高考数学1轮复习 热点难点精讲精析 2.5指数函数

一、幂的运算的一般规律及要求 1．相关链接
(1)分数指数幂与根式根据*(,,,)=∈m m n n
a
a a 0m n N n 1＞且＞可以相互转化.
(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将24
a 写成12
a 等必须认真考查a 的取值才能决定,如
()
()
,-=
-=22
4
4
111而()12
-=-11无意义.
(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式 ,并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.
(4)指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,假设是根式,应化为分数指数幂 ,尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.
指数幂的化简与求值的原那么及结果要求 (1 )化简原那么 ①化根式为分数指数幂； ②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序.
注：有理数指数幂的运算性质中 ,其底数都大于0 ,否那么不能用性质运算
(2 )结果要求
①假设题目以根式形式给出 ,那么结果用根式表示；
②假设题目以分数指数幂的形式给出 ,那么结果用分数指数幂表示； ③结果不能同时含有根号和分数指数幂 ,也不能既有分母又有负指数幂 . 2．例题解析
〖例1〗 (1 )化简：533233
23
23
323
134)2(248a
a a a a
b a
a
ab b b
a a ⋅⋅⨯
-÷++--
；
(2 )计算：25
.021
21
3
2
5
.032
0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---
分析： (1 )因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂 ,先化为分数指数幂以便用法那么运算 . (2 )题目中给出的是分数指数幂 ,先看其是否符合运算法那么的条件 ,如符合用法那么进行下去 ,
如不符合应再创设条件去求 .
解： (1 )原式 =51
31212
13231312
3
13
13
12
3
13
3133131)()
(2)
2()2()(]
)2()[(a a a a a
b a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷
+⋅+-
2
3
2316
1653
1313
13
13
12)2(a a a a a
a b
a a
b a a =⨯⨯=⨯
-⨯
-=；
(2 )原式 =41
32
21
32
)
10000625(]102450)81000()949()27
8[(÷⨯÷+- 92
2)2917(21]10
24251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-= 〖例2〗112
2
3x x -+= ,求22332
2
2
3x x x x
--
+-+-的值
解：∵112
2
3x x -+= ,
∴112
2
2()9x x
-+= ,
∴1
29x x -++= ,
∴1
7x x
-+= ,
∴12
()49x x -+= , ∴2
2
47x x
-+= ,
又∵3311122
2
2
()(1)3(71)18x x
x x x x --
-+=+⋅-+=⋅-= , ∴22332
2
2
472
3183
3
x x x x
--
+--=
=-+-
二、指数函数的图象及应用 1．相关链接
(1 )图象的变换
(2 )从图象看性质
函数的图象直观地反映了函数的根本性质
①图象在x轴上的身影可得出函数的定义域；
②图象在y轴上的身影可得出函数的值域；
③从左向右看 ,由图象的变化得出增减区间 ,进而得出最|值；
④由图象是否关于原点 (或y轴 )对称得出函数是否为奇 (偶 )函数；
⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解 .
(3 )应用指数函数图象研究指数型函数的性质：
对指数型函数的图象与性质(单调性、最|值、大小比拟、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.
(4 )利用图象解指数型方程、不等式：
一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型
函数图象数形结合求解.
2．例题解析
〖例1〗f(x) =|2x -1|
(1)求f(x)的单调区间.
(2)比拟f(x +1)与f(x)的大小.
(3)试确定函数g(x) =f(x) -x2零点的个数.
【方法诠释】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解.
(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x +1)图象 ,数形结合求解.
(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y =x2的图象,数形结合求解.
解析：(1)由f(x) =|2x -1| =
,
.
,
⎧-≥
⎪
⎨
-
⎪⎩
x
x
21x0
12x0
＜
可作出函数的图象如图.
因此函数f(x)在( -∞,0)上递减；函数f(x)在(0, +∞)上递增. (2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x +1)的图象 ,如下图.
由图象知,当||+-=-00x 1
x 2
121时,解得,=022
x log 3
两图象相交,从图象可见,当22
x log 3
＜时,f(x)＞f(x +1)；
当=22
x log 3时,f(x) =f(x +1);
当>22
x log 3
时,f(x)＜f(x +1).
