地下水动力学课程中的基础数学运用

地下水动力学课程中的基础数学运用
王超月
（河北地质大学水资源与环境学院，河北石家庄050031）
［摘要］在地下水动力学教学过程中，发现不少学生存在教学基础不够扎实的问题，在学习这门课程时，很难与学过的数学知识联系。

据此，通过将教材中用到的数学知识进行系统的梳理，主要包括基本方法、基本理论、数学模型及其求解三部分，期望对学生或从事该课程教学的教师有所帮助。

［关键词］地下水;水文地质;动力学;数学;基本原理
［基金项目］河北地质大学2018年度校级教学发展与改革实践项目"地下水动力学课程教学资源库建设"（201切F06）
［作者简介］王超月（1988—）,男，博士，河北地质大学水资源与环境学院讲师，主要从事水丈地质学理论与教学研究。

［中图分类号］G640［文献标识码］A［文章编号］1674-9324（2020）45-0295-04［收稿日期］2020-06-12
地下水动力学是地下水科学与工程、水文与水资源工程、地质工程等专业本科生的一门基础理论课。

其先修课程有高等数学、普通地质学、水文地质学基础、水力学等。

它是地下水科学或水文地质学工作者必要的知识储备，也是地下水数值模拟的理论基础。

课程主要讲述了地下水运动的基本原理以及计算方法。

该课程的特点是用到的数学知识多，理论性强，并且具有鲜明的实际应用背景。

笔者仔细翻阅了《地下水动力学》UN以及《高等数学》⑶等教材，并结合多年授课经验，梳理了课程中主要的数学知识点。

其中也涉及笔者对一些基本概念的理解，有不当之处，恳请读者给予指正。

—、基本方法
与高等数学纯数学相比，作为专业课，多了实际背景。

差别首先体现在变量符号的使用上。

数学里通常用y表示因变量,x表示自变量。

而在地下水动力学课程中，各物理量均有实际的物理意义,x,y,z用来表示空间自变量,t表示时间自变量,H,p,v分另!J表示地下水水头、压力、渗流速度（来源于相应英文单词首字母），它们是时空变量的函数，如H（x,y,z,t）。

各物理量所用符号一般与国内或国际惯例一致。

这也方便了后期深入研究以及学习外文著作。

（一）极限与导数
1•极限。

为了宏观上研究地下水，提出渗流理论，引入了典型单元体（或典型体元,REV）的概念,假想水流充满整个空间,不考虑岩土颗粒的存在,使得孔隙度（n）、水头（H）、水压（p）以及渗流速度（v）等在任意点P（x,y,z）处都有恒定的值，并且空间上具有连续性。

典型单元体是使取样平均性质稳定的最小体积,在宏观上其值很小，可以想象其包含有限颗粒（如1000个）。

如任意P点孔隙度定义为
晩）=眾寻（1）
含义即为在含水层中以P点为中心，取样体积逐渐减小至典型单元体时,计算的孔隙体积与土样体积的比值。

2.求导运算。

课程中涉及的求导公式一般为简单的四则运算,如地下水的状态方程中：
d（pv）=pdV+Vdp=0（2）推导承压水运动的基本微分方程时,有
舟[pnAxAyAz]=
(3)
(4)
叩^）+pAz^+nAz
dt dt
又如，因为水头H"+f,有
dp5H TT5p5p
上=pg—
—+Hg丄一zg丄
dt dt dt St
（二）定积分与不定积分
求解微分方程时会用到定积分或不定积分，以下举几个简单的例子。

1.地下水状态方程推导过程中，对微分方程：
L舞⑸分离变量后,根据边界条件,初始压强由Po变为P，体积由v o变为V,取定积分：
匸罟呵dP⑹是积分上限函数，根据Newton-Leibniz公式p（t>t=F（x）-F（a）可求解,F（x）为f（t）的原函数。

32.在计算P点的水头（H）、水压（p）以及流速（v）时，用到了典型单元体内积分取平均的方法，对于微积分不少学生头疼,需要向学生传达积分即离散求和的思想,以便于理解。

