北师版七年级上册数学习题课件第3章3.5探索与表达规律
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(1)第 5 个等式是___5_×1_6_＝__15_－__16_____； (2)若 n 是正整数，则第 n 个等式是__n_（__n_1＋__1_）__＝__n1_－__n__＋1__1__；
课堂导练
(3)计算：1×12＋2×13＋3×14＋4×15＋…＋2
1 021×2022.解：1×12＋213＋3×14＋4×15＋…＋2
课堂导练 2．(原创题)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
则2 022在第________行．
课堂导练
【点拨】因为442＝1 936，452＝2 025， 所以2 022在第45行．
【答案】45
课堂导练
3．阅读下列内容：1×12＝1－12，2×13＝12－13，3×14＝13－14，4×15＝ 14－15，…根据观察到的规律解决以下问题：
课后训练
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a 的代数式表示其结果．
解：根据规律得出结论： (10a＋5)2＝a·(a＋1)×100＋25＝100a(a＋1)＋25.
课后训练
(3)这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数 的平方，请写出1952的简便计算过程及结果． 解：结合(2)的规律可知： 1952＝19×20×100＋25＝38 025.
课后训练
(3)这样圈出的三个数的和可能是64吗？为什么？ 解：不可能是64.因为这样圈出的三个数的和是中间的数 的3倍，而64不能被3整除．
课后训练 10．用牙签按如图所示的方式摆图．
(1)根据上面的图形，填写下表：
图形编号 ① ② ③ ④ ⑤
牙签根数
3 9 18 30 45
课后训练 (2)第n个图形有多少根牙签？ 解：第 n 个图形有牙签 3×(1＋2＋3＋…＋n)＝3n（n2＋1）(根)．
【答案】C
课后训练
9．(教材P98想一想拓展)图①是生活中常见的月历，你对 它了解吗？先观察，再解答：
课后训练
(1)如图②是另一个月的月历，a表示该月中某一天，b，c，d 是该月中其他3天，则b，c，d与a的关系为：b＝________， c＝________，d＝________．(用含a的式子填空)
则第n个图案中的“ ”的个数是__3_n_＋__1____(用含有n的 代数式表示)．
课堂导练 6．(中考·重庆)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸
片组成的，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片， 第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张 黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图 中黑色正方形纸片的张数为( )
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1 见习题 2 45 3 见习题 4 图形问题 5 3n＋1
6B
7B
8C
9 见习题 10 见习题
11 见习题 12 见习题
课堂导练
1．数字变化规律的解题方法：先写出数字的_排__列__结__构_， 再分析各不同部分的_数__量__关__系____，找出各部分的特 征，写出规律．
课后训练 11．(2021·合肥 45 中月考)阅读下列材料：
1×2＝13×(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝13×(2×3×4－1×2×3)， 3×4＝13×(3×4×5－2×3×4)， 以上三个等式左右两边分别相加，可得：
1×2＋2×3＋3×4＝13×3×4×5＝20.
课后训练
读完以上材料，请你计算下列各题：
个图形中“ ”的个数，若第n个图形中的“○”的个数是 78，则n的值是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
课堂导练
【点拨】第1个图形中有1个“○ ”， 第2个图形中有3个“○”，3＝1＋2， 第3个图形中有6个“○ ”，6＝1＋2＋3， 第4个图形中有10个“○ ”，10＝1＋2＋3＋4， …
课后训练
【点拨】月历中的规律：横行相邻两数相差1；竖列相邻 两数相差7；从左上方到右下方斜向相邻两数相差8；从 右上方到左下方斜向相邻两数相差6. 【答案】 a－7；a＋1；a＋5
课后训练
(2)用一个长方形框圈出月历中的三个数(图②中的阴影)，如果 这三个数的和等于51，那么这三个数各是多少？
解：设中间的数为x， 则上面的数为x－7，下面的数为x＋7. 根据题意，得(x－7)＋x＋(x＋7)＝51，解得x＝17. 所以这三个数分别是10，17，24.
课后训练
12．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好 多地方都存在，观察下列等式： 152＝1×2×100＋25＝225， 252＝2×3×100＋25＝625， 352＝3×4×100＋25＝1 225，….
