完整word版2初一数学寒假专题2分类讨论

初中数学思想和解题方法专题
一、学习指引
1．知要点：
数形合思想；分思想；化化思想；方程思想
2．方法指引：
（2）分法：在数学中，我常常需要依照研究象性的差异，分各种不一样样状况予以
考．种分思虑的方法是一种重要的数学思想方法，同也是一种解策略．分是依照数学
象的相同点和差异点，将数学象区分不一样样种的思想方法，掌握分的方法，会其，
于加深基知的理解．提高剖析、解决的能力是十分重要的．正确的分必是周祥的，既
不重复、也不漏．
分的原：（ 1）分中的每一部分是互相独立的；（ 2）一次分按一个准；（ 3）分
逐行．
二、分
授课：
一、情境引入
1、一桌子有四只角，砍掉一只角后，剩几个角？
上，砍去一只角后可能出多种状况，我需分，列出各种状况，再决定弃取.
2、人清点票平时先将票分，把相同面的票放在一起；商里的商品也是分放；
同学交作也是分学科上交⋯⋯
教介分思想：当我所要研究的果有多种状况，而不能够够到同一种模式下的候，必按可能出的所有状况来分，得出在各种状况下相的，最后将各种行，
种理的方法就是分思想 .分是研究的常用方法，通分，能够使复的得了然，易于解决 .
二、典例解
1、与有理数集相关的分
例 1 将以下各数填入相的会集内：－ 3 ， 7．2 ，－5
，0 ， 0． 02，－ 1， 10 ，－ 0 ． 5 6
分数会集：｛⋯｝，
非的整数会集：｛⋯｝．
点：分数会集注意包括正分数和分数，部分学生易只填正分数而忽略了分数。

非的整数会集体
了两种分准的重叠，既要足符号的非性，又要足整数的要求。

所以填0， 10 例 2 算( 26) ( 14) ( 18) ( 16)
解：原式 = ( 26) ( 18) ( 14) ( 16)
=44 ( 30) 14
点拨：此题是依照各个加数的特点，分成正数和负数，把正数和正数相加，把负数和负数相加，使计
算更简单 .
例 3 一个数的平方与它的绝对值比较较，能够确定它们之间的大小关系吗？
剖析：我们知道，对于范围在0 到 1 之间的小数而言，这些数的平方是小于、等于数字自己的；而对于大
于1 的数，它们的平方是大于这些数自己的．由于题目中所给数的范围没有明确出来，所以我们无法确定
这个数的平方与它的绝对值（我们能够看做是这个数的正当）的大小，所以需要分状况进行议论．亦可辅
助数轴进行议论 .
解：分类的思想是先议论特别点，再议论其他的范围．
不如设这个数为 a .
（ 1）当 a=±1 或 a=0 时，此时│a│＝ 1 或 0 时，有 a 2=│a │；
（ 2）当 a ＞ 1 或 a ＜－ 1 时，此时│a │＞ 1，有 a 2＞│a│；
（3）当－ 1 ＜ a＜ 0 或 0＜ a＜1 时，此时 0 ＜│a│＜ 1，有 a 2＜│a │.
议论：利用分类议论思想，再借助于数轴，就可以是取值范围不重不漏．
2、与数轴相关的分类议论.
数轴上的点到原点的距离是非负的，但地址可能在原点的左侧或右侧，所以涉及到与距离相关的题目
时应注意分类议论。

例 1 点 A 在数轴上距原点 2 个单位，将 A 点向右搬动 5 个单位长度，再向左搬动7 个单位长度，此时 A 点表示的数是.
点拨：点 A 可能在原点的右侧，也有可能在原点的左侧，所以有两种状况，应填0， 4 两个数 . 部分学生常常只考虑点 A 在原点右侧的一种状况，忽略另一种状况，原因是没有分类议论的思想，或不习惯分类讨
论.
例 2. A 为数轴上表示– 1 的点 , 将点 A 沿数轴平移 3 个单位到点 B, 则点 B 所表示
的数为 ( )
或-4
3、与绝对值相关的分类议论.
应用绝对值的代数意义去掉绝对值符号时，若是不知道绝对值内的式子（或数）的符号，必定要进行
分类议论。

