四川省渠县第三中学2024届中考押题数学预测卷含解析

四川省渠县第三中学2024届中考押题数学预测卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BC
，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
2．山西有着悠久的历史，远在100 多万年前就有古人类生息在这块土地上．春秋时期，山西大部分为晋国领地，故山西简称为“晋”，战国初韩、赵、魏三分晋，山西又有“三晋”之称，下面四个以“晋”字为原型的Logo 图案中，是轴对称图形的共有（）
A．B．C．D．
3．下列各组数中，互为相反数的是（）
A．﹣1与（﹣1）2B．（﹣1）2与1 C．2与1
2
D．2与|﹣2|
4．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
5．如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=70°,则∠1+∠2=()
A．70°B．110°C．130°D．140°
6．下列实数0，2
3
，3，π，其中，无理数共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为（）
A．205万B．4
20510
⨯C．6
2.0510
⨯D．7
2.0510
⨯
9．内角和为540°的多边形是（）
A．B．C．D．
10．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为（）
A．20 B．16 C．12 D．8
11．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）
A．20 B．30 C．40 D．50
12．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是( )
A．B．
C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
14．分式方程
21
54
x
=
-
的解是_____．
15．小青在八年级上学期的数学成绩如下表所示．
平时测验 期中考试 期末考试 成绩 86 90 81
如果学期总评成绩根据如图所示的权重计算，小青该学期的总评成绩是_____分．
16．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（10≤x ≤20且x 为整数）出售，可卖出（20﹣x ）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．
17．在实数范围内分解因式：226x =_________
18．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD ⊥AB 于点D ，点P 在线段DB 上，若AP 2-PB 2=48，则△PCD 的面积为____.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）问题探究
（1）如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1,连接AD 、BE,求AD BE
的值； （2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，过点A 作AM ⊥AB ，点P 是射线AM 上一动点，连接CP ，做CQ ⊥CP 交线段AB 于点Q ，连接PQ ，求PQ 的最小值；
（3）李师傅准备加工一个四边形零件，如图3，这个零件的示意图为四边形ABCD ，要求BC=4cm ，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD ，请你帮李师傅求出这个零件的对角线BD 的最大值．
图3
20．（6分）如图，已知正比例函数y=2x与反比例函数y=k
x
（k＞0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为4，
（1）求k的值；
（2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=k
x
（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、P、B、Q为顶点
组成的四边形面积为224，求点P的坐标．
21．（6分）计算：（﹣2）2+20180﹣36
22．（8分）已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．求证：△ABF≌△CDE；如图，若∠1=65°，求∠B的大小．
23．（8分）
315 211
x
x x
-
⎧
⎨
-+-
⎩
＜
（）＜
24．（10分）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF（EF=DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，桥DC和AB平行．
（1）求桥DC与直线AB的距离；
（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（以上两问中的结果均精确到0.1km ，参考数据：2≈1.14，3≈1.73）
25．（10分）如图，已知∠AOB 与点M 、N 求作一点P ，使点P 到边OA 、OB 的距离相等，且PM=PN （保留作图痕迹，不写作法）
26．（12分）如图,AB=16,O 为AB 中点,点C 在线段OB 上(不与点O,B 重合),将OC 绕点O 逆时针旋转 270°后得到扇形COD,AP,BQ 分别切优弧CD 于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连接OP.
求证：AP=BQ ；当BQ= 43,求QD 的长(结果保留 π)；若△APO 的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围.
27．（12分）先化简：2222421121
x x x x x x x ---÷+--+，然后在不等式2x ≤的非负整数解中选择一个适当的数代入求值.
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、B
【解题分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC 的度数，再由圆周角定理得出∠DCE 的度数，根据三角形外角的性质即可得
出结论．
【题目详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵DF BC
，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【题目点拨】
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
2、D
【解题分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【题目详解】
A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选D．
【题目点拨】
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3、A
【解题分析】
根据相反数的定义，对每个选项进行判断即可.
【题目详解】
解：A、（﹣1）2＝1，1与﹣1 互为相反数，正确；
B、（﹣1）2＝1，故错误；
C、2与1
2
互为倒数，故错误；
D、2＝|﹣2|，故错误；故选：A．
【题目点拨】
本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义.
