2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(19)(2021年整理)

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2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟（19)
一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上） 【第1题：概率】
甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：
表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3,乙击败丁的概率是0。

4.那么甲刻冠军的概率是 。

【第2题:立体几何】
如图,正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 114
1
,21,==
,则四面体OEBF 的体积为 。

【第3题：柯西不等式取等号条件为0时】
z y x ,,均为非负实数,满足2221327
()(1)()224x y z +++++=
,则z y x ++的最大值与最小值分别为 。

【第4题:平面向量：奔驰定理】
若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则
=+μλ 。

【第5题:构造函数，集合关系容易漏解】 设(2,4)A ，2
{|4
0,}R B x x ax
x ．若A
B 的非空子集个数为1，
则实数a 的取值范围是 ． 【第6题：】
已知()()()
,,2,1,0a xb yc x y R a b c a c b c =+∈===--=，则a b -的取值范围是_______________。

【第7题：复数概念】
已知复数3
2sin 32cos ππi z +=，则=+++22
23
z z z z 。

【第8题:圆锥曲线】
已知双曲线()22
22:10,0x y a b a
b
Γ-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是Γ右支上的一点，Q 是2PF 的
延长线上一点,且12QF QF ⊥,若1
3
sin 5
PFQ ∠=，则Γ的离心率的取值范围是______________． 【第9题:规划面积问题】
已知z 为非零复数，
z
z 40
,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中,z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .
【第10题:不等式取等条件】 已知正实数12,,,n a a a 与非负实数12,,
,n b b b 满足
（1) 1212n n a a a b b b n +++++++=；
(2） 12
121
2
n n a a a b b b +=
,则 121212
n n n b b b a a a a a a ⎛⎫
+++
⎪⎝⎭
的最大值为__________． 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程） 【第11题:数列】
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且2(1)3 2 ()n n n t S a a t +=++∈R ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
(2）若数列{}n b 满足11b =,11n n n b b a ++-=，求数列1
{}27n b n
+的前n 项和n T ．
【第13题:导数】
已知函数()2(4)e ()x f x x mx m -+-∈=R .
(1）当2x >时,()0f x ≥恒成立,求实数m 的取值范围； （2）证明：当[)0,1a ∈时，函数()()
22
e (2)2x ax a
g x x x --+=>-有最小值,设()g x 最小值为()h a ，求
函数()h a 的值域.
【第14题:平面几何：2016西部赛，多圆问题】
【第15题:组合最值之方格,2009年全国女子数学竞赛】
2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟19参考答案
【第1题】根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯。

【第2题】EBF G EBF O OEBF V V V --==21
96
1
161212
111=
⋅
==--B BCC E GBF E V V 【第3题】由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值2
3
.
根据题意,有41332222=+++++z y x z y x ,于是,)(3)(4
13
2y z y x z y x +++++≤解得
2322-≥
++z y x 。

于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得,为2
3
22-。

【第4题】根据奔驰定理，有3
2
9492=+=+μλ.
【第5题】解：由已知得A B 恰含一个元素．设2()4f x x ax ，分以下情况讨论: （1）若2160a ，则4a ，但是当4a 时，()f x 的零点2A ,故应舍去,而4a 经验证满足条件； （2）若0，则根据二次函数图像性质,必有(2)(4)0f f ，即(82)(204)0a a ，解得4a 或5a ，但4a 应舍去，而5a 经验证满足条件．
综上所述，有,5{4}4,a ．
【第6题】解：不妨设()2,2cos sin a b i αα==+，cos sin c i ββ=+
∵()
()0a c k b c i k -=->，
∴()()()2cos sin 2cos cos 2sin sin i ki i ββαβαβ--=-+-⎡⎤⎣⎦
()()()2cos sin 2sin sin 2cos cos i k ki ββαβαβ--=--+-
∴()()2cos 2sin sin ,sin 2cos cos k k βαββαβ-=---=-
消去β得2
22111sin cos 14k k αα⎛
⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，即313sin 84k k α⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭
当且仅当1k =时，等号成立
()()()2
2
21cos 2sin 221cos a b ααα-=-+=-⎡⎤⎣⎦
考虑到图形的对称性，令[)0,απ∈，得2297
cos 1sin 11616
αα=-≤-
= 即77cos ,44α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
,()221cos 827,827α⎡⎤-≤--⎢⎥⎣⎦
∴71,71a b ⎡⎤-∈-+⎣⎦
【第7题】根据题意，有i i z z z z z z 2
3
2135sin 35cos 1222
23
-=+=-=+=+++ππ 【第8题】(1,2)
【第9题】设),(R y x yi x z ∈+=，由于2||4040z z z =，于是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,110
2222y x y y x x y x
如图，弓形面积为1003
100)6sin 6(20212-=-⋅⋅π
ππ，
四边形ABCD 的面积为100310010)10310(21
2-=⋅-⋅.
于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-π
π.
【第10题】解：1
2
.由均值不等式知
()()()()()()112211221n
n n n n a b a b a b a b a b a b n ++++++⎡⎤
+++≤=⎢⎥⎣⎦
,
于是 ()1212
123123123
1n n n n n a a a bb b b a a a a b a a a a a b +++++≤，
即()1212
1212
121
12
n n n n n b b b a a a a a a b b b a a a ⎛⎫
+++
≤-+=
⎪⎝⎭。