(1)根据上述等式反映出的规律填空： 952＝__9_×__1_0_×__1_0_0_＋__2_5__＝__9__0_2_5_____．
1 021×2
022
＝1－12＋12－13＋…＋2 0121－2 0122＝1－2 0122＝22 002212.
课堂导练
4．图形变化规律的解题方法：一种是数图形，先将 _图__形__问__题___转化为数字问题，再利用数字规律解决问题； 另一种是通过直观观察，从图形中直接寻找规律．
课堂导练 5．(中考·天水)观察如图所示的“蜂窝图”．
A．11 B．13 C．15 D．17
课堂导练
【点拨】仔细观察图形知道第①个图中有3张黑色正方形 纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，5＝3＋2×1第 ③个图中有7张黑色正方形纸片，7＝3＋2×2，由此得到 规律，从而求得第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为3＋ 2×5＝13. 【答案】B
课堂导练 *7.(中考·临沂)将一些相同的“ ”按如图所示摆放，观察每
课堂导练
第 n 个图形中有 1＋2＋3＋…＋n＝n（n2＋1）(个)“○”． 因为第 n 个图形中“○”的个数是 78，所以 78＝n（n2＋1）. 由选项验证知 n＝12.
【答案】B
课堂导练 *8.用正三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼
图案，即从第2个图案开始，每个图案中正三角形的 个数都比上一个图案中正三角形的个数多4，则第n个 图案中正三角形的个数为( )
A．2n－1 B．3n－2 C．4n＋2 D．4n－2
课堂导练
【点拨】第1个图案中正三角形的个数为6＝2＋4， 第2个图案中正三角形的个数为10＝2＋4＋4＝2＋2×4， 第3个图案中正三角形的个数为14＝2＋2×4＋4＝2＋3×4， … 所以第n个图案中正三角形的个数为2＋(n－1)×4＋4＝4n＋2.
(1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)；
解
：
1×2
＋
2×3
＋
3×4
＋
…
＋
10×11
＝
1 3
×(1×2×3
－
0×1×2)
＋
1 3
×(2×3×4 － 1×2×3)＋ … ＋ 13 ×(10×11×12 － 9×10×11) ＝ 13 ×10×11×12
＝440.
课后训练
(2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1) ＝__13_n_(n_＋__1_)_(_n_＋__2_)_(n为正整数)．
课堂导练
(3)计算：1×12＋2×13＋3×14＋4×15＋…＋2
1 021×2022.解：1×12＋213＋3×14＋4×15＋…＋2
课堂导练 2．(原创题)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
则2 022在第________行．
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【点拨】因为442＝1 936，452＝2 025， 所以2 022在第45行．
【答案】45
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3．阅读下列内容：1×12＝1－12，2×13＝12－13，3×14＝13－14，4×15＝ 14－15，…根据观察到的规律解决以下问题：
课后训练
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a 的代数式表示其结果．
解：根据规律得出结论： (10a＋5)2＝a·(a＋1)×100＋25＝100a(a＋1)＋25.
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(3)这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数 的平方，请写出1952的简便计算过程及结果． 解：结合(2)的规律可知： 1952＝19×20×100＋25＝38 025.
课后训练
(3)这样圈出的三个数的和可能是64吗？为什么？ 解：不可能是64.因为这样圈出的三个数的和是中间的数 的3倍，而64不能被3整除．
课后训练 10．用牙签按如图所示的方式摆图．
(1)根据上面的图形，填写下表：
图形编号 ① ② ③ ④ ⑤
牙签根数
3 9 18 30 45
课后训练 (2)第n个图形有多少根牙签？ 解：第 n 个图形有牙签 3×(1＋2＋3＋…＋n)＝3n（n2＋1）(根)．
【答案】C
课后训练
9．(教材P98想一想拓展)图①是生活中常见的月历，你对 它了解吗？先观察，再解答：
课后训练
(1)如图②是另一个月的月历，a表示该月中某一天，b，c，d 是该月中其他3天，则b，c，d与a的关系为：b＝________， c＝________，d＝________．(用含a的式子填空)
则第n个图案中的“ ”的个数是__3_n_＋__1____(用含有n的 代数式表示)．
课堂导练 6．(中考·重庆)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸
片组成的，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片， 第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张 黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图 中黑色正方形纸片的张数为( )
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1 见习题 2 45 3 见习题 4 图形问题 5 3n＋1
6B
7B
8C
9 见习题 10 见习题
11 见习题 12 见习题
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1．数字变化规律的解题方法：先写出数字的_排__列__结__构_， 再分析各不同部分的_数__量__关__系____，找出各部分的特 征，写出规律．
课后训练 11．(2021·合肥 45 中月考)阅读下列材料：
1×2＝13×(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝13×(2×3×4－1×2×3)， 3×4＝13×(3×4×5－2×3×4)， 以上三个等式左右两边分别相加，可得：
1×2＋2×3＋3×4＝13×3×4×5＝20.