4、A
【解题分析】
试题分析：根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
考点：直线与圆的位置关系．
5、D
【解题分析】
∵四边形ADA'E的内角和为（4-2）•180°=360°，而由折叠可知∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE，∠A=∠A'，
∴∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE=360°-∠A-∠A'
=360°-2×70°=220°，∴∠1+∠2=180°×2-（∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE）=140°．
6、B
【解题分析】
根据无理数的概念可判断出无理数的个数．
【题目详解】
，π.
故选B.
【题目点拨】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
7、A
【解题分析】
解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图．∵OC⊥AB，∴AC=BC=1
2
AB=
1
2
×8=1．在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC3
==，即圆心O到AB的距离为2．故选A．
8、C
【解题分析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
【题目详解】2 050 000将小数点向左移6位得到2.05，
所以2 050 000用科学记数法表示为：20.5×106，
故选C．
【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9、C
【解题分析】
试题分析：设它是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=140°，解得n=1．故选C．
考点：多边形内角与外角．
10、B
【解题分析】
首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；
【题目详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴OE=BC，
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握
三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
11、A
【解题分析】
分析：根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4,根据白球个数确定出总个数,进而确定出黑球个数n. 详解：根据题意得:
.n 0430n
=+ , 计算得出:n=20,
故选A.
点睛：根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 12、D
【解题分析】
根据邻补角的定义可知：只有D 图中的是邻补角，其它都不是．
故选D ．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、﹣1
【解题分析】
根据一元二次方程的解的定义把x ＝1代入x 1＋mx ＋1n ＝0得到4＋1m ＋1n ＝0得n ＋m ＝−1，然后利用整体代入的方法进行计算．
【题目详解】
∵1（n≠0）是关于x 的一元二次方程x 1＋mx ＋1n ＝0的一个根，
∴4＋1m ＋1n ＝0，
∴n ＋m ＝−1，
故答案为−1．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
14、x=13
【解题分析】
解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【题目详解】
2154
x =-， 去分母，可得x ﹣5=8，
解得x=13，
经检验：x=13是原方程的解．
【题目点拨】
本题主要考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应检验．
15、84.2
【解题分析】
小青该学期的总评成绩为:86×
10%+90×30%+81×60%=84.2（分）,故答案为: 84.2. 16、1
【解题分析】
本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【题目详解】
解：设利润为w 元，
则w ＝（20﹣x ）（x ﹣10）＝﹣（x ﹣1）2+25，
∵10≤x ≤20，
∴当x ＝1时，二次函数有最大值25，
故答案是：1．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
17、2（（．
【解题分析】
先提取公因式2后，再把剩下的式子写成x 2-2，符合平方差公式的特点，可以继续分解．
【题目详解】
2x 2-6=2（x 2-3）=2（（．
故答案为2（（）．
【题目点拨】
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
18、6
【解题分析】
根据等角对等边，可得AC=BC，由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=1
2
AB，利用直角三角形斜边的中线等于斜
边的一半，可得CD=1
2
AB，由AP2-PB2=48 ，利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD·PD=12,利用△PCD
的面积=1
2
CD·PD可得.
【题目详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠B=45°，
∴AC=BC，
∵CD⊥AB ，
∴AD=BD=CD=1
2 AB，
∵AP2-PB2=48 ，
∴(AP+PB)(AP-PB)=48，∴AB(AD+PD-BD+DP)=48, ∴AB·2PD=48，
∴2CD·2PD=48，
∴CD·PD=12，
∴△PCD的面积=1
2
CD·PD=6.
故答案为6.
【题目点拨】
此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）
2
;（2;（3.