P（p）=V_L P^v（7）
V qv"V（）v
（三）近似计算
作为应用学科，出于实际应用方便，在保证精度的
前提下，课程中使用了很多近似公式进行简化计算。

1 .Taylor 级数展开近似。

根据Taylor 级数展开取
近似的应用最为普遍。

如地下水状态方程的推导中：
V = V o e _p(p_p(>) (8)
由于P(P-P o )数值很小，根据e x 的Taylor 级数展 开公式：
近似地按承压含水层处理:
H ()- hw
Q 27tKH 0In 昱
r w
(19)
(7) Theis 公式的简化，当uWO.Ol 或uW0.05时,井函数可用级数前两项代替，得到Jacob 公式
Y 2 龙3 n
e x «l + x + ——+ ——+ …+ ——
(9)
2! 3! n!
忽略高阶项后，得到：
V = V 0[l-p(p-p 0)] (10)
在保证精度的前提下，大大方便了运用。

另外，
在推导连续性方程时，也应用了 Taylor 级数展开：
Q , 2.25Tt 0.183Q, 2.25Tt
s = —^ln —5— =------— lg —5—
4itT r 2S T r 2S
二、基本理论(一)特殊函数
(20)
+ 仇)(_的 + ...
I 2 丿
忽略了二阶导数以上的高次项，将公式进行了
简化。

2.其他近似。

(1) 多孔介质的压缩中：
a=(l-n)a s +nop
(12)
由于骨架本身的压缩性比空隙的压缩性小很多，
有(l-n)a0tp,于是
gnop (13)
(2) 有效应力公式推导中，由于颗粒与颗粒间实 际接触面积非常小,即后1,于是
(1-X)p«p
(14)
(3 )含水层压缩过程中，认为固体颗粒体积的压
缩可以忽略不计：
d[(l-n)V b ] = dVt, -ndVb - V b dn = 0
(15)
并且含水层压缩时侧向受限，忽略水平方向上的
变化，只有垂宜方向的压缩：
学=警 (16)
V b Az
(4)推导承压水运动的基本微分方程时，因为水 的压缩性很小,1仙=1。

另外，微分方程
教材上涉及的特殊函数主要有两类，一类是在数 学上普遍应用的,在数学手册上可以查到具体表达
式,如Bessel 函数、虚宗量Bessel 函数、(余)误差函 数、伽马函数、双曲函数等。

另外一类是在水文地质 方面特有的函数，如井函数W(u)、不考虑弱透水层弹
性释水时越流系统的井函数W(u,r/B)、考虑弱透水层 弹性释水时越流系统的井函数H(u,|3)、无压含水层中
完整井的井函数W(%,y,r/D)等。

它们均具有特定的 表达式，可以做成数据表,利用配线法反求水文地质 参数时，被用作标准曲线。

(二) 极值与最小二乘法
在寻求实际抽水流量与降深关系时，可以尝试经 验公式。

求解思路是找流量一降深的“线性关系”。

将观测数据画到坐标图上，首先观察Q-Sw 是否呈线 性关系，若不是，观察罟〜Q , lgQ 〜lgSw , Q~lgSw 是 否呈线性关系,即分别对应流量与水位降深关系为 直线、抛物线、無函数曲线以及对数曲线几种常用形
式。

确定曲线类型后，可以利用最小二乘法求得未知 参数。

最小二乘法属于函数微分的应用，残差平方和
(目标函数)最小时的待定系数即为最优参数。

求最 小值时令目标函数的导数或偏导数为零,通过求解方
程或方程组最终得到最佳拟合参数。

实际应用时可 以通过EXCEL 添加趋势线的方式获得最佳参数。

(三) 梯度与水力坡度
由于地下水流场的连续性，水头H(x,y,z)在任意 点P(x,y,z)具有连续的偏导数，梯度即为
"5v 3v y
-----------------------
3x dy dz +魯Vy
更+ v.
Sy
(17)
OH
AxAyAz =p 2g(a + nP )----AxAyAz
5t
,TT / X 3H . SH . 3H , 3H < 、gradH(x,y,z) = —1 +—j +—k = —n (21)
ox oy oz on
其含义即为在该方向，各方向导数取得最大值，
其他方向导数为Igrad H(x,y,z)|cos 0,0为任意方向与 梯度方向的夹角。

梯度的方向是由数值低的等量面 指向数值高的等量面，与水力坡度的定义刚好相反， 因此
左端第二项相对第一项小得多，因而可以忽略不
计。

大大简化了公式。

(5)河渠间地下水的非稳定运动中，为了将 Boussinesq 方程线性化,将微分方程变形,当潜水流厚 度变化不大时，用平均值K 近似代替h,得到
J=-grad H(x,y,z)
(22)
(四)配线法与坐标平移
作为求取水文地质参数的重要方法,教材中反复 用到了配线法。

