《@经典文档》2014-2015学年高二数学选修4-1____几何证明选讲知识点总结例题精讲精练及真题训练(含答案

相似三角形的判定及有关性质
知识点 1：比例线段的相关概念
比例线段： 对于四条线段 a、b、c、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c （或 a : b=c: d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． bd
注意： （ 1）在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．
.
推论 1： 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
.（三角形中位线定理的逆定理）
推论 2： 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰
.（梯形中位线定理的逆定理）
平行线等分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：（ 1）平行于三角形一边的直线截其它两边 ( 或两边的延长线 )所得的对应线段成比例．
SAS
SSS
AAS（ ASA）
HL
相似三角形的判定
两边对应成比 三边对应成比例
例夹角相等
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的
“对应边相等 ”的条件改为 “对应边成比例 ”就可得到相似
三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌
（ 2）当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．
（ 3）比例线段是有顺序的，如果说 a 是 b, c, d 的第四比例项，那么应得比例式为：
知识点 2：比例的性质
基本性质： (1) a : b c : d ad bc ； (2) a : c c : b c 2 a b ．
ac
反比性质 (把比的前项、后项交换 )：
.
推论 1： 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
.（三角形中位线定理的逆定理）
推论 2： 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰
.（梯形中位线定理的逆定理）
平行线等分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：（ 1）平行于三角形一边的直线截其它两边 ( 或两边的延长线 )所得的对应线段成比例．
.
判定定理 3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，
那么这两个三角形相似． 简
述为：三边对应成比例，两个三角形相似 .
判定定理 4： 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
（ 2）当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．
（ 3）比例线段是有顺序的，如果说 a 是 b, c, d 的第四比例项，那么应得比例式为：
知识点 2：比例的性质
基本性质： (1) a : b c : d ad bc ； (2) a : c c : b c 2 a b ．
ac
反比性质 (把比的前项、后项交换 )：
（ 2）当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．
（ 3）比例线段是有顺序的，如果说 a 是 b, c, d 的第四比例项，那么应得比例式为：
知识点 2：比例的性质
基本性质： (1) a : b c : d ad bc ； (2) a : c c : b c 2 a b ．
ac
反比性质 (把比的前项、后项交换 )：
注意：
（ 1）相似三角形是相似多边形中的一种； （ 2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （ 3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； （ 4）相似用 “∽ ”表示，读作 “相似于 ”； （ 5）相似三角形的对应边之比叫做相似比． 2．相似三角形的判定方法 预备定理： 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比 例． 定理的基本图形语言：
1
相似三角形的判定及有关性质
知识点 1：比例线段的相关概念
比例线段： 对于四条线段 a、b、c、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c （或 a : b=c: d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． bd
注意： （ 1）在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．
ad bc ，
除了可化为 a: b c:d ，还可化为 a : c b: d ，c : d a : b ，b : d a : c ，b: a d : c，c: a d :b ，d : c b: a ，
d:b c:a．
知识点 3：比例线段的有关定理
平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC
5 1 AB 0.618AB ． 2
知识点 5：相似图形
1．相似图形的定义： 把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）
.
相似三角形的定义： 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
.相似三角形对应边的比值
叫做相似比（或相似系数）
.
推论 1： 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
.（三角形中位线定理的逆定理）
推论 2： 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰
.（梯形中位线定理的逆定理）
平行线等分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：（ 1）平行于三角形一边的直线截其它两边 ( 或两边的延长线 )所得的对应线段成比例．
注意：
（ 1）相似三角形是相似多边形中的一种； （ 2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （ 3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； （ 4）相似用 “∽ ”表示，读作 “相似于 ”； （ 5）相似三角形的对应边之比叫做相似比． 2．相似三角形的判定方法 预备定理： 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比 例． 定理的基本图形语言：
ad bc ，
除了可化为 a: b c:d ，还可化为 a : c b: d ，c : d a : b ，b : d a : c ，b: a d : c，c: a d :b ，d : c b: a ，
d:b c:a．
知识点 3：比例线段的有关定理
平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
（ 2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比
例．
定理： 如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线 )所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形
第三边．
知识点 :4：黄金分割
把线段 AB 分成两条线段 AC , BC( AC BC ) ，且使 AC 是 AB和BC 的比例中项， 叫做把线段 AB 黄金
握的方法 .
3．相似三角形的性质定理：
（ 1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
（ 2）相似三角形的周长比等于相似比；
（ 3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；
（ 4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
.
4．相似三角形的等价关系
bd
bd
．
ac
ac
合比性质：
bd
ab cd
．发生同样和差变化比例仍成立．如：
b
d
ac bd
bd
．
ca
ba a
ab
dc c 等等．
cd
ab cd
等比性质： 如果 a c e bd f
m (b d f n
n 0) ，那么 a c e bd f
m a． nb
注意：实际上，由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如
ad bc ，
除了可化为 a: b c:d ，还可化为 a : c b: d ，c : d a : b ，b : d a : c ，b: a d : c，c: a d :b ，d : c b: a ，
d:b c:a．
知识点 3：比例线段的有关定理
平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
SAS
SSS
AAS（ ASA）
HL
相似三角形的判定
两边对应成比 三边对应成比例
例夹角相等
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的
“对应边相等 ”的条件改为 “对应边成比例 ”就可得到相似
三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌
.
判定定理 3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，
那么这两个三角形相似． 简
述为：三边对应成比例，两个三角形相似 .
判定定理 4： 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
握的方法 .
3．相似三角形的性质定理：
（ 1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
（ 2）相似三角形的周长比等于相似比；
（ 3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；
（ 4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
.
4．相似三角形的等价关系
数学符号语言表述是： DE // BC ∴ ADE ∽ ABC ．
判定定理 1： 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简
述为：两角对应相等，两三角形相似 .
判定定理 2： 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角
形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
1
相似三角形的判定及有关性质
知识点 1：比例线段的相关概念
比例线段： 对于四条线段 a、b、c、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c （或 a : b=c: d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． bd
注意： （ 1）在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．
bd
bd
．
ac
ac
合比性质：
bd
ab cd
．发生同样和差变化比例仍成立．如：
b
d
ac bd
bd
．
ca
ba a
ab
dc c 等等．
cd
ab cd
等比性质： 如果 a c e bd f
m (b d f n
n 0) ，那么 a c e bd f
m a． nb
注意：实际上，由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如
（ 2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比
例．
定理： 如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线 )所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形
第三边．
知识点 :4：黄金分割
把线段 AB 分成两条线段 AC , BC( AC BC ) ，且使 AC 是 AB和BC 的比例中项， 叫做把线段 AB 黄金
分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC
5 1 AB 0.618AB ． 2
知识点 5：相似图形
1．相似图形的定义： 把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）
.
相似三角形的定义： 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
.相似三角形对应边的比值
叫做相似比（或相似系数）
bd
bd
．
ac
ac
合比性质：
bd
ab cd
．发生同样和差变化比例仍成立．如：
b
d
ac bd
bd
．
ca
ba a
ab
dc c 等等．
cd
ab cd
等比性质： 如果 a c e bd f
m (b d f n
n 0) ，那么 a c e bd f
m a． nb
注意：实际上，由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如
（ 2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比
例．
定理： 如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线 )所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形
第三边．
知识点 :4：黄金分割
把线段 AB 分成两条线段 AC , BC( AC BC ) ，且使 AC 是 AB和BC 的比例中项， 叫做把线段 AB 黄金
数学符号语言表述是： DE // BC ∴ AFra bibliotekE ∽ ABC ．
判定定理 1： 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简
述为：两角对应相等，两三角形相似 .
判定定理 2： 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角
形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似