(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试卷(含答案解析)(3)

一、选择题
1．若()f x lnx =与()2
g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，
则a =（） A ．1 B ．2
C ．3
D ．3或1-
2．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象
为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =--
D ．412y x =-
4．点P 在曲线3
21233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．3
0,,24πππ⎡⎫⎡⎫
⎪⎪⎢⎢⎣
⎭⎣⎭
B ．0,2π⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭
C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢
⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤
⎥⎝
⎦ 5．函数()()2
3ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()()
,b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）
A B ．C ．2
D ．6．已知函数()32
37f x x ax x =+-+（a ∈R ），当01x ≠时，曲线()y f x =在点
()()0
,x f x 和点()()0
2,2x f x --处的切线总是平行，若曲线()y f x =与直线
2y mx m =-+（m ∈R ）交于不同的三点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则
()3
1
i
i
i x y =+=∑（ ）
A ．0
B ．3
C ．6
D ．9
7．设a R ∈，函数()x
x
f x e a e -=+⋅为奇函数，曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ） A ．20x y -=
B ．20x y +=
C ．40x y -=
D ．40x y +=
8．已知函数()f x 的图像在点()()
22f ,处的切线方程是210x y -+=，若
()()
f x h x x
=，则()2h '=（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．18
-
D ．
58
9．三次函数()3
2
3212
f x ax x x =-
++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）
A ．83
B ．
116
C ．
113
D ．
53
10．若52345
012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为
（） A ．－233
B ．10
C ．20
D ．233
11．已知函数()f x 的导函数为()()()2
,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．
92
B ．
94
C ．
174
D ．
178
12．设，则在点处的切线的斜率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设函数()()1x
f x e
x =+的图象在点()01，处的切线为y ax b =+，若方程
x a b m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是__________．
14．已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 在()()
1,1f 处的切线方程_____________. 15．曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程为______．
16．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 都有2(1)2()1f x f x x --=-，则曲线()y f x =在(1,(1))f --处的切线方程为__________．
17．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是_____. 18．已知函数()2sinx
f x cosx
=
+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的
下方，则k 的取值范围是________ . 19．函数1y x =-
在1-22⎛⎫
⎪⎝⎭
，处的切线方程是____________________ 20．曲线2
1
y x x
=+
在点（1，2）处的切线方程为______________． 三、解答题
21．设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
22．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．
（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；
（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围． 23．已知曲线()3
:C f x x x =-.
(1)求曲线C 在点()()
1,1f 处的切线方程； (2)求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程. 24．已知函数()2
ln f x x x x =-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若
()02f x k x x x
+-<在()1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．
25．已知函数()()3
21453
f x x ax ax a a R =
+-+∈． ()1若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围；
()2若0a >且()()313
g x f x x =-，()2x ax ϕ=+，当[]11,3x ∈-，[]01,3x ∈-时，不
等式()()10x g x ϕ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 26．已知函数()x f x e ax =-．
（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当12
x ≥
时，设21
()12g x x =+，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先根据和曲线()ln f x x =相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值. 【详解】
设在函数()ln f x x =处的切点设为（x,y ）,根据导数的几何意义得到1
11k x x
=
=⇒=，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和 ()2
g x x ax =+也相切，故
21x ax x +=-,
化简得到()2
110x a x +-+=,只需要满足()2
1401 3.a a ∆=--=⇒=-或
故答案为D. 【点睛】
求切线方程的方法：
①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；
②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.
2．B
解析：B 【详解】
∵，∴
，∴
，
可知
应该为奇函数，且当02
t π
<<
时，故选B ．
考点：利用导数研究函数的单调性.
3．D
解析：D 【分析】
对多项式函数求导，结合导数的几何意义，可得选项. 【详解】
设函数()(1)(2)(4)(5)g x x x x x =----，
则'
'
'
()(3)()(3)()()(3)()f x x g x x g x g x x g x '=-+-=+-，所以
'(3)(3)(31)(32)(34)(35)4f g ==----=，
则曲线()y f x =在点(3,0)处的切线方程为()43412y x x =-=-. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题.
4．A
解析：A 【分析】
利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】
243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫
∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
.
故选：A . 【点睛】
本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.
5．B
解析：B 【分析】
先求导,再将x b =代入,即()k f b '=,进而根据均值不等式求得最小值. 【详解】
由题,()2323
2x bx f x x b x x
-+'=+-=
, 则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233
b b k f b b b b
-+'===+,
设()3g b b b =+
≥当且仅当3
b b
=,即b =,
所以()g b 的最小值为即min k = 故选:B 【点睛】
本题考查利用导数求函数图像某点处的切线斜率,考查利用均值不等式求最值.