(3)将g(x) =f(x) -x 2的零点转化为函数f(x)与y =x 2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x) =|2x -1|和y =x 2的图象如下图 ,有四个交点,故g(x)有四个零点.
〖例2〗函数y =(
13
)|x +1|
. （1） 作出图象；
（2） 由图象指出其单调区间；
（3） 由图象指出当x 取什么值时函数有最|值 .
分析：化去绝|对值符号→将函数写成分段函数的形式→作图象→写出单调区间→写出x 的取值 .
解答： (1 )由可得
1|1|
11(1)1,333
(1)
x x x x y x +++⎧⎛⎫≥-⎪⎛⎫ ⎪==⎨⎝⎭ ⎪⎝⎭
⎪<-⎩
其图象由两局部组成：
一局部是：
1111()(0)()(1);33
x x y x x +=≥−−−−−−→≥-向左平移个单位
另一局部是：113(0)3(1).x x y x y x +=≥−−−−−−→=<-向左平移个单位
图象如图：
(2 )由图象知函数在(,1]-∞-上是增函数 ,在(1,)-+∞上是减函数 . (3 )由图象知当1x =-时 ,函数有最|大值1 ,无最|小值 . 三、指数函数的性质及应用 1、相关链接
(1 )与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 ①函数y =a
f(x)
的定义域与y =f(x)的定义域相同；
②先确定f(x)的值域 ,再根据指数函数的值域、单调性 ,可确定y =a f(x)
的值域；
(2 )与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①求复合函数的定义域；
②弄清函数是由哪些根本函数复合而成的； ③分层逐一求解函数的单调性；
④求出复合函数的单调区间 (注意 "同增异减〞 ) .
利用指数函数的性质可求解的问题及方法
(1)应用指数函数的单调性可以比拟同底数幂值的大小.
(2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最|值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解这些问题的方法一致,只需根据条件灵活选择即可.
2、例题解析
〖例1〗(1)函数-=-
2x 11
y 327
的定义域是______. (2)函数()1()3
--+=2
x
4x 3
f x 的单调递减区间为______,值域为______.
(3)(2021·金华模拟)函数()-=+x x a 1
f x a 1
(a ＞0且a ≠1)
①求f(x)的定义域和值域； ②讨论f(x)的奇偶性； ③讨论f(x)的单调性.
【方法诠释】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的
求函数定义域、值域(最|值)、单调区间、奇偶性的方法求解. 解析：(1)由题意知,--
≥2x 11
3027
∴32x -1≥3 -3,∴2x -1≥ -3, ∴x ≥ -1,即定义域是[ -1, +∞). 答案：[ -1, +∞)
(2)令g(x) = -x 2 -4x +3 = -(x +2)2 +7,由于g(x)在( -∞, -2)上单调递增,在( -2, +∞)上单调递减,而1()3
=t y 在R 上为
单调递减,所以f(x)在( -∞
g(x) = -(x +2)2 +7≤7,()().-∴≥=771
f x 33
答案：( -∞, -2) [3 -7, +∞) (3)①f(x)的定义域是R,
令,-=+x x a 1y a 1得a x = -+-y 1
y 1
,
∵a x ＞0,∴ -
+-y 1
y 1
＞0,解得 -1＜y ＜1,
∴f(x)的值域为{y| -1＜y ＜1}.
②()(),-----===-++x x
x
x
a 11a f x f x a 11a ∴f(x)是奇函数. ③()
(),+-=
=-
++x
x x
a 12
2
f x 1a 1
a 1
设x 1,x 2是R 上任意两个实数,且x 1＜x 2,
那么()()()()()
.--=-=++++122112x x 12x
x x x 2a a 22
f x f x a 1a 1a 1a 1 ∵x 1＜x 2,∴当a ＞1时, 从而,,,++-12
12x
x x x a 10a
10a a 0＞＞＜
∴f(x 1) -f(x 2)＜0,即f(x 1)＜f(x 2),f(x)为R 上的增函数. 当0＜a ＜1时, ,12x
x
a a 0＞＞ 从而,,,++-1212x
x x x a 10a
10a a 0＞＞＞
∴f(x 1) -f(x 2)＞0,即f(x 1)＞f(x 2),f(x)为R 上的减函数.
