河南省平顶山市鲁山县第一高级中学2019-2020学年高二3月月考数学(理)试卷

理科数学试题
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为
A. 3 B．－ 3 C.
3
3D．－
3
3
2.已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3.给定下列命题：
①a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b；③a＞b⇒b
a<1；④a＞b⇒
1
a<
1
b.
其中正确的命题个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
4.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于
A．－1 B．0 C．1 D．2
5.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是
6.在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11等于
A．58 B．88 C．143 D．176
7.直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是
8.关于直线m，n与平面α，β，下列四个命题中真命题的序号是：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.
A．①②B．③④C．①④D．②③
9.设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 A ．k ≥34或k ≤－4 B ．－4≤k ≤34 C ．－3
4
≤k ≤4 D ．以上都不对
10. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于任意的]3,1[∈x ，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为
A ．(－∞，0] B.)75
,0[ C ．(－∞，0)∪)75,0( D.)7
5,
(-∞ 11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A = －
14，则
b
c
=
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
12.如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM →·AO →
等于
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
第II 卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知点A (m ，3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为_______；
14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
14613
a a a =
=，，则S 5=_______； 15.已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________；
16.已知三棱锥ABC P -的四个顶点在球O 的球面上，PC PB PA ==，△ABC 是边长 为2的正三角形，F E ,分别是AB PA ,的中点，ο90=∠CEF ，则球O 的体积为_______． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题10分）
已知AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，且AD →∥BC →. (1)求实数n 的值；
(2)若AC →⊥BD →
，求实数m 的值．
18.（本小题12分）
已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求l′的斜截式方程，使得：
(1)l′与l平行，且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形的面积为4.
19.（本小题12分）
记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=－a5．
(1)若a3=4，求{a n}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．
20.（本小题12分）
已知Rt△ABC的顶点A(－3,0)，直角顶点B(－1，－22)，顶点C在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边上的中线的方程．
21.（本小题12分）
ABC
△的内角C
B
A,
,的对边分别为c
b
a,
,，设
22
(sin sin)sin sin sin
B C A B C
-=-．
(1)求A；
(2)2
b c
+=，求C
sin．22.（本小题12分）
如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝
2
2AB，四边形ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，
F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)求证：平面DAC⊥平面EBC；
数学答案
一．选择题： ADACA BDDAD AB 二．填空题：
13.0或1 14.121
3
15.－23
三．简答题：
17.解 因为AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →
＝(1，n )， 所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝(3,3＋m ＋n )， (1)因为AD →∥BC →，所以AD →＝λBC →
，
即⎩⎨⎧
3＝3λ，
3＋m ＋n ＝λm ，
解得n ＝－3.
(2)因为AC →＝AB →＋BC →
＝(2,3＋m )， BD →＝BC →＋CD →
＝(4，m －3)， 又AC →⊥BD →， 所以AC →·BD →＝0，
即8＋(3＋m )(m －3)＝0，解得m ＝±1.
18.解 ∵直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0， ∴直线l 的斜率为－34
.
(1)∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－3
4.
∴直线l ′的方程为y －3＝－3
4(x ＋1)，
即y ＝－34x ＋9
4
(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝4
3
.
设l ′在y 轴上的截距为b ，则l ′在x 轴上的截距为－3
4b ，
由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪－34b ＝4，∴b ＝±46
3， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或y ＝43x －46
3.
19.解：（1）设
{}n a 的公差为d ． 由95S a =-得140a d +=．
由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．
因此
{}n a 的通项公式为102n a n =-．
（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2
n n n n d
a n d S -=-=.
由1
0a >知0d <，故n n S a …等价于211100n n -+…，解得1≤n ≤10．
所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟．
20.解 (1)∵Rt △ABC 的直角顶点B (－1，－22)， ∴AB ⊥BC ，故k AB ·k BC ＝－1. 又∵A (－3,0)，∴k AB ＝
0＋22－3－(－1)
＝－2，∴k BC ＝
2
2
， ∴直线BC 的方程为y ＋22＝2
2
(x ＋1)，即x －2y －3＝0. ∵点C 在x 轴上，
∴由y ＝0，得x ＝3，即C (3,0)． (2)由(1)得C (3,0)，∴AC 的中点为(0,0)，
∴斜边上的中线为直线OB (O 为坐标原点)，直线OB 的斜率k ＝22， ∴直线OB 的方程为y ＝22x .
21.（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．
（2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，
即
631cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()2cos 602
C ︒+=-．
由于0120C ︒︒<<，所以()2
sin
602
C ︒+=
，故
()sin sin 6060C C ︒
︒
=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒
︒
︒
︒
=+-+624
+=
．
22.(1)证明 连接AE .
∵四边形ADEB 为正方形， ∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， ∵G 是EC 的中点， ∴GF ∥AC .
又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .
(2)证明 ∵四边形ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB .
又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，BE ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，
∴BE ⊥AC .∵CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .
又∵BC ∩BE ＝B ，BC ，BE ⊂平面EBC ， ∴AC ⊥平面EBC . ∵AC ⊂平面DAC ∴平面DAC ⊥平面EBC。