6．D
解析：D 【分析】
求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得3a =-，计算
()()114f x f x -++=，可得()f x 关于点()1,2对称，考虑直线恒过()1,2，即可得到
所求和. 【详解】
函数()3
2
37f x x ax x =+-+的导数为()2
323f x x ax =+-'，
当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 和点()()
002,2x f x --处的切线总是平行，
可得()()2
2
000032332223x ax x a x +-=-+--，
化简可得()()003442220x a x -+-=，解得3a =-， 可得()3
2
337f x x x x =--+，
由
()()()()()()()()3232
111313171313174
f x f x x x x x x x -++=-----+++-+-++=可得函数()y f x =的图象关于点()1,2对称，
又直线2y mx m =-+()m ∈R 恒过定点()1,2，可得另外两点关于()1,2对称， 则
()3
1
12249i
i
i x y =+=+++=∑
故选：D 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查计算能力，考查函数与方程思想，属于中等题型.
7．A
解析：A 【分析】
根据奇函数的定义先求得1a =-的值，再利用导数的几何意义求得切线方程. 【详解】
因为函数()x
x
f x e a e -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x -=-对一切x ∈R 恒成立，
所以x x x x e a e e a e --+⋅=--⋅对一切x ∈R 恒成立，
所以()(
)10x
x
e a e
-++=对一切x ∈R 恒成立，
所以10a +=，解得1a =-，所以()x
x
f x e e -=-，所以()'x
x
f x e e -=+.
因为曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0， 所以令()0x
x
f x e e
-=-=，解得0x =.
所以曲线()y f x =的这条切线的切点的坐标为()0,0， 切线的斜率为()'
0002f
e e -=+=.
故曲线()y f x =的这条切线方程为()020y x -=-，即20x y -=. 故选：A. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意涉及切线问题时，要先明确切点坐标.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据切线方程计算1'(2)2f =，3
(2)2
f =，再计算()h x 的导数，将2代入得到答案. 【详解】
函数()f x 的图像在点()()
22f ,处的切线方程是210x y -+=
1'(2)2f ⇒=
3
(2)2
f = ()()2
'()()
'()f x f x x f x h x h x x x
-=⇒= ()3
112248
h -
'==- 故答案选C 【点睛】
本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.
9．D
解析：D 【分析】
由()10f '=求出实数a 的值，然后利用导数能求出函数()y f x =在区间()1,3上的最小值. 【详解】
()323
212
f x ax x x =-++，()2332f x ax x '∴=-+，
由题意得()1310f a '=-=，解得13
a =
，()32
132132f x x x x ∴=-++，
()232f x x x '=-+，令()=0f x '，得1x =或2x =.
当12x <<时，()0f x '<；当23x <<时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在区间()1,3上的最小值为()2835
22221323
f =-⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用切线与直线平行求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中等题.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】
对等式两边进行求导，得：
2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，
∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】
本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．
11．D
解析：D 【分析】
求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】
()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x
''=-+⇒=-+
将2x =代入导函数
()()()117'2832'228
f f f '=-+
⇒= 故答案选D 【点睛】
本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】 曲线在点处的切线的斜率为
.
【详解】
，
.
【点睛】
本题考查函数求导及导数的几何意义，属于基础题.