取121211
1,0,2
n n n a a a b b b b -=========
满足条件,且取到最大值。

【第11题】
解:（1）因为11a =，且2(1)32n n n t S a a +=++,所以2111(1)32t S a a +=++，所以5t =． 所以2632n n n S a a =++ …①，当2n ≥时，有2111632n n n S a a ---=++ …②，①、②两式作差得
22
11633n n n n n a a a a a --=+--， 所以11()(3)0n n n n a a a a --+--=,因为0n a >，所以13n n a a --=，又因为11a =，所以32n a n =-．(2）因为11n n n b b a ++-=，11b =，所以1n n n b b a --=,(2,)n n *≥∈N ，所
以当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+，＝121n n a a a b -++++＝232
n n
- 又
11
b =也适合上式，所以23()2n n n b n *-=∈N 所以1
27n b n +＝2111373(2)n n n n n =⋅-++＝111()62
n n ⋅-+，
所以n T ＝1111
11(1)6324
2n n ⋅-+-+
+-+＝1311
()6212
n n ⋅--++，＝
23512(1)(2)n n n n +++．
【第13题】
解：（1）因为()2(4)e 0x f x m x x -=-+≥对()2,x ∀∈+∞恒成立,等价于2
4e x x x m --≥-对()2,x ∀∈+∞恒成立,设()224(1)4e e x x x x x x ϕ--=--=
得()()2
2
222244'1e e 0x x x x x x x
ϕ---⎛⎫
=-+=≥ ⎪⎝
⎭， 故()x ϕ在()2,+∞上单调递增， 当2x >时，由上知()()21x ϕϕ>=-，所以1m -≤-，即1m ≥，所以实数m
的取值范围为[)1,+∞；
(2）对()()
22
e (2)2x ax a g x x x --+=>-求导得()()()2323(4)e []
(4)e ',(2)22x x x x a x ax x g x x x x ----+==>-+-， 记()2
4e x x F x x
a --=
+,(2)x >，由（1）知()F x 在区间()2,+∞内单调递增,又(2)10,(4)0F a F a =-+<=≥，
所以存在唯一正实数0(2,4]x ∈，使得02
000
4()e 0x x F x x a --+==
,∴当0(2,)x x ∈时，()0F x <,'()0g x <，函数()g x 在区间0(2,)x 单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0F x >，'()0g x >，函
数()g x 在区间0(,)x +∞单调递增; 所以()g x 在()2,+∞内有最小值()()
02002
0e 2x ax a
g x x --+=
-，由题设即
()()
0202
e
2x ax a
h a
x --+=
-．又因为0200
4e x x a x ---=
．
所以()()02001
e x h a g x x -==． 根据（1）知， ()x ϕ在()2,+∞内单调递增,
(]02
00e 1,04x x a x -=-∈--，所以024x <≤．令()21e (24)x u x x x
-=<≤，则()2
2
1e 0x x u x x -'-=
>，函数()u x 在区间(]2,4内单调递增，所以()()()24u u x u <≤，即函数()h a 的值域为21e ,24⎛⎤
⎥⎝⎦
．
【第14题】
【第15题】。