高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算课件北师大版选修210831266
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温馨提示求点A到直线l的距离d,要过该点A引直线l的垂线(chuí
xiàn)段AA',再在直线l上取垂足A'以外的任一点P和直线l的方向向
量s,构造出Rt△PA'A,计算
,利用勾股定理,求出点A到
||和|·
s0|
直线l的距离d.
第四页，共37页。
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
【做一做1】 把边长为a的等边三角形ABC沿高线AD折成60°的二
30
a.
6
第十三页，共37页。
=
30
a,
6
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
反思感悟用向量法求点 A 到直线 l 的距离 d,当 A∈l 时,d=0;当 A∉l
时,利用公式 d= |PA|2 -|PA·0 |2 求解,其中 P∈l,s0 是 l 的单位向量.
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解:如图,建立空间直角坐标系A-xyz,
则 A(0,0,0),P(0,0,3),D(0,3,0),E
= -
6
,0,3
2
, =
6
,3,0
2
6
,0,0
2
6
+ 3 = 0,
2
即
令
6
+ 3 = 0.
2
3 3
又 = 0, ,- ,
1 · = 0,
由
得
(-2) × + 0 × + 2 × = 0,
1 · = 0,
4 + = 0,
即
-2 + 2 = 0.
令 z=1,则 n1=
1
1,- ,1
4
.
又1 =(0,0,3),
|1 ·1|
=
|1 |
∴点 C 到平面 AEC1F 的距离为 d=
第二十页，共37页。
到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(1)求BF的长;
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
思维点拨:由于DA,DC,DF两两互相垂直,故可考虑建立空间直角坐标系,
利用向量法求解.
第十八页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解:依题意,以D为原点,DA,DC,DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如
图所示的空间直角坐标系D-xyz.
则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).
(1)设F(0,0,z).易知截面AEC1F为平行四边形,
∴由 = 1 ,得(-2,0,z)=(-2,0,2).
∴z=2.∴F(0,0,2),∴ =(-2,-4,2).
长度.
而向量在 n 上的投影的大小|·n0|等于线段 AA'的长度,所以点 A
到平面 π 的距离 d=|·n0|.
第六页，共37页。
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
2.空间一点A到平面π的距离的算法(suàn fǎ)框图:
温馨提示(tíshì)求平面π外一点A到平面π的距离d,利用平面π外的一点A与
0,,
2
,
∴' = 0,,- 2 , = 0,, 2 .
设平面 A'EFD'的一个法向量为 n=(x,y,z),
则 n·' =0,n·'' =0,即
1
-
2
= 0,
= 0.
1
不妨令 z=1,则 n= 0, ,1 .
2
|·|
2 5
=
a.
||
5
2 5
A'EFD'的距离为 a.
A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),D(0,0,0),
∴1 =(0,1,-1),1 =(-1,0,-1),1 1 =(-1,0,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
·1 = 0,
- = 0,
则
∴
-- = 0.
·1 = 0,
§2.6 距离(jùlí)的计算
第一页，共37页。
学 习 目 标
思
1.理解点到直线的距离、
点到平面的距离的概念.
2.掌握点到直线的距离公
式、点到平面的距离公式,
并能求点到直线的距离、
点到平面的距离.
3.能将平面与平面间的距
离化为点到平面或点到直
线的距离来解决.
4.通过转化,会利用空间向
量解决距离问题,从而培
解:以D为坐标原点建立空间直角坐标系,
如图所示.
第二十五页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
三
探究(tànjiū)
二
思维辨析
∵=(a,0,0),''=(a,0,0).
∴DA∥D'A'.
∵D'A'⫋平面A'EFD'.
∴AD∥平面A'EFD'.
又 ∵D'(0,0,a),F
而向量在 s 上的投影的大小|·s0|等于线段 PA'的长度,所以根据
勾股定理有点 A 到直线 l 的距离 d= ||2 -|·0 |2 .
第三页，共37页。
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
3.空间一点A到直线l的距离的算法(suàn fǎ)框图:
4.平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离.
∴| |=2 6,即 BF 的长为 2 6.
第十九页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
(2)设n1=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,
又 =(0,4,1), =(-2,0,2).
0 × + 4 × + 1 × = 0,
3
1
1+16
+1
=
4 33
.
11
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
反思感悟用向量法求点到平面距离的方法与步骤
第二十一页，共37页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
|·|
也可以写成
||
其中 d=
思维辨析
d=|·n0|,其中 n0 为 n 的单位向量.
标系,利用向量法求解.
第十二页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解:依题意,以D为原点,DA,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立
如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),M(0,0,a),F(0,a,a),
2
+
2
=
13
,
5
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
(方法二)分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建系,则
P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),
∴ =(3,0,-1), =(-3,4,0),
· 9
∴
=- ,
5
||
3.求两平行平面间的距离可转化(zhuǎnhuà)为求点到平面的距离,即面面距
线面距
点面距.
