旅顺口区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

旅顺口区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知=（2，﹣3，1），
=（4，2，x ），且
⊥，则实数x 的值是（
）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣
D ．
2．已知全集，，，则有（
）
U R {|2
3
9}x
A x {|02}
B y y A ．
B ．
C ．
D ．
A ?
B A
B B
()
R A B e ()
R A B R
e 3．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（）
A ．p 真q 真
B ．p 假q 真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 假
4．（2011辽宁）设sin （+θ）=，则sin2θ=（
）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
5．已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图
如下，则它的左（侧）视图是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．6．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（）
A ．y=x+1
B ．y=﹣x 2
C ．
D ．y=﹣x|x|
7．已知集合（
）
2
|5,x |y x 3,A
y y x
B A B A ．
B ．
C ．
D ．
1,
1,33,5
3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．8．设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象
2
()
1f x x
(,())x f x ()g x ()cos y g x x 可以为（
）
A ．
B ． C. D ．
9．独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系．则在H 0成立的情况下，估算概率
P （K 2≥6.635）
≈0.01表示的意义是（
）
A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%
B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%
C ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%
D ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%
10．下列给出的几个关系中：①；②；③；
,a b ,,a b a b ,,a b b a ④,正确的有（
）个0A.个
B.个
C.个
D.个
11．函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（）
A ．（0，）
B ．（
，1）C ．（1，2）D ．（2，3）
12．（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A ．（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）
C ．
D ．
二、填空题
13．不等式
恒成立，则实数的值是
__________.
2
110ax
a x 14．已知函数的一条对称轴方程为，则函数
的最大值为
2
1()sin cos sin 2
f x a x x
x
6
x
()f x （
）
A ．1
B ．±1
C ．
D ．22
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
15．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n
的最小值是 ．
16．已知
[2,2]a ，不等式2
(4)420x
a x a 恒成立，则的取值范围为
__________.
17．下列说法中，正确的是 ．（填序号）
①若集合A={x|kx 2
+4x+4=0}中只有一个元素，则
k=1；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x
的图象关于y 轴对称；
③y=（
）﹣x
是增函数；
④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）?f （﹣x ）≤0．　
18．函数y=lgx 的定义域为 ．　
三、解答题
19．己知函数f （x ）=lnx ﹣ax+1（a ＞0）．（1）试探究函数
f （x ）的零点个数；
（2）若f （x ）的图象与x 轴交于A （x 1，0）B （x 2，0）（x 1＜x 2）两点，AB 中点为C （x 0，0），设函数f （x ）的导函数为f ′（x ），求证：f ′（x 0）＜0．
20．（本小题满分12分）
如图长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，
BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝4，D 1F ＝8，过点E ，F ，C 的平面α与长方体的面相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）；（2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．
21．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
22．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若?x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．
23．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线与圆相切于点，是过点的割线，，点是线段的中
PA O A PBC O CPE APE H ED 点.
（1）证明：四点共圆；D F E A 、、、（2）证明：
.
PC PB PF
2
24．（本小题满分12分）111]
在如图所示的几何体中，是的中点，.
D AC DB EF //（1）已知，，求证：平面
；
BC AB
CF AF AC
BEF （2）已知分别是和的中点，求证：平面.
H G 、EC FB //GH ABC
旅顺口区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A 【解析】解：∵=（2，﹣3，1），
=（4，2，x ），且
⊥，
∴
=0，
∴8﹣6+x=0；∴x=﹣2；故选A ．
【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，
建立关于x 的方程求出x 的值．　
2．【答案】 A
【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，，，∵，∴，选A ．
3(log 2,2]A
(0,2]B 3log 20A ?B 3．【答案】B
【解析】解：若命题“p 或q ”为真，则p 真或q 真，若“非p ”为真，则p 为假，∴p 假q 真，故选：B ．
【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．　
4．【答案】A
【解析】解：由sin （+θ）=sin cos θ+cos sin θ=（sin θ+cos θ）=，
两边平方得：1+2sin θcos θ=，即2sin θcos θ=﹣，则sin2θ=2sin θcos θ=﹣．故选A
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化
简求值，是一道基础题．　
5．【答案】A
【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是
7面体，左视图中前、后平面是线段，
上、下平面也是线段，轮廓是正方形，
AP 是虚线，左视图为：
故选A ．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．　
6．【答案】D
【解析】解：y=x+1不是奇函数；y=﹣x 2不是奇函数；
是奇函数，但不是减函数；y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数，故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．　
7．【答案】D 【解析】
，故选 D.
|5,|3|3,A y y B x y x x x 3,5A B 8．【答案】 A 【解析】试题分析：
，为奇函
2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x
x x g x
g x x x A A cos y g x x 数，排除B ，D ，令时，故选 A. 1
0.1x
0y
考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法
.