配线法本质上是坐标的平移变换。

以Theis 公式的配线法为例说明，其经过变换后得到
(6) Dupuit 公式应用中,对于巨厚含水层中的潜 水井，含水层很厚而降深相对较小时,潜水含水层可
lgs = lgW (u)+lg-^-47rT Ig^ig 丄+ lg 爲 r u 4T
(18)
(23)
其在形式上与J_=y+b(24)
[x=x+a
一致。

y是关于x的函数，孑是关于壬的函数,a、b是常数，所以y-x曲线的形状与y-x曲线的形状完全相同，只是沿水平方向上平移了a,沿垂向上平移了b0需要注意的是,Theis公式的配线法是在双对数坐标下的。

因此，需将观测数据绘制于与W(u)-l/u标准曲线相同模数的双对数坐标纸上,两曲线重合后，取任意匹配点,读取相应两组坐标值，带回公式，即可求导水系数T与贮水系数S。

(五)张量
向量可以表示有方向和幅度的物理量，比如力、加速度。

各向同性介质的渗透系数是一个标量，而各向异性介质的渗透系数较复杂一些,任意点的渗透系数与方向有关，用向量不能够表示。

这时需要用张量表示渗透系数，在三维空间里,渗透系数是2阶张量,含3?个数字,是3x3的矩阵。

张量是向量的拓展,向量是1阶张量，同一物理量不同的张量形式，可以看作是不同坐标系下的线性变换。

幸运的是,在一般介质中，总存在相互垂宜的三个主方向上的渗透系数，可以用K“K2,K3表示，当介质的渗透系数主方向与我们所选坐标系三轴分别平行时，此时渗透系数张量变为对角矩阵,渗
透流速计算大大简化，v x=弓，Vy=-K2—,
ox cy 竽。

而介质渗透系数主方向与坐标系三轴
OZ
方向不一致时，可不可以把坐标系改一下呢？我们在研究某个问题时，坐标系往往已经确定了，即水平方向上是X轴、y轴，垂向上是z轴，这也是我们计算水头以及水力坡度的依据,坐标系的位置不能仅考虑介质的需求。

此时,K“K2,K3依然是介质三个主方向上的渗透系数，只不过与坐标轴不重合,为了计算渗流速度，需要采用渗透系数张量的一般形式。

(一)
模型假设
数学模型的建立均基于各种假设,这些假设也是其应用的前提。

模型假设是普遍存在的，假设的提出往往极大地简化了实际问题，最终服务于问题的解决。

如Dupuit假设的提出使潜水面边界问题的处理简单化。

假设潜水面比较平缓，等水头面铅直，水流基本上水平，可忽略速度的垂直分量,同一铅直剖面各点的水力坡度和渗透速度相等，使三维问题(x,y, z)降阶为水平二维(x,y)问题处理;使剖面二维流问题(x,z)降阶为水平一维问题近似处理;Dupuit 假设使潜水面边界直接近似地在微分方程中处理。

该假设忽略了渗流速度的垂直分量，然而，在垂向分速度较大的地段,则不能采用O
又如在推导承压水运动的基本微分方程时，假设:(1)水流服从Darcy定律;(2)K不随p=p(p)的变化而变化;(3)£和K也不受n变化的影响;(4)含水层侧向无压缩,只有垂直方向的压缩，于是得到各向同性介质中承压水非稳定运动的基本微分方程:
而在模型具体应用时，还需进一步添加假设，如含水层特征、边界条件等。

其他模型在使用时同样需要注意其前提条件。

如对于越流含水层的基本微分方程：
规丁劉+鲁I1剳+陌罟■
-S°H
B孑
除以上假设外,还假设:(5)水基本上是垂直地通过弱透水层，在主含水层中基本上是水平流动的;(6)忽略弱透水层本身释放的水量。