第九页，共37页。
一
三
二
思考
(sīkǎo)辨
析
【做一做3】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平行(píngxíng)平
面A1BD与平面B1CD1间的距离是
.
解析:以D为原点,建立如图所示的空间(kōngjiān)直角坐标系,则
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)线面距离、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方
法进行求解. (
)
(2)点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发
(chūfā)的斜线段对应的向量的数量积.
(
)
×
(3)当 = + + 时,求 P,A 两点之间的距离,常常先计算
5
第二十六页，共37页。
∴ 在 n 上的投影的大小为 d=
第十四页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
变式训练1如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知
AB=3,AD=4,PA=1,求点P到直线BD的距离.
第十五页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解:(方法一)如图,作AH⊥BD,垂足为H,连接PH.
∵PA⊥平面ABCD,
∴AH为PH在平面ABCD上的投影,
由三垂线定理得PH⊥BD,
∴PH即为点P到BD的距离.
在 Rt△ABD 中,得
12
AH= ,
5
在 Rt△PAH 中,由勾股定理得 PH=
∴点 P 到
13
BD 的距离为 .
5
第十六页，共37页。
2 =( + + )2,再求||. (
)
第十一页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
求点到直线的距离
【例1】已知四边形ABCD,EADM和MDCF都是边长为a的正方形,如图
所示,点Q是AC的中点,求点M到FQ的距离.
思维点拨:由于MD,DA,DC两两互相垂直,故可考虑建立空间直角坐
由中点坐标公式得 Q , ,0 ,
2 2
∴=(0,-a,0), = 2 ,- 2 ,- .
2
6
∴ · = 2 ,||= 2 a.
设点 M 到 FQ 的距离为 d,
2
则 d= | | -
·
||
2
=
2 -
即点 M 到直线 FQ 的距离为
2
2
2
6
2
养准确无误的运算能力.
维
第二页，共37页。
脉
络
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
一、 点到直线的距离
1.因为直线和直线外一点确定(quèdìng)一个平面,所以空间点到直线的
距离问题就是空间中某一平面内的点到直线的距离问题.
2.设l是过点P平行于向量s的直线,A是直线l外一定点.如图,作AA'⊥l,垂
足为A',则点A到直线l的距离d等于线段AA'的长度,
2 2
故点 F 到平面 PCE
,C( 6,3,0),
.
设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z),则
-
3 3
2 2
,F 0, ,
· = 0,
· = 0,
y=-1,得 n=( 6,-1,1).
3
-3
22
|·|
的距离为 d=
=
||
2 2
第二十四页，共37页。
=
3 2
.
4
探究
(tànjiū)一
令 z=1,得 y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1).
∴点 D1 到平面 A1BD 的距离 d=
1 1 ·
||
=
1
3
=
3
.∵平面
3
与平面 B1CD1 间的距离等于点 D1 到平面 A1BD 的距离,
∴平面 A1BD 与平面
答案:
3
3
3
B1CD1 间的距离为 .
3
第十页，共37页。
A1BD
第二十二页，共37页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是
矩形,E,F分别是AB,PD的中点,若PA=AD=3,CD=
的距离.
第二十三页，共37页。
.求点F到平面PCE
6
探究(tànjiū)
2
点 P 到 BD 的距离 d= | | -
·
||
13
∴点 P 到 BD 的距离为 5 .
第十七页，共37页。
2
=
10-
-9
5
2
=
13
.
5
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
求点到平面的距离
【例2】如图,多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得
平面π内异于点A的投影的任一点P,找出斜线段PA面π的距离d.
第七页，共37页。
二
一
三
思考
(sīkǎo)辨
析
【做一做2】 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则
点A1到平面(píngmiàn)MBD的距离为 (
)
A.
6
a
3
B.
3
a
6
C.
3
a
4
答案(dá àn):D
第八页，共37页。
6
D. a
6
一
二
三
思考
(sīkǎo)辨
析
三、线面距离与面面距离
1.求直线与平面间的距离时,往往转化(zhuǎnhuà)为点到平面的距离求解,
且这个点要适当选取,以易于求解为准则.
2.在求点到平面的距离时,有时用直线到平面的距离进行过渡.
面角,则点A到BC的距离(jùlí)是(
)
A.a
B.
6
a
2
C.
3
a
3
答案(dá àn):D
第五页，共37页。
D.
15
a
4
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
二、点到平面(píngmiàn)的距离
1.如图,设π是过点P垂直于向量n的平面(píngmiàn),A是平面(píngmiàn)π外
一定点.作AA'⊥π,垂足为A',则点A到平面(píngmiàn)π的距离d等于线段AA'的
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
求直线到平面、平面到平面的距离
xiàn)段AA',再在直线l上取垂足A'以外的任一点P和直线l的方向向
量s,构造出Rt△PA'A,计算
,利用勾股定理,求出点A到
||和|·
s0|
直线l的距离d.