〖例2〗如果函数f(x) =a x
(a x
-3a 2
-1)(a>0且a ≠1)在区间[)0,+∞上是增函数 ,求实数的取值范围
分析：先化简f(x)的表达式 ,利用复合函数的单调性的方法求解 ,或利用求导的方法来解 . 解答：由题意得f(x) = (a x
)2
- (3a 2
+1 )a x
, 令t = a x
.f(t) =t 2
-(3a 2
+1)t(t>0).
当a>1时 ,t = a x
在[)0,+∞上为增函数 ,那么此时t ≥1,
而对于f(t)而言 ,对称轴t =231
2
a +>2,
故f(x)在[)0,+∞上不可能为增函数； 当0<a<1时 ,t =a x
在[)0,+∞上为减函数 ,
此时0<t<1,要使f(x)在[)0,+∞上为增函数 ,
那么f(t)在(]0,1上必为减函数 ,故231
2
a +≥1.
∴a ≥
33或a ≤33313
a ≤< . 四、指数函数的综合应用 〖例1〗f(x) =
2
1
a
a - (a x -a -x )(a>0,a ≠1). (1)判断f(x)的奇偶性
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x ∈[ -1,1]时 ,f(x)≥b 恒成立 ,求b 的取值范围.
思路分析：此题(1)(2)问判断f(x)的奇偶性、讨论它的单调性 ,由于函数的解析式 ,因此用定义判断或利用导数判断；(3)恒成立问题 ,实质上是探求f(x)的最|小值.
解答：
(1) 函数的定义域为R ,关于原点对称 , (2) ∵
,∴f(x)为奇函数；
(2 )方法一：设 ,那么
当a>1时 ,
2
1
a
a - >0 ,>0 ,＞0 ,
∴f(x 1) -f(x 2)>0 ,即f(x 1)>f(x 2) ,此时函数f(x)为增函数；
当0<a<1时 ,
2
1
a
a -<0 ,<0 ,1 +>0 ,
∴f(x 1) -f(x 2)>0 ,即f(x 1)>f(x 2) ,此时函数f(x)为增函数； 综上可知：函数f(x) =
2
1
a
a - (a x -a -x ) (a>0,a ≠1)在定义域上为增函数； 方法二：∵f(x) =21a a - (a x -a -x ) ,∴f ′(x) = 21
a a - (a x lna +a -x
lna) =2
ln ()1x x a a a a a -+- 当a ＞1时 ,f ,(x)＞0,此时f(x)为增函数； 当0＜a ＜1时 ,f ,(x)＞0,此时f(x)为增函数 , 综合可知：f(x)为增函数 . (3)由(2)知f(x)在R 上是增函数 ,
∴f(x)在区间[ -1,1]上为增函数 , ∴f( -1)≤f(x)≤f(1) ,
∴f(x)min =f( -1) =
2
1
a
a - (a -1 -a) =21
a
a -·21a a - = -1 ,
要使f(x)≥b 在[ -1,1]上恒成立 ,那么只需b ≤ -1 ,故b 的取值范围是( -∞, -1].
方法指导：1.判断函数的奇偶性 ,先看函数的定义域是否关于原点对称 ,再看f( -x)与f(x)之间的关系；
质解决相关的综合问题时 ,要特别注意底数a 的取值范围 ,并在必要时进行分类讨论； 3.解决恒成立问题 ,一般需通过别离变量 ,通过转化为求函数的最|值来实现.
4.解决与指数函数有关的综合问题时,除用研究函数图象与性质的相关知识及相关问题的处理方法外,同时,要适时地用指数函数的图象与性质.
5.关于非具体函数 (或具体函数 )的不等式 ,往往先根据函数的单调性 ,将函数值间的不等式转化为自变量间的不等式.。