【解题分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得，，∠ACB=∠DCE=45°，可证△ACD ∽△BCE ，可得
AD CD BE CE =
＝2
； （2）由题意可证点A ，点Q ，点C ，点P 四点共圆，可得∠QAC=∠QPC ，可证△ABC ∽△PQC ，可得
PQ QC AB BC
=，可得当QC ⊥AB 时，PQ 的值最小，即可求PQ 的最小值； （3）作∠DCE=∠ACB ，交射线DA 于点E ，取CE 中点F ，连接AC ，BE ，DF ，BF ，由题意可证△ABC ∽△DEC ，可得BC CE AC CD
=，且∠BCE=∠ACD ，可证△BCE ∽△ACD ，可得∠BEC=∠ADC=90°，由勾股定理可求CE ，DF ，BF 的长，由三角形三边关系可求BD 的最大值．
【题目详解】
（1）∵∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1，
∴，ACB=∠DCE=45°，
∴∠BCE=∠ACD ，
∵BC AC CE CD
∴BC CE AC CD
=，∠BCE=∠ACD ， ∴△ACD ∽△BCE ，
∴AD CD BE CE =； （2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，
∴AC=3，AB=2AC=3
， ∵∠QAP=∠QCP=90°，
∴点A ，点Q ，点C ，点P 四点共圆，
∴∠QAC=∠QPC ，且∠ACB=∠QCP=90°，
∴△ABC ∽△PQC ， ∴PQ QC AB BC
=，
∴PQ=AB BC ×QC ， ∴当QC 的长度最小时，PQ 的长度最小，
即当QC⊥AB时，PQ的值最小，
此时QC=2，PQ的最小值为43
3
；
（3）如图，作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，，
∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠CAD=45°，∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴BC CE AC CD
=，
∵∠DCE=∠ACB，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴CE=
2
2
2，
∵点F是EC中点，
∴DF=EF=1
2
2，
∴22
BE EF
+10，
∴102
【题目点拨】
本题是相似综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
20、（1）32；（2）x＜﹣4或0＜x＜4；（3）点P的坐标是P（﹣6565；或P（6565．【解题分析】
分析：（1）先将x=4代入正比例函数y=2x，可得出y=8，求得点A（4，8），再根据点A与B关于原点对称，得出B 点坐标，即可得出k的值；
（2）正比例函数的值小于反比例函数的值即正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，根据图形可知在交点的右边正比例函数的值小于反比例函数的值．
（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA 的面积就应该是四边形面积的四分之一即1．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出△POA的面积，由于△POA的面积为1，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．
详解：（1）∵点A在正比例函数y=2x上，
∴把x=4代入正比例函数y=2x，
解得y=8，∴点A（4，8），
把点A（4，8）代入反比例函数y=k
x
，得k=32，
（2）∵点A与B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣4，﹣8），
由交点坐标，根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围，x＜﹣8或0＜x＜8；（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S△POA=S平行四边形APBQ×=1
4
×224=1，
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），
得P（m，32
m
），
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，∵点P、A在双曲线上，
∴S△POE=S△AOF=16，
若0＜m＜4，如图，
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，
∴S梯形PEFA=S△POA=1．
∴1
2
（8+
32
m
）•（4﹣m）=1．
∴m1=﹣，m2=﹣7﹣，
∴P（﹣，；
若m＞4，如图，
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，
∴S梯形PEFA=S△POA=1．
∴1
2
×（8+32
m
）•（m﹣4）=1，
解得m1=7+37，m2=7﹣37（舍去），
∴P（7+37，﹣16+48
7
7
）．
∴点P的坐标是P（﹣7+37，16+48
7
7
）；或P（7+37，﹣16+
48
7
7
）．
点睛：本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=k
x
中k的几何意义．这里体现了数形
结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．利用数形结合的思想，求得三角形的面积．
21、﹣1
【解题分析】
分析：首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．
详解：原式=4+1-6=-1．
点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂计算公式和二次根式的性质．
22、（1）证明见解析；（2）50°．
【解题分析】
试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS 证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，
∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，
在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，
∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．
考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质．
23、﹣2＜x＜2．
【解题分析】
分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
【题目详解】
315211x x x -⎧⎨-+-⎩＜①
（）＜②
解①得：x ＜2
解②得：x ＞﹣2．
故不等式组的解集为：﹣2＜x ＜2．
【题目点拨】
本题主要考查了解一元一次不等式组，正确掌握不等式组的解法是解题的关键．
24、（1）桥DC 与直线AB 的距离是6.0km ；（2）现在从A 地到达B 地可比原来少走的路程是4.1km ．
【解题分析】
(1)过C 向AB 作垂线构建三角形，求出垂线段的长度即可；(2)过点D 向AB 作垂线，然后根据解三角形求出AD ，
CB 的长，进而求出现在从A 地到达B 地可比原来少走的路程.
