不等式练习及应1

不等式练习及应用
教学目的：
1、 使学生熟练掌握不等式的证明，并可以用来解答相关的不等
式的应用问题。

2、 引导学生把实际问题抽象成数学问题，培养学生分析问题、
解决问题的能力。

3、 通过不等式应用问题的教学，找出不足，激发兴趣。

教学重、难点
重点：不等式的应用
难点：实际问题的数学抽象化。

教学过程：
一、 练习（主要是回顾和复习所学过的不等式的证明方法）。

例题1、,1,,,2=++∈c b a R c b a 且求证：
（1）abc ；c b a 8)1)(1)(1(≥---
（2）8)11)(11)(11(≥---c b a
提示：注意“1”的替换技巧；同时这是一个轮换对称式，因此公式的使用是在所当然的。

例题2、)(2))((:,,11+++++≤++∈∈n n n n b a b a b a ，N n R b ，a 求证且已知
提示：用比较法证明。

例题3、已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，求证：ca bc ab c b a 222222++≤++
提示：利用三角形边之间的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

二、 应用。

例题4、建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积比就不小于10%，并且比这个越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是就好了还是变坏了？
解：设原住宅窗户面积和地板面积分另为x 和y ，同时增加的面积为a ，由题设知y ≤10x ，原采光面积比为y x ，增大面积后的采光面积比为a
y a x ++，为比较采光比的大小，由)()(a y y x y a y x a y a x +-=-++，因为x 、y 、a 都是正数，且x<y ，所以y+a>0，y-x>0， 所以
0)()(>+-x y y x y a ，即y x a y a x >++
故采光条件就好了。

例题5、某城市出租车有两种计费方案供乘客选择：第一种方案，租用起步价a 元，每千米价为b 元的出租车；第二种方案，起步价为c(c<a)元，但每千米增加0.1元的出租车。

按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的，则第六客应如何根据不同情况选用两种方案中的一种？
分析：设起步价内行驶里程为n 千米，乘客租车行驶m 千米。

显然，在起步价里程内的路程，即m ≤n 时，显然选择第二种方案； 但如果行驶里程超过起步价的里程，则应该如何选择呢？
让学生自己去考虑。

三、 练习及作业；
练习1、某单位组织职工去某地参观学习需包车前往。

甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受半票优惠”；乙车队说：“你们属团体票，按原票价的32优惠”。

这两个车队的原价、车型是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠。

练习二：如图所示，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下
边缘分别在学生的水平视线上方a 米和b 米，问学生距墙壁多远时看黑板的视角最大？
提示：设学生P 距离黑板x 米，黑板的上下边缘与学生的水平
视线PH 的夹角分别为βα=∠=∠BPH APH ,，其中α>β,则学生看到黑板的视角为α-β,由
βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan ,tan +-=-==，，x b x a 由此可得=x ab x b a x ab x b x a +-=+-21，
…………。