例 1 绝对值不大于10 的整数有个.
点拨：整数包括正整数、零、负整数，不大于10 是指小于等于10，除了从 0 到 10 共 11 个整数的绝对值不大于 10 外，从10到1共10个整数的绝对值也不大于10，所以从10到10的所有整数都切合要求，正确答案应是21.部分学生只考虑正整数、零，而忘记负整数，所以答案错误，究其原因仍是不具备分类讨
论的思想，考虑问题不全面.
a b c 例 2 若是a、b、c是非零有理数，求
b 的值
a c
点拨：要去掉绝对值符号，需要对a,b,c的符号分别进行议论：当a,b,c全为正数时等于3；当 a,b,c两正
一负时（包括三种状况）等于1；当a,b,c 两负一正时（包括三种状况）等于﹣1；当a,b,c 全为负数时等于﹣ 3，所以正确答案是﹣1，1，﹣ 3，3. 一些学生简单忽略对a,b,c 进行议论或议论部全面.
例3 |a| ＝ 5， |b|=3, 求 a+b 的值
剖析：由绝对值的意义得知，a=5 或 -5 ，b=3 或 -3 ，所以a+b 的值对应由四种状况.
（ 1）当a=5， b=3 时， a+b=8；（ 2）当a=-5 ，b=3 时， a+b=-2 ；
（3）当 a=5， b=-3 时， a+b=2；（4）当a=-5，b=-3时，a+b=-8；
所以 a+b 的值为 8， -8 ，2 或 -2.
点拨：当被研究的问题包括多种可能状况，不能够够混作一谈时，就要按可能出现的所有状况分别进行议论，
得出相应的结论，特别注意议论所分的各种状况要不重不漏，不互相矛盾.
例4 解方程：|x-1|=2
剖析： ( 注意：绝对值为 2 的数有 2个 )
练习
1、解绝对值方程|x+5|+2=5
2、已知x 4, y 1 ，且 xy 0 ，则x
的值等于_____.
4 y
3、已知 | x | 3,| y | 2,且 xy 0,则x y _______.
4、已知a、b互为相反数，且ab 0,m, n互为倒数， s的绝对值为 3，求a
mn
s的
值b
5、已知 a、b 互为相反数， c、 d 互为倒数， x 的平方是 4，求x2 (a b cd )x ( a b) 2008 ( cd ) 2009
6、已知：x 3, y 7 ，求x y的值=___________。

7、已知a为有理数且a 0，则2 a
+=________ a
变式 1、、已知a、b均为不等于
a b ab
；
0 的有理数，则代数式
b
的值为
a ab
a 2
b ab
变式 2、求代数式a
b
ab
的值为 ___________
变式 3、若abc 0,a
2b 3c 的所有可能值是 __________ a b c
点拨：合理分类是解决这类题的要点例 5 计算： x 1 3 x 。

思想指导因无法知道x 的大小而不能够够去掉绝对值的符号，所
以，在这里借助各绝对值为零的“零值点”来
进行分段议论，以达到去掉绝对值符号的目的。

解：当 x 1 0 ， 3 x 0 时， x 1， x 3 。

在数轴上表示 -1 和 3 的点把数轴分为了三段二点，所以，
⑴当 x ＜-1 时，原式 =-( x +1)+(3- x )=- x -1+3- x =-2 x +2；
⑵当 -1 ≤x＜ 3 时，原式 = x +1+3- x =4；
⑶当 x ≥3时，原式= x +1-（3- x ）= x +1-3+ x =2 x -2。

