2020麓山国际第二次模拟考试数学参考答案

x 13
解得，
y
5
………………………………………………（3 分）
13 300 3900 （米）， 5 120 600 （米）………………………………（4 分）
答：李明上学时骑自行车的路程为 3900 米，步行的路程为 600 米。………（5 分）
解法二：设李明骑车的路程为 x 米，步行的路程为 y 米，依题意得，
答：李明至少要将骑自行车的速度提高到 330 米/分。…………………………（9 分）
24．（1）证明：如图 1，连接 OC ． ∵ CD 是 O 切线， ∴ DCO 2 3 90 ，…………………（1 分） ∵ AB 是直径，∴ ACB 90 ∴ 1 B 90 ，……………………………（2 分） ∵ OA OC ，∴ 1 2 ， ∴ 3 B ．…………………………………（3 分）
∴ PF m2 (1 1 m)2 1 m2 1 ， PM 1 m2 1
4
4
4
∴ PM PF ……………………………………………8 分
②由平移可知抛物线
L1
的解析式为
y
1 4
(x
2)2
，
F1 (2,1)
同①可得 QN QF1 ，∴ QA QN QA QF1
∴当 A 、 F1 、 Q 三点共线时， QA QF1 有最大值，
4
4
（2）证明：由
y y
kx 1 1 x2 ，得 4
x2
4kx
4
0
．
∴ x1 x2 4k ， x1x2 4 ， ∴ y1 y2 kx1 1 kx2 1 k (x1 x2 ) 2 4k 2 2 设 BC 中点为 O ，过点 O 作 OD l 于点 D， 则点 O 坐标为 (2k, 2k 2 1) ，………………………4 分
15．56
16． 4 3
17．15
18．①②③（每填对 1 个给 1 分）
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 66 分） 19．解：原式 1 (2 3) 3 2 3 ………………………………4 分（每个式子 1 分）
2 1 2 3 3 3 2 ………………………………………………………6 分
16
4
当 y 0 时， 3 ax2 1 ax 2a 0 ，整理得 3x2 4x 32 0
16
4
解得，
x1
8 3
，
x2
4
，∴
A(4, 0)
∵ BD CD ，∴ yD yB 2a ，
将 y 2a 代入 y 3 ax2 1 ax 2a ，
16
4
解得，
x1
16 3
（舍），
x2
4
∴ 4a2 8 ，解得 a 2
∴ B(0, 2 2) ，∴ L 6AB2 6 24 144 …………………（9 分） 当 BAC 90 时，在 ABE 中由射影定理得， OA2 OB OE ， ∴ 2a2 16 ，解得 a 2 2
∴ B(0, 4 2) ，∴ L 6AB2 6 48 288 综上所述， ABC 的方周长 L 的值为 144 或 288．………………………（10 分）
AC ∴ CF 0.90 AC 0.90 3.0 2.7 m 2.8 m…………………………7 分 ∴该货车不能进入地下停车场．……………………………………8 分
23．（9 分）解：（1）解法一：设李明骑车的时间为 x 分钟，步行的时间为 y 分钟，依题意得，
x y 18 300x 120 y 4500 …………………………………………（2 分）
∴ OD 2k 2 2
BC (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2 (1 k 2 )(x1 x2 )2 (1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2 (1 k 2 )(16k 2 16) 4(k 2 1) ……………………………………………5 分
，∴
C(4, 2a)
…………………………………（7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分）
由 A(4, 0) ， C(4, 2a) 可知， E 是 AC 的中点
又∵ BD CD ，
∴ AD 、 BE 都是 ABC 的中线
又∵ AOB 90 ，
∴ ABC 是中垂三角形．……………………………………………………（8 分）
②解法一：由 A(4, 0) ， B(0, 2a) ， C(4, 2a)
可得 kAB
1a 2
， kAC
1a 4
， kBC
a
∵ C AOB ，∴ C 90
当 ABC
90
时， kAB
kBC
1 a2 2
1 ，解得 a
2
∴ B(0, 2 2) ，∴ L 6AB2 6 24 144 …………………………………（9 分）
当 BAC
90
时， kAB
kAC
1a2 8
x y 18 300 120 …………………………………………………（2 分） x y 4500
解得，
x
y
3900 600
…………………………………………………（4
分）
答：李明上学时骑自行车的路程为 3900 米，步行的路程为 600 米。………（5 分）
（2）∵ 3900 600 600 600 11 10 21分钟，
∴P（A、B 至少有 1 人被选中） 14 7 ……………8 分 20 10
22．解：（1） 1 （或 0.5 、 0.50 ）…………2 分 2
（2）∵ sin E AB 0.45 ， AE
∴ AB 0.45 AE 4.5 m，……………4 分 ∴ AC AB BC 4.5 1.5 3.0 m ∴地下停车场的高度 AC 为 3.0 米．……………5 分 （3）过点 C 作 CF AE 于点 F ， ∵ BAE E 90 ， BAE ACF 90 ∴ ACF E 26.5 ………………………………………………6 分 ∵ cos ACF CF 0.90