第四页，共37页。
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
【做一做1】 把边长为a的等边三角形ABC沿高线AD折成60°的二
30
a.
6
第十三页，共37页。
=
30
a,
6
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
反思感悟用向量法求点 A 到直线 l 的距离 d,当 A∈l 时,d=0;当 A∉l
时,利用公式 d= |PA|2 -|PA·0 |2 求解,其中 P∈l,s0 是 l 的单位向量.
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解:如图,建立空间直角坐标系A-xyz,
则 A(0,0,0),P(0,0,3),D(0,3,0),E
= -
6
,0,3
2
, =
6
,3,0
2
6
,0,0
2
6
+ 3 = 0,
2
即
令
6
+ 3 = 0.
2
3 3
又 = 0, ,- ,
1 · = 0,
由
得
(-2) × + 0 × + 2 × = 0,
1 · = 0,
4 + = 0,
即
-2 + 2 = 0.
令 z=1,则 n1=
1
1,- ,1
4
.
又1 =(0,0,3),
|1 ·1|
=
|1 |
∴点 C 到平面 AEC1F 的距离为 d=
第二十页，共37页。
到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(1)求BF的长;
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
思维点拨:由于DA,DC,DF两两互相垂直,故可考虑建立空间直角坐标系,
利用向量法求解.
第十八页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解:依题意,以D为原点,DA,DC,DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如
图所示的空间直角坐标系D-xyz.
则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).
(1)设F(0,0,z).易知截面AEC1F为平行四边形,
∴由 = 1 ,得(-2,0,z)=(-2,0,2).
∴z=2.∴F(0,0,2),∴ =(-2,-4,2).
长度.
而向量在 n 上的投影的大小|·n0|等于线段 AA'的长度,所以点 A
到平面 π 的距离 d=|·n0|.
第六页，共37页。
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
2.空间一点A到平面π的距离的算法(suàn fǎ)框图:
温馨提示(tíshì)求平面π外一点A到平面π的距离d,利用平面π外的一点A与
0,,
2
,
∴' = 0,,- 2 , = 0,, 2 .
设平面 A'EFD'的一个法向量为 n=(x,y,z),
则 n·' =0,n·'' =0,即
1
-
2
= 0,
= 0.
1
不妨令 z=1,则 n= 0, ,1 .
2
|·|
2 5
=
a.
||
5
2 5
A'EFD'的距离为 a.
A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),D(0,0,0),
∴1 =(0,1,-1),1 =(-1,0,-1),1 1 =(-1,0,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
·1 = 0,
- = 0,
则
∴
-- = 0.
·1 = 0,
§2.6 距离(jùlí)的计算
第一页，共37页。
学 习 目 标
思
1.理解点到直线的距离、
点到平面的距离的概念.
2.掌握点到直线的距离公
式、点到平面的距离公式,
并能求点到直线的距离、
点到平面的距离.
3.能将平面与平面间的距
离化为点到平面或点到直
线的距离来解决.
4.通过转化,会利用空间向
量解决距离问题,从而培
解:以D为坐标原点建立空间直角坐标系,
如图所示.
第二十五页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
三
探究(tànjiū)
二
思维辨析
∵=(a,0,0),''=(a,0,0).
∴DA∥D'A'.
∵D'A'⫋平面A'EFD'.
∴AD∥平面A'EFD'.
又 ∵D'(0,0,a),F
而向量在 s 上的投影的大小|·s0|等于线段 PA'的长度,所以根据
勾股定理有点 A 到直线 l 的距离 d= ||2 -|·0 |2 .
第三页，共37页。
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
3.空间一点A到直线l的距离的算法(suàn fǎ)框图:
4.平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离.
∴| |=2 6,即 BF 的长为 2 6.
第十九页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
(2)设n1=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,
又 =(0,4,1), =(-2,0,2).
0 × + 4 × + 1 × = 0,
3
1
1+16
+1
=
4 33
.
11
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
反思感悟用向量法求点到平面距离的方法与步骤
第二十一页，共37页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
|·|
也可以写成
||
其中 d=
思维辨析
d=|·n0|,其中 n0 为 n 的单位向量.
标系,利用向量法求解.
第十二页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解:依题意,以D为原点,DA,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立
如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),M(0,0,a),F(0,a,a),
2
+
2
=
13
,
5
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
(方法二)分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建系,则
P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),
∴ =(3,0,-1), =(-3,4,0),
· 9
∴
=- ,
5
||
3.求两平行平面间的距离可转化(zhuǎnhuà)为求点到平面的距离,即面面距
线面距
点面距.