9．【答案】C
【解析】解：∵概率P （K 2
≥6.635）≈0.01，∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.01=99%，即两个变量有关系的概率是99%，
故选C ．
【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用，本题解题的关键是理解所求出的概率的意义，本题是一个
基础题．　
10．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：和是正确的，故选 C.
,,a b b a 0考点：集合间的关系.
11．【答案】C
【解析】解：∵f （1）=1＞0，f （2）=1﹣2ln2=ln ＜0，
∴函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（1，2）．
故选：C ．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端
点处的符号是否相反．　
12．【答案】C
【解析】解：不等式（m+1）x 2
﹣（m ﹣
1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立，即（m+1）x 2
﹣（m ﹣
1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立若m+1=0，显然不成立若m+1≠0，则解得a ．
故选C ．
【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需
．
二、填空题
13．【答案】1
a 【解析】
试题分析：因为不等式恒成立，所以当时，不等式可化为
，不符合题意；
2
110ax a x 0a
1
0x 当时，应满足
，即
，解得.1
0a
2
0(1)
40
a
a a 2
(1)0
a a 1a
考点：不等式的恒成立问题.
14．【答案】A
【解析】
15．【答案】　2
　．
【解析】解：整理函数解析式得f （x ）﹣1=log a （x ﹣1），故可知函数
f （x ）的图象恒过（2，1）即A （2，1），
故2m+n=1．
∴4m +2n ≥2
=2=2
．
当且仅当4m =2n
，即2m=n ，
即n=，m=
时取等号．
∴4m +2n
的最小值为2
．
故答案为：2　
16．【答案】(,0)(4,)
【解析】
试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2a
时恒成立,只要满足在2]，[-2a
时直线在轴上方
即可，设关于的函数44)2(24)4(x
f(x)
y
2
2
x x
a
x a
x
a
对任意的2]，[-2a ，
当-2a 时，04
4
)42(x
)2(f(a)y 2
x f ，即08
6x
)
2(2
x f ，
解得4x
2x 或；当2
a
时，04
4
)42(x
)
2(y
2
x f ，即02x
)
2(2
x
f ，解得2x 0x 或，∴的取值范围是
{x|x 0x 4}或；故答案为：(,0)
(4,)．
考点：换主元法解决不等式恒成立问题
.
【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，
使繁杂问题变得简
洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式
,在2]，[-2a
时恒成立,只要满足在2]，[-2a 时直线在轴
上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.
17．【答案】　②④
【解析】解：①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误；
②在同一平面直角坐标系中，
y=2x
与y=2﹣x
的图象关于y 轴对称，故正确；
③y=（）﹣x是减函数，故错误；
④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）?f（﹣x）≤0，故正确．
故答案为：②④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．
18．【答案】　{x|x＞0}　．
【解析】解：对数函数y=lgx的定义域为：{x|x＞0}．
故答案为：{x|x＞0}．
【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1），
令f'（x）＞0，则；令f'（x）＜0，则．
∴f（x）在x=a时取得最大值，即
①当，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x ）→﹣∞
∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（）
即f（x）有2个零点；
②当，即a=1时，f（x）有1个零点；
③当，即a＞1时f（x）没有零点；
（2）由得（0＜x1＜x2），
=，令，设，t∈（0，1）且h（1）=0
则，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0
即，又，
∴f'（x0）=＜0．
【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a＜1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算
比较复杂，特别是计算过程中，令的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学
生的综合能力有比较高的要求．
20．【答案】
【解析】解：
（1）交线围成的四边形EFCG（如图所示）．
（2）∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，
平面A1B1C1D1∩α＝EF，
平面ABCD∩α＝GC，
∴EF∥GC，同理EG∥FC.