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读完以上材料，请你计算下列各题：
个图形中“ ”的个数，若第n个图形中的“○”的个数是 78，则n的值是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
课堂导练
【点拨】第1个图形中有1个“○ ”， 第2个图形中有3个“○”，3＝1＋2， 第3个图形中有6个“○ ”，6＝1＋2＋3， 第4个图形中有10个“○ ”，10＝1＋2＋3＋4， …
课后训练
【点拨】月历中的规律：横行相邻两数相差1；竖列相邻 两数相差7；从左上方到右下方斜向相邻两数相差8；从 右上方到左下方斜向相邻两数相差6. 【答案】 a－7；a＋1；a＋5
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(2)用一个长方形框圈出月历中的三个数(图②中的阴影)，如果 这三个数的和等于51，那么这三个数各是多少？
解：设中间的数为x， 则上面的数为x－7，下面的数为x＋7. 根据题意，得(x－7)＋x＋(x＋7)＝51，解得x＝17. 所以这三个数分别是10，17，24.
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12．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好 多地方都存在，观察下列等式： 152＝1×2×100＋25＝225， 252＝2×3×100＋25＝625， 352＝3×4×100＋25＝1 225，….
(1)根据上述等式反映出的规律填空： 952＝__9_×__1_0_×__1_0_0_＋__2_5__＝__9__0_2_5_____．
1 021×2
022
＝1－12＋12－13＋…＋2 0121－2 0122＝1－2 0122＝22 002212.
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4．图形变化规律的解题方法：一种是数图形，先将 _图__形__问__题___转化为数字问题，再利用数字规律解决问题； 另一种是通过直观观察，从图形中直接寻找规律．
课堂导练 5．(中考·天水)观察如图所示的“蜂窝图”．
A．11 B．13 C．15 D．17
课堂导练
【点拨】仔细观察图形知道第①个图中有3张黑色正方形 纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，5＝3＋2×1第 ③个图中有7张黑色正方形纸片，7＝3＋2×2，由此得到 规律，从而求得第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为3＋ 2×5＝13. 【答案】B
课堂导练 *7.(中考·临沂)将一些相同的“ ”按如图所示摆放，观察每
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第 n 个图形中有 1＋2＋3＋…＋n＝n（n2＋1）(个)“○”． 因为第 n 个图形中“○”的个数是 78，所以 78＝n（n2＋1）. 由选项验证知 n＝12.
【答案】B
课堂导练 *8.用正三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼
图案，即从第2个图案开始，每个图案中正三角形的 个数都比上一个图案中正三角形的个数多4，则第n个 图案中正三角形的个数为( )
A．2n－1 B．3n－2 C．4n＋2 D．4n－2
课堂导练
【点拨】第1个图案中正三角形的个数为6＝2＋4， 第2个图案中正三角形的个数为10＝2＋4＋4＝2＋2×4， 第3个图案中正三角形的个数为14＝2＋2×4＋4＝2＋3×4， … 所以第n个图案中正三角形的个数为2＋(n－1)×4＋4＝4n＋2.
(1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)；
解
：
1×2
＋
2×3
＋
3×4
＋
…
＋
10×11
＝
1 3
×(1×2×3
－
0×1×2)
＋
1 3
×(2×3×4 － 1×2×3)＋ … ＋ 13 ×(10×11×12 － 9×10×11) ＝ 13 ×10×11×12
＝440.
课后训练
(2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1) ＝__13_n_(n_＋__1_)_(_n_＋__2_)_(n为正整数)．