【题目详解】
解：（1）作CH ⊥AB 于点H ，如图所示，
∵BC=12km ，∠B=30°， ∴1
62CH BC ==km ，BH=63，
即桥DC 与直线AB 的距离是6.0km ；
（2）作DM ⊥AB 于点M ，如图所示，
∵桥DC和AB平行，CH=6km，
∴DM=CH=6km，
∵∠DMA=90°，∠B=45°，MH=EF=DC，
∴AD=
6
==62
sin452
2
DM
km，AM=DM=6km，
∴现在从A地到达B地可比原来少走的路程是：（AD+DC+BC）﹣（AM+MH+BH）=AD+DC+BC﹣AM﹣MH﹣BH=AD+BC﹣AM﹣BH=62+12-6-63=6+62-63 4.1
≈km，
即现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．
【题目点拨】
做辅助线，构建直角三角形，根据边角关系解三角形，是解答本题的关键.
25、见解析
【解题分析】
作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，它们的交点即是要求作的点P.
【题目详解】
解：①作∠AOB的平分线OE，②作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P．
点P即为所求．
【题目点拨】
本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作法，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的的作图步骤是解答本题的关键.
26、（1）详见解析；（2）14
3
π；（3）4<OC<1.
【解题分析】
（1） 连接OQ ，由切线性质得∠APO=∠BQO=90°，由直角三角形判定HL 得Rt △APO ≌Rt △BQO ，再由全等三角形性质即可得证.
（2）由（1）中全等三角形性质得∠AOP=∠BOQ ，从而可得P 、O 、Q 三点共线，在Rt △BOQ 中，根据余弦定义可得cosB=QB OB
， 由特殊角的三角函数值可得∠B=30°，∠BOQ=60° ，根据直角三角形的性质得 OQ=4， 结合题意可得 ∠QOD 度数，由弧长公式即可求得答案.
（3）由直角三角形性质可得△APO 的外心是OA 的中点 ，结合题意可得OC 取值范围.
【题目详解】
（1）证明：连接OQ.
∵AP 、BQ 是⊙O 的切线，
∴OP ⊥AP ，OQ ⊥BQ ，
∴∠APO=∠BQO=90∘，
在Rt △APO 和Rt △BQO 中，
OP OQ OA OB =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △APO ≌Rt △BQO ，
∴AP=BQ.
（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ，
∴∠AOP=∠BOQ ，
∴P 、O 、Q 三点共线，
∵在Rt △BOQ 中,cosB=433QB OB == ∴∠B=30∘,∠BOQ= 60° ，
∴OQ=12
OB=4， ∵∠COD=90°，
∴∠QOD= 90°+ 60° = 150°，
∴优弧QD的长=210414 1803
π
π
⋅⋅
=，
（3）解：设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，
∵OA=1，
∴OM=4，
∴当△APO的外心在扇形COD的内部时，OM＜OC，
∴OC的取值范围为4＜OC＜1．
【题目点拨】
本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面积的计算、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理HL证出Rt△APO≌Rt△BQO；（2）通过解直角三角形求出圆的半径；（3）牢记直角三角形外心为斜边的中点是解题的关键．
27、
2
1
x+
；2.
【解题分析】
先将后面的两个式子进行因式分解并约分，然后计算减法，根据题意选择x=0代入化简后的式子即可得出答案. 【题目详解】
解：原式=
()
()()
()2
221 2
1112
x x
x
x x x x
--
-⋅
++--
=
()
21 2
11
x
x
x x
-
-
++
=
2
1 x+
2
x≤的非负整数解有：2,1,0,
其中当x取2或1时分母等于0，不符合条件，故x只能取0
∴将x=0代入得：原式=2
【题目点拨】
本题考查的是分式的化简求值，注意选择数时一定要考虑化简前的式子是否有意义.。