另外，该方程实际反映的是承压含水层的平面二维运动。

(二)
偏微分方程与定解条件
1•偏微分方程。

高等数学中只有偏导数以及常
(27)
微分方程的知识,对没有学习过数学物理方程等相关课程的学生，初次遇见偏微分方程可能引起学生的恐慌。

因此,课程教学中需要向学生说明偏微分方程的特点。

如承压水非稳定运动的偏微分方程(26)是二阶偏微分方程,H是关于时空变量x,y,z,t的函数。

渗透系数K当在括号内的时候,表示可以是随空间变化的,即K(x,y,x)表示非均质介质。

2.定解条件仅给出偏微分方程，只能描述水流的一般规律,还不能确定具体的运动状态，该方程也称为泛定方程。

如果附加一些条件后，就能完全确定具体运动状态,称这样的条件为定解条件。

表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件⑷。

偏微分方程与定解条件一起构成数学问题或者数学模型,能够得到确切的解。

在高等数学中，类似有常微分方程的定解问题
5x2
'y=(x=0)=l(28)
.y-(x=0)=2
只不过这里变成了偏微分方程,增加了变量。

偏微分方程与定解条件构成“方程组”,在满足解的存在且唯一的条件下，最终求解出H(x,y,z,t)。

3.柱坐标变换。

在均质各向同性含水层中抽水时，形成的地下水降落漏斗中心对称，通过采用柱坐标变换，可将空间三维流问题降阶为二维流问题，大大降低了模型的求解难度。

更］152h a2H s s aH
r Sr Sr J+r28Q2+8z2K dt(29)
(三)微分方程的求解
课程中二阶常微分方程的定解问题求解相对简单,如河渠间地下水的稳定运动，地下水向完整井的稳定运动等。

二阶偏微分方程的定解问题略微复杂，不同院校对本科生的要求可能不同。

总体上讲，教材中有推导过程的数学模型,如河渠间地下水的非稳定运动数学模型的线性化、承压含水层完整井流Theis 公式的推导等，容易理解些，让学生学习一些数学模型的推导方法也十分有益。

其他一些比较复杂模型，如:定降深井流计算;有越流补给的完整井流;有弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流;潜水完整井等的解析解推导过程一般涉及比较复杂的积分变换及逆变换,对于没有学过复变函数与积分变换、数学物理方程等相关课程的同学往往有很大困难，可根据个人兴趣,查找相关文献学习。

(四)叠加原理
对于由线性偏微分方程和线性定解条件组成的定解问题,可以运用叠加原理。

叠加原理在教材中多次用到，如河渠水位变化时,河渠间地下水的非稳定运动;地下水向干扰井群的稳定运动;均匀流中的井；阶梯降深抽水试验;流量变化时的Theis计算公式冰位恢复试验;地下水向边界附近井的运动;不完整井的运动等。

对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程。

如
a(x,y)£+b(x,y)聖+c(x,y)u=f(x,y)(30)
ox.m
为线性偏微分方程。

当右端f(x,y)=0时,方程叫作齐次的。

在高等数学中有类似定理:如果函数％(X)与y2(x)是方程y〃+P(x)y'+Q(x)y=0的两个解，那么y=C1y1(x)+Ciy2(x)也是方程的解,G、C2是任意常数。

该定理推广到偏微分方程同样适用。

关于叠加原理的更多介绍可参考Jacob Bear的专著①句。

四、结语
虽然在教材中涉及的数学知识比较多，但基本都是数学中比较基础的内容。

教学过程中，应针对学生可能的薄弱环节重点讲解。

教学中还应尽量借助软件技术、数值方法、编程技术等，使理论的知识“活”起来,比如增加动态或者立体展示，增加学习过程中的可操作性。

另外，课程中的一些经典推导可以培养学生的数学思维。

需要指出的是，虽然随着科技的进步，数值模拟技术日益成熟、精进，但数值模拟技术的熟练运用依然有赖于扎实的理论知识。

更重要的是,数学作为学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具，借此课程强化学生的数学思维、提高数学素养X重要意义。

参考文献
[1]薛禹群，吴吉春.地下水动力学]M].北京:地质出版社,2010.
[2]陈崇希，林敏_地下水动力学[M].北京:地质出版社,2011.
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[4]《数学手册》编写组.数学手册[M].北京:高等教育出版社, 1979.
[5]BearJ.Hydraulics of Groundwater.McGraw-Hill Publishing,New York,1979.
[6]B ear J.Dynamics of Fluids in Porous Media.Dynamics of Fluids in Porous media.American Elsevier Pub.Co.,1972.
The Application of Basic Mathematics in the Course of Groundwater Dynamics
WANG Chao-yue
(School of Water Resources and Environment,Hebei GEO University,Shijiazhuang,Hebei050031,China) Abstract：In the course of Groundwater Dynamics teaching,it is found that many students have the problem that the mathematical foundation is not solid enough.During the study of this course,it is difficult for students to connect with the mathematics knowledge they have learned.For this reason,the mathematics knowledge used in the textbooks are summarized systematically.It mainly includes basic methods,basic theories,mathematical models and their solutions.It is expected to be helpful to the students or teachers engaged in the course.
Key words：groundwater hydrogeology;Dynamics;mathematics;basic principles。