注对于含有绝对值的算式的计算、化简等，都必定取各个绝对值为零时的“零值点”，把数轴分成几
个部分，对每一部分的取值进行分类计算、化简，求得在各部分的值或算式。

4、与乘方相关的分类议论.
在研究有理数的乘方时，指引学生依照正数，零和负数的分类进行议论。

负有理数乘方的符号则需从
偶次方和奇次方来考虑.
例7 若是a 2 (3) 2，则a .
剖析：由于正、负数的偶次幂都是正数，且互为相反数的两数的相同偶次幂相等，所以遇到幂的指数
是偶数，要考虑终究数可能是两种状况.由于等式左侧等于9，右侧也应是9，而329 ， ( 3)29 ，所以应填 3 ， 3 .若两种状况只考虑到一种，缺乏的仍是分类议论思想.
5、与几何相关的分类议论
几何是一门以图形为其研究对象的学科，它主要研究图形的形状、大小及地址关系，分类议论思想在几
何中的应用特别广泛。

在几何计数问题中,如数线段或角,也常用分类议论的方法。

依照各部分可否在同一平
面内将几何图形分为立体图形和平面图形，使学生接触了几何图形的分类，拓展了学生对几何图形的认识。

直线的地址不确定惹起的分类议论
例 1 平面内有三条直线,它们可能有几个交点?
剖析 :此题是一道分类议论题 , 在解答中应先确定地址关系 , 再找交点个数①当 a∥ b∥ c 时没有交点 ; ②当 a、b、c 交于同一点时 , 有一个交点 ; ③当其中的两条直线平行时 , 有两个交点 ; ⑧当三条直线两两订交时 , 有三个交点 . 故友点个数可能为 : 零个 , 一个 , 两个 , 三个 .
线段及端点地址的不确定性惹起分类议论。

例2 已知直线 AB 上一点 C，且有 CA=3AB ，则线段 CA 与线段 CB 之比为 _3：2_或_3：4____。

C1 A B C2
练习：已知 A、B、C三点在同一条直线上，且线段 AB=7cm，点 M为线段 AB的中点，线段
BC=3cm，点 N 为线段 BC的中点，求线段 MN的长 .
剖析： (1) 点 C 在线段 AB上：(2) 点 C 在线段AB的延长线上
A M C N
B A M B N C
例 3 以下说法正确的选项是（）
A 、两条线段订交有且只有一个交点。

B、若是线段 AB=AC 那么点 A 是 BC 的中点。

B、两条射线不平行就订交。

D、不在同素来线上的三条线段两两订交必有三个交点。

角的一边不确定性惹起议论。

例4 在同一平面上，∠ AOB=70°，∠ BOC=30°，射线 OM均分∠ AOB，ON均分∠ BOC，求∠MON
的大小。

（20°或 50°）
B N
C
M
B N
C M
A
O A O
[ 练习 ] 已知AOB 60o,过O作一条射
线OC，射线 OE均
分
AOC ，射线OD均
分
BOC ，求DOE
的大小。

（ 1）射线OC
在AOB 内（ 2）射线OC
在
AOB 外
A E
E
C A
D
C
D
B B
O O
o
这两种状况下，都有DOE=AOB60
30o 2 2
小结：（对分类议论结论的反思）——为什么结论相同？诚然AOC 的大小不确定，但是所求的DOE 与 AOC 的大小没关。

我们诚然分了两类，但是结果是相同的！这也表现了分类议论
的最后一个环节——总结的重要性。

练习：
1、若是 A 、B、C 在同一条直线上，线段
A、 8 cm
B、 4 cm
C、 8cm 或
AB=6 cm ，BC=2 cm，则 A 、C
4cm D、无法确定
两点间的距离是（）
变式 1：若是在同一条直线上依次截取 A 、B、C，线段 AB=6 cm ，BC=2 cm，则 A 、C 两点间
的距离是（变式 2、线段A、 8 cm
）
AB=6 cm ，BC=2 cm，则 A 、C
B、 4 cm
C、 8cm 或 4cm
两点间的距离是
（D、无法确定
）
2、已知A、B、C 三点共线，线段AB=60， M 为其中点，线段BC=28 ， N 为其中点，求MN 的长。

(2)若是设AB=a ， BC=b ，表示出 MN 的长
3、已知线段AB=10cm, 直线 AB 上有一点C,且 BC=4cm,M 是线段 AC 的中点，求AM 的长。