②在 RT ABC 中， AB AC 2 BC 2 5 ，
∵ CDA BDC ， DCA B ， ∴ DCA∽DBC ， ∴ DC AC 3 ，…………………………………（7 分）
DB BC 4 ∵ CDE BDF ， DCE B ，
∴ DCE∽DBF ，
∴ EC DC 3 ，…………………………………（8 分） FB DB 4
4( AB2 DE 2 ) 4( AB2 1 AB2 ) 5AB2 4
L AB2 AC 2 BC 2 AB2 5AB2 6AB2 ………………………………………（6 分）
（3）①证明：在 y 3 ax2 1 ax 2a 中，当 x 0 时， y 2a ，∴ B(0, 2a)
∴ BAD ≌ ABE ∴ ABD BAE ∴ OA OB …………………………………………………（1 分） ∵ ABC 是中垂三角形，且 AC BC ∴ AOB 90 ……………………………………………（2 分） ∴ AOB 是等腰直角三角形．……………………………（3 分） （2）解： L 6AB2 ．……………………………………………（4 分） 证明：如图（2），连接 DE ， ∵ AE ， BD 分别是边 BC ， AC 上的中线， ∴ AC 2AD ， BC 2BE ， DE 1 AB ，
OB OD 2k 2 2 ∴无论 k 为何值，直线 l 总是与以 BC 为直径的圆相切；……………………6 分
（3）① PM PF …………………………………………7 分 理由如下：如图，设 P(m, 1 m2 ) 为抛物线 L 上任意一点，作 PM⊥直线 l 于 M， 4 由 y kx 1 可得 F (0,1)
设
EC
CF
x
，∴
4
x
x
3 4
，
解得 x 12 ．∴ CE 12 ．…………………………（9 分）
7
7
25．（1）证明：∵ AC BC ， BD 、 AE 分别是 AC 、 BC 边上的中线， ∴ AD BE ， BAD ABE 在 BAD 和 ABE 中
AD BE BAD ABE AB AB
麓山国际实验学校 2020 中考第二次模拟考试数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 A
D
C
C
D
C
A
B
C
B
A
B
二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
13． 2x(x 2)(x 2)
14． x 2
1 ，解得 a
2
2
∴ B(0, 4 2) ，∴ L 6AB2 6 48 288
综上所述， ABC 的方周长 L 的值为 144 或 288．………………………（10 分） 解法二：由 A(4, 0) ， B(0, 2a) ， C(4, 2a)
∵ D 是 BC 的中点， E 是 AC 的中点， ∴ D(2, 0) ， E(0, a) ∵ C AOB ，∴ C 90 当 ABC 90 时，在 ABD 中由射影定理得， OB2 OA OD ，
300
120
∴李明不能在 6：00 之前到家。…………………………………………………（6 分）
设李明要将骑自行车的速度提高到 a 米/分，依题意得，
10a 1200 4500 ，（或 3300 10 20 ）……………………………………（7 分） a
解得， a 330 ……………………………………………………………………（8 分）
26．（1）解：∵ y ax2 bx c(a 0) 的顶点为原点，∴ b c 0 ，
∴抛物线解析式为 y ax2 ，……………………………1 分
把点 A(2 a , 1) 代入得到 a 1 ，……………………2 分
4
4
∵ a 0 ，∴ a 1 ，∴抛物线解析式为 y 1 x2 ．……3 分
（2）解：①∵ DF 平分 BDC ， ∴ CDE FDB ∵ CEF ECD CDE ， CFE B FDB ，
又∵ ECD B ， ∴ CEF CFE ，…………………………………（4 分） ∵ ECF 90 ， ∴ CEF CFE 45 ，…………………………（5 分） ∴ tan CFE tan 45 1 ．…………………………（6 分）
20．解：原式
(a
1)(a a
1)
(a
a 1) 2
1 ………………………………2
分
a 1 1 …………………………………………………3 分 a 1
2 ……………………………………………………4 分 a 1
当 a 2 1时，原式 2 2 ……………………………6 分 2
21．解：（1）50，45………………………………………2 分 （2）补全直方图，如图………………………………3 分 （3）C，108……………………………………………5 分 （4）画树形图…………………………………………6 分
此时 QA QN QA QF1 AF1
(2 1)2 (1 1)2 5 ． 44
∴ QA QN 的最大值为 5 ，…………………………………………………9 分 4
此时 Q（ 6，4）．………………………………………………………………10 分
2 ∴ AC 2 4AD2 ， BC 2 4BE 2 ， DE 2 1 AB2 ，
4 在 RtAOD 中， AD2 OD2 OA2 ， 在 RtBOE 中， BE2 OB2 OE2 ，
∴ AC 2 BC 2 4(AD2 BE 2 ) 4(OA2 OD2 OB2 OE 2 ) ……………………………（5 分）