二、填空题
13．【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率将切点代入切线方程可得的值即可得有两个不等实根转化为与图象有两个不同的交点数形结合即可求解【详解】由可得在点处的切线斜率为所以将点代入可得所以方程即有两个不 解析：()0,1
【分析】
首先由导数的几何意义可知切线的斜率()0a k f '==，将切点()01，代入切线方程可得b
的值，即可得21x
m -=有两个不等实根，转化为21x
y =-与y m =图象有两个不同的
交点，数形结合即可求解. 【详解】 由()()1x
f x e
x =+可得()()()12x x x e x e x x e f =++=+'，
在点()01，处的切线斜率为()0
022k f e '===，所以2a =， 将点()01，代入y ax b =+可得1b =，
所以方程x
a b m -=即21x
m -=有两个不等实根， 等价于21x y =-与y m =图象有两个不同的交点，
作21x
y =-的图象如图所示：
由图知：若21x
y =-与y m =图象有两个不同的交点则01m <<吗，
故答案为：()0,1 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
14．【分析】求导数得切线斜率然后可写出切线方程【详解】由已知所以又所以切线方程为即故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义求出导函数得出切线斜率后直接写出切线方程解题时要注意所给点是不是切点 解析：310x y --=
【分析】
求导数得切线斜率，然后可写出切线方程． 【详解】
由已知1
()4f x x x
'=-，所以(1)413f '=-=，又(1)2f =， 所以切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．
故答案为：310x y --=． 【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求出导函数，得出切线斜率后直接写出切线方程．解题时要注意所给点是不是切点，问题是求函数在某点处的切线方程还是过某点的切线方程，
如果是求过点00(,)P x y ，则设切点为11(,)x y ，由此点求出切线方程，代入00(,)x y 后求得切点坐标，从而得切线方程．
15．【解析】【分析】欲求曲线y=sin2x 在点（00）处的切线方程只须求出其斜率即可故先利用导数求出在x=2处的导函数值再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而解决问题【详解】解：∵y=sin2x ∴f
解析：20x y -=
【解析】 【分析】
欲求曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而解决问题． 【详解】 解：∵y=sin2x ， ∴f'（x ）=2cos2x ，
当x=0时，f'（0）=2，得切线的斜率为2， 所以k=2；
所以曲线在点（0，0）处的切线方程为： y-0=2×（x-0），即y=2x ． 故答案为：20x y -=． 【点睛】
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
16．【解析】【分析】本题首先可以通过解出函数的函数解析式然后求出的值以及函数在点处的导数最后即可得出结果【详解】由可得曲线在处的切线：即故切线方程为【点睛】本题主要考查导数的相关性质曲线在某一点处的导数 解析：8350x y -+=
【解析】 【分析】
本题首先可以通过()()2
121f x f x x --=-解出函数()y f x =的函数解析式，然后求出
()1f -的值以及函数()y f x =在点()()11f ，--处的导数，最后即可得出结果。

【详解】
由()()()
()()2
2
1212111f x f x x f x f x x ⎧--=-⎪⎨--=--⎪⎩ 可得()2
2233f x x x =-++ ()11f -=-，()223f x x =-'+，()8
13
f '-=，
曲线在()()1,1f --处的切线：()8113y x +=+，即85
33
y x =+，
故切线方程为8350x y -+=。

【点睛】
本题主要考查导数的相关性质，曲线在某一点处的导数就是曲线在这一点处的切线斜率，考查计算能力，考查化归思想，是中档题。

17．1【解析】【分析】设出切点坐标P （x0ex0）利用导数的几何意义写出在
点P 处的切线方程由直线y ＝x+b 是曲线y ＝ex 的切线根据对应项系数相等可求出实数b 的值【详解】∵y ＝ex ∴y′＝ex 设切点为P （
解析：1 【解析】 【分析】
设出切点坐标P （x 0，e x 0），利用导数的几何意义写出在点P 处的切线方程，由直线y ＝x +b 是曲线y ＝e x 的切线，根据对应项系数相等可求出实数b 的值． 【详解】
∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ， 设切点为P （x 0，e x 0），
则在点P 处的切线方程为y ﹣e x 0＝e x 0（x ﹣x 0）， 整理得y ＝e x 0x ﹣e x 0•x 0+e x 0，
∵直线是y ＝x +b 是曲线y ＝e x 的切线， ∴e x 0＝1，x 0＝0， ∴b ＝1． 故答案为1． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查曲线在某点处的切线方程的求法，属于基础题.
18．【分析】先由因为函数的图像横在直线的下方且两函数都过原点可知当直线为函数的切线时切点为进而可求出切线的方程结合函数图像即可判断结果【详解】因为函数的图像横在直线的下方且两函数都过原点所以当直线为函数
解析：1,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】
先由因为函数()f x 的图像横在直线y kx =的下方，且两函数都过原点，可知当直线
y kx =为函数()f x 的切线时，切点为()0,0，进而可求出切线的方程，结合函数图像，
即可判断结果. 【详解】
因为函数()f x 的图像横在直线y kx =的下方，且两函数都过原点，所以当直线y kx =为函数()f x 的切线时，切点为()0,0，
由()2sinx f x cosx =+得()()()()
2
22cosx cosx sinx sinx f x cosx +=+'--，所以切线斜率为
2101
93
+-=， 所以可得切线方程为13y x =，结合图像可得1
3
k ≥. 故答案为1
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程的问题，常用数形结合的方法，结合导数的几何意义来解决，属于中档试题.