∴四边形EFCG为平行四边形，
过E作EM⊥D1F，垂足为M，
∴EM＝BC＝10，
∵A1E＝4，D1F＝8，∴MF＝4.
EM2＋MF2102＋42116
∴GC＝EF＝＝＝，
∴GB＝＝＝4（事实上Rt△EFM≌Rt△CGB）．
GC2－BC2116－100
过C 1作C 1H ∥FE 交EB 1于H ，连接GH ，则四边形EHC 1F 为平行四边形，由题意知，B 1H ＝EB 1－EH ＝12－8
＝4＝GB.
∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱
EHG-FC 1C 与三棱柱HB 1C 1-GBC 两部分组成．
其体积为V 2＝V 三棱柱EHG -FC 1C ＋V 三棱柱HB 1C 1-GBC ＝S △FC 1C ・B 1C 1＋S △GBC ・
BB 1＝×8×8×10＋×4×10×8＝480，121
2
∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V 1＝V 长方体－V 2＝16×10×8－480＝800.
∴＝＝，V 1
V
2
80048053∴其体积比为（也可以）．
5335
21．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE 中，BC ⊥CF ，BC=AD=
，BE=3，∴EC=
，
∵在△FCE 中，CF 2=EF 2+CE 2，∴EF ⊥CE 由已知条件知，DC ⊥平面EFCB ，∴DC ⊥EF ，又DC 与EC 相交于C ，∴EF ⊥平面DCE 解：（Ⅱ）方法一：过点
B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于H ，连接AH ．
由平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC=BC ，AB ⊥BC ，得AB ⊥平面BEFC ，从而AH ⊥EF ．所以∠AHB 为二面角A ﹣
EF ﹣C 的平面角．在Rt △CEF 中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE ∥BH ，得∠BHE=90°，又在Rt △BHE 中，BE=3，∴
由二面角A ﹣EF ﹣C 的平面角∠AHB=60°，在Rt △AHB 中，解得，
所以当
时，二面角A ﹣
EF ﹣C 的大小为60°方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系
C ﹣xyz
．
设AB=a （a ＞0），则C （0，0，0），A （，0，a ），B （
，0，0），E （，3，0），F （0，4，0）．
从而
，
设平面AEF 的法向量为，由
得，
，取x=1，
则
，即
，
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直
与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵|x﹣a|≤2，∴a﹣2≤x≤a+2，
∵f（x）≤2的解集为[0，4]，∴，∴a=2．
（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，
∵?x0∈R，使得，
即成立，
∴4m+m2＞[f（x）+f（x+5）]min，即4m+m2＞5，解得m＜﹣5，或m＞1，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．
23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
1111]
试题解析：解：（1）∵是切线，是弦，∴
，，
PA AB C BAP CPE APD ∴，
CPE C APD BAP ∵CPE
C
AED APD BAP ADE ,∴
，即是等腰三角形
AED ADE
ADE 又点是线段的中点，∴
是线段垂直平分线，即
H ED AH ED ED
AH
又由
可知是线段的垂直平分线，∴与互相垂直且平分，
CPE APE
PH AF AF ED ∴四边形
是正方形，则四点共圆.
（5分）
AEFD D F E A 、、、（2由割线定理得，由（1）知是线段的垂直平分线，PC PB PA
2PH AF ∴，从而（10分）
PF PA
PC
PB PF
2
考点：与圆有关的比例线段．
24．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】
试题分析：（1）根据,所以平面就是平面,连接DF,AC 是等腰三角形ABC 和ACF 的公
DB EF //BEF BDEF 共底边，点D 是AC 的中点，所以,,即证得平面
的条件；（2）要证明线面
BD AC DF AC
AC
BEF 平行，可先证明面面平行，取的中点为，连接，，根据中位线证明平面
平面,即可证
FC GI HI //HGI ABC 明结论.
试题解析：证明：（1）∵，∴与
确定平面.
DB EF //EF DB BDEF 如图①，连结. ∵，是的中点，∴.同理可得.
DF CF AF D AC AC DF
AC BD
又，平面
，∴平面
，即平面
.
D DF BD
DF BD 、BDEF AC BDEF AC BEF
考点：1.线线，线面垂直关系； 2.线线，线面，面面平行关系.
【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行.。