
参考答案：
D
【考点】归纳推理．
【专题】推理和证明．
【分析】根据已知中的等式f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．
【解答】解：观察已知的等式：f（2）=，
f（4）＞2，即f（22）＞
f（8）＞，即f（23）＞，
f（16）＞3，即f（24）＞，
…，
归纳可得：
f（2n）＞，n∈N*）
故选：D．
【点评】本题主要考查了归纳推理的问题，其一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
8. 459和357的最大公约数（）A．3 B．9 C．17 D．51
参考答案：
D
【考点】辗转相除法；最大公因数．
【专题】计算题．
【分析】用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，有得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数．
【解答】解：∵459÷357=1…102，
357÷102=3…51，
102÷51=2，
∴459和357的最大公约数是51，
故选：D．
【点评】本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．本题也可以验证得到结果．
9. 若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
10. 双曲线﹣=﹣1的渐近线方程为（）
A．B．y=±2x C．D．
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质；梅涅劳斯定理．
【分析】根据双曲线渐近线方程的求法进行求解即可．
【解答】解：令，得，
即双曲线的渐近线为，
故选：A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 与直线垂直，且过抛物线焦点的直线的方程是_________．
参考答案：
8x-4y+1=0
12. 双曲线过正六边形的四个顶点，焦点恰好是另外两个顶点，则双曲
线的离心率为
参考答案：
略
13. 设函数f （x ）=
，则f[f（﹣1）]=_ ；若函数f（x）与y=k存在两个交
点，则实数k的取值范围是．
参考答案：
﹣2；（0，1]
考点：函数的图象；函数的值；函数的零点与方程根的关系．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用分段函数求解函数值即可．
解答：解：函数f（x）=，则f（﹣1）=4﹣1，f[f（﹣1）]=f（4﹣1）=log24﹣1=﹣2；
函数f（x）与y=k的图象为：
两个函数存在两个交点，则实数k的取值范围：0＜k≤1．
故答案为：﹣2；（0，1]．
点评：本题考查函数的值的求法，函数的图象以及函数的零点的求法，考查计算能力．
14. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则
参考答案：
15. 已知，用数学归纳法证明时，等
于．
参考答案：
16. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设
（）是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．则
为▲．
参考答案：
59
略
17.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，．
（Ⅰ）线段AB上是否存在点M，使AB⊥平面PCM？并给出证明．
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）当m是AB的中点时，推导出AB⊥PM，AB⊥CM，从而得到AB⊥平面PCM．
（Ⅱ）取AB中点O，以O为坐标原点，以OC，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）当m是AB的中点时，AB⊥平面PCM．
证明如下：
∵AP=PB，∴AB⊥PM…
又△ACB中，AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，∴AB⊥CM，
又PM∩CM=M，∴AB⊥平面PCM．…解：（Ⅱ）取AB中点O，
由AB=PC=2，，解得PO=1，，
∴OP2+OC2=PC2，∴OP⊥OC…
以O为坐标原点，以OC，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O﹣xyz，
则B（0，1，0），，P（0，0，1），，
∴，，
设平面DCP的一个法向量为，则，，
∴，∴，y=0，∴…
设平面BCP的一个法向量为，则，，
∴，∴，，
∴…
∴，
∵二面角B﹣PC﹣D为钝角，
∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．…
19. 设命題方程有两个不相等的负根，命题恒成立
.
（1）若命题均为真命题，求的取值范围；
（2）若命题为假，命题为真，求的取值范围. 参考答案：
（1）若命题为真，则有
，解得
若命题为真，则有，解得
若均为真命题，则，即.
即的取值范围是.
（2）若命题为假，命题为真，则一真一假.
当真假，则，解得；
当假真，则，解得；
所以的取值范围为.
20. 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为。

参考答案：
5
略
21. 已知函数的定义域是,函数在上的值域为
,全集为,且求实数的取值范围。

参考答案：22. 如图，在三棱锥ABCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥DABC的体积．
参考答案：
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）设BD的中点为O，连接AO，EO，证明AO⊥BD．推出EO⊥BD．证明BD⊥平面AOE．即可证明AE⊥BD．
（2）由已知得三棱锥DABC与CABD的体积相等．转化求解S△ABD，求出三棱锥CABD的体积，即可求解三棱锥DABC的体积．
【解答】解：（1）证明：设BD的中点为O，连接AO，EO，
∵AB=AD，∴AO⊥BD．
又E为BC的中点，∴EO∥CD．
∵CD⊥BD，∴EO⊥BD．
又OA∩OE=O，∴BD⊥平面AOE．
又AE?平面AOE，
∴AE⊥BD．
（2）由已知得三棱锥DABC与CABD的体积相等．
∵CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，BD==2．由已知得S△ABD=×BD×=．
∴三棱锥CABD的体积V CABD=×CD×S△ABD=．
∴三棱锥DABC的体积为．。