19．【解析】【分析】首先利用求导公式对函数求导将代入导函数解析式求得导函数在处的函数值根据导数的几何意义可知导数即为切线的斜率根据点斜式方程写出切线的方程化简求得结果【详解】由得所以所以切线的斜率为4根 解析：44y x =-
【解析】 【分析】
首先利用求导公式对函数求导，将12x =
代入导函数解析式，求得导函数在1
2
x =处的函数值，根据导数的几何意义，可知导数即为切线的斜率，根据点斜式方程，写出切线的方程，化简求得结果. 【详解】 由1y x
=-
得21'y x =，所以12'|4x y =
=，所以切线的斜率为4， 根据点斜式可知所求的切线方程为1
(2)4()2
y x --=-，化简得44y x =-， 故答案为44y x =-. 【点睛】
该题考查的是导数的几何意义，首先要求出函数的导数，涉及到的知识点有函数的求导公式，直线方程的点斜式，熟练掌握基础知识是解题的关键.
20．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+
【解析】
设()y f x =，则21
()2f x x x
'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线2
1
y x x
=+
在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，
其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是
000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不
存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
三、解答题
21．（1）2
()f x x x
=-；（2）证明见解析，定值为4. 【分析】
（1）由曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=，可得
3(2)42
(2)21
2b f a b f a ⎧=+=⎪⎪⎨
⎪=-=⎩
'
⎪，从而求出,a b 的值，进而可得()f x 的解析式； （2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，则可得点P 的切线方程为
()00200221y x x x x x ⎛⎫⎛⎫
--=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，从而可求出切线与直线0x =和直线y x =的交点坐
标，进而可求出所求面积 【详解】
（1）将点(2,(2))f 的坐标代入直线3240x y --=的方程得(2)1f =，
()b f x ax x =-
，则2()b f x a x '
=+，直线3240x y --=的斜率为32
， 于是3(2)42(2)21
2b f a b f a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎩
'
⎪，解得12a b =⎧⎨=⎩，故2()f x x x =-；
（2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，由（1）知2
()f x x x
=-
， 22()1f x x
'
∴=+，又()00
02f x x x =-， 所以，曲线()y f x =在点P 的切线方程为()00200221y x x x x x ⎛⎫⎛⎫
--=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 即20024
1y x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭， 令0x =，得04y x =-
，从而得出切线与y 轴的交点坐标为040,x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，
联立200241y x y x x x
=⎧⎪
⎛⎫⎨=+- ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得02y x x ==， 从而切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x .
所以，曲线()y f x =在点P 处的切线与直线0x =、y x =所围成的三角形的面积为
00
14
242S x x =⋅-⋅=
故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值且此定值为4. 【点睛】
此题考查导数的几何意义的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题. 22．（1）a ＝1；（2）a ≤3 【分析】
（1）出导数，求出切线的斜率和切点，再由两点斜率公式，即可得到a ；（2）运用导数判断()f x 在[0,2]，在[2,3]的单调性，求出最值，由题意得，()()12max min 2f x f x +≤得到不等式，解出即可. 【详解】
（1）2
()36f x x x '=-，
(1)3f '∴=-，又(1)2f a =-，
∴切点坐标(1,2)a -， 又∵切线经过点(0,2)， ∴由两点的斜率公式，得4
31
a -=-， 解得1a =；
（2）2
()363(2)f x x x x x '=-=-，
当[0,2]x ∈时，()0,()f x f x '≤单调递减； 当[2,3]x ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增，
1[0,2]x ∈，()1f x ∴的最大值为(0)f a =，
又2[2,3]x ∈，()2f x ∴的最小值为(2)4f a =-，
对任意1[0,2]x ∈，都存在2[2,3]x ∈使得()()122f x f x +≤，
()()12max min 2f x f x +≤，
即有42a a +-≤， 解得3a ≤． 【点睛】
本题主要考查的是导数的运用：求切线方程和求单调区间，最值，考查恒成立和存在思
想，注意转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题.
23．(1) 220x y --= (2) 50x y --=或50x y -+=.
【解析】 【分析】
(1)由题意可得()10f =，切线的斜率为()12k f ='=，据此可得切线方程为
220x y --=.
(2)设与直线53y x =+平行的切线的切点为()00,x y ，由导函数与切线的关系可得
0x =50x y --=或50x y -+=.