第九页，共37页。
一
三
二
思考
(sīkǎo)辨
析
【做一做3】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平行(píngxíng)平
面A1BD与平面B1CD1间的距离是
.
解析:以D为原点,建立如图所示的空间(kōngjiān)直角坐标系,则
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)线面距离、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方
法进行求解. (
)
(2)点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发
(chūfā)的斜线段对应的向量的数量积.
(
)
×
(3)当 = + + 时,求 P,A 两点之间的距离,常常先计算
5
第二十六页，共37页。
∴ 在 n 上的投影的大小为 d=
第十四页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
变式训练1如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知
AB=3,AD=4,PA=1,求点P到直线BD的距离.
第十五页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解:(方法一)如图,作AH⊥BD,垂足为H,连接PH.
∵PA⊥平面ABCD,
∴AH为PH在平面ABCD上的投影,
由三垂线定理得PH⊥BD,
∴PH即为点P到BD的距离.
在 Rt△ABD 中,得
12
AH= ,
5
在 Rt△PAH 中,由勾股定理得 PH=
∴点 P 到
13
BD 的距离为 .
5
第十六页，共37页。
2 =( + + )2,再求||. (
)
第十一页，共37页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
求点到直线的距离
【例1】已知四边形ABCD,EADM和MDCF都是边长为a的正方形,如图
所示,点Q是AC的中点,求点M到FQ的距离.
思维点拨:由于MD,DA,DC两两互相垂直,故可考虑建立空间直角坐
由中点坐标公式得 Q , ,0 ,
2 2
∴=(0,-a,0), = 2 ,- 2 ,- .
2
6
∴ · = 2 ,||= 2 a.
设点 M 到 FQ 的距离为 d,
2
则 d= | | -
·
||
2
=
2 -
即点 M 到直线 FQ 的距离为
2
2
2
6
2
养准确无误的运算能力.
维
第二页，共37页。
脉
络
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
一、 点到直线的距离
1.因为直线和直线外一点确定(quèdìng)一个平面,所以空间点到直线的
距离问题就是空间中某一平面内的点到直线的距离问题.
2.设l是过点P平行于向量s的直线,A是直线l外一定点.如图,作AA'⊥l,垂
足为A',则点A到直线l的距离d等于线段AA'的长度,
2 2
故点 F 到平面 PCE
,C( 6,3,0),
.
设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z),则
-
3 3
2 2
,F 0, ,
· = 0,
· = 0,
y=-1,得 n=( 6,-1,1).
3
-3
22
|·|
的距离为 d=
=
||
2 2
第二十四页，共37页。
=
3 2
.
4
探究
(tànjiū)一
令 z=1,得 y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1).
∴点 D1 到平面 A1BD 的距离 d=
1 1 ·
||
=
1
3
=
3
.∵平面
3
与平面 B1CD1 间的距离等于点 D1 到平面 A1BD 的距离,
∴平面 A1BD 与平面
答案:
3
3
3
B1CD1 间的距离为 .
3
第十页，共37页。
A1BD
第二十二页，共37页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是
矩形,E,F分别是AB,PD的中点,若PA=AD=3,CD=
的距离.
第二十三页，共37页。
.求点F到平面PCE
6
探究(tànjiū)
2
点 P 到 BD 的距离 d= | | -
·
||
13
∴点 P 到 BD 的距离为 5 .
第十七页，共37页。
2
=
10-
-9
5
2
=
13
.
5
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
求点到平面的距离
【例2】如图,多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得
平面π内异于点A的投影的任一点P,找出斜线段PA面π的距离d.
第七页，共37页。
二
一
三
思考
(sīkǎo)辨
析
【做一做2】 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则
点A1到平面(píngmiàn)MBD的距离为 (
)
A.
6
a
3
B.
3
a
6
C.
3
a
4
答案(dá àn):D
第八页，共37页。
6
D. a
6
一
二
三
思考
(sīkǎo)辨
析
三、线面距离与面面距离
1.求直线与平面间的距离时,往往转化(zhuǎnhuà)为点到平面的距离求解,
且这个点要适当选取,以易于求解为准则.
2.在求点到平面的距离时,有时用直线到平面的距离进行过渡.
面角,则点A到BC的距离(jùlí)是(
)
A.a
B.
6
a
2
C.
3
a
3
答案(dá àn):D
第五页，共37页。
D.
15
a
4
一
二
三
思考(sīkǎo)
辨析
二、点到平面(píngmiàn)的距离
1.如图,设π是过点P垂直于向量n的平面(píngmiàn),A是平面(píngmiàn)π外
一定点.作AA'⊥π,垂足为A',则点A到平面(píngmiàn)π的距离d等于线段AA'的
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
求直线到平面、平面到平面的距离