【详解】
(1)∵()3
f x x x =-，∴()10f =，求导数得()2
31f x x ='-，
∴切线的斜率为()12k f ='=，
∴所求切线方程为()21y x =-，即220x y --=. (2)设与直线53y x =+平行的切线的切点为()00,x y ， 则切线的斜率为()2
0031k f x x ==-'.
又∵所求切线与直线53y x =+平行，∴2
0315x -=，
解得0x =()3
f x x x =-得切点为
或(，
∴
所求切线方程为5(y x -=-或5(y x +=+，
即50x y --=或50x y -+=. 【点睛】
本题主要考查导函数研究函数的切线方程及其应用，导数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 24．（Ⅰ）y x =（Ⅱ）12
k ≤ 【分析】
（1）利用导数求得斜率，再求得切点坐标，由此求得切线方程.（II ）将原不等式分离常数得21ln 2k x x x <-+，构造函数21ln 2y x x x =-+，利用导数求得1
2
y >，由此求得k 的取值范围. 【详解】
解：（Ⅰ）()2
ln f x x x x =-的导数为()()'2ln 1f x x x =-+，
可得切线的斜率为1，切点为()1,1， 切线方程为11y x -=-，即y x =；
（Ⅱ）若
()02f x k x x x
+-<在()1,+∞上恒成立， 可得2
1ln 2
k x x x <-+在()1,+∞上恒成立， 令2
1ln 2
y x x x =-+
，则'ln 1y x x =--+， 1
''10y x
=-+>，可得'y 在()1,+∞上单调递增，
则'ln1110y >--+=，
可得y 在()1,+∞上单调递增， 则12
y >， 则12k ≤
． 【点睛】
本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题. 25．（1）()()0,,4∞∞+⋃--；（2）20,11⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
()1求出函数的导数，曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，等价于关于x 的方程
()'0f x =有2个不相等的实数根，利用判别式小于零得到关于a 的不等式，解出即可；()2 当[]11,3x ∈-，[]01,3x ∈-时，不等式()()10x g x ϕ≥恒成立等价于
()()min max x g x ϕ≥，根据函数的单调性求出函数的最值，得到关于a 的不等式，解出即
可． 【详解】
()1若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线， 则关于x 的方程()'0f x =有2个不相等的实数根，
又()2
'24f x x ax a =+-，
即方程2240x ax a +-=有2个不相等的实数根， 故2
(2)160a a =+>，解得：0a >或4a ，
故实数a 的范围是()()0,,4+∞⋃-∞-；
()2当[]11,3x ∈-，[]01,3x ∈-时，不等式()()10x g x ϕ≥恒成立，
即()()min max x g x ϕ≥，
又函数()x ϕ在[]1,3-递增，则函数()()12min x a ϕϕ=-=-， 且函数()2
(2)g x a x a =-+，[]
13,x ∈-，
()32g a =,() 110g a -=, 0a >
所以函数()10max g x a =， 则有210a a -≥，即2
011
a <≤， 故a 的范围是20,.11⎛⎤
⎥⎝⎦
【点睛】
本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，最值问题，考查了转化思想，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题（1）将切线问题转化为方程有根问题是解题的关键.
26．（1）10x y +-=； （2
）9,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 【解析】 【分析】
（1）代入a 的值，求出函数的导数，求出切线斜率，从而求出切线方程即可；
（2）问题转化为a ≤2112x e x x -
-，令h （x ）＝211
2
x e x x
--，求出函数的导数判断函数的单调性，求出a 的范围即可． 【详解】
（1)当2a =时，()()2,2x
x
f x e x f x e '=-=-，则函数()f x 在点()()
0,0f 处的切线
的斜率为()01f '=-.又()01f =，故函数()f x 在点()()
0,0f 处的切线方程为
()110,y x -=-⨯-即10x y +-=.
（2）由()()f x g x ≥可得2112x
e ax x -≥
+，即21
12
x ax e x ≤--. 因为12
x ≥，所以21
1
2x e x a x
--≤. 令()2112x e x h x x --=，则()()22
111
2x e x x h x x --+'=
. 令()()21112
x
x e x x ϕ=--+则()()1x x x e ϕ'=-（8分）
因为1
2
x ≥，所以()0x ϕ'>，
所以()x φ在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则()1924h x h ⎛⎫
≥= ⎪⎝⎭
，
所以9
4
a ≤，
即实数a 的取值范围9,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 【点睛】
本题考查了求切线方程的问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．。