山东省冠县武训高中2011下学期模块考试数学理科试题

注意事项：
1. 本试题共分三大题，全卷共150分。

考试时间为120分钟。

2．第I 卷必须使用2B 铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。

3. 第II 卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效。

作图时，可用2B 铅笔，要求字体工整、笔迹清晰。

第I 卷（共60分）
一、 选择题 (本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，
只有一项符合题目要求.) 1．已知复数12,3i
z i i
+=
-是虚数单位，则复数z 的虚部是 A 、 110i B 、110 C 、 7
10
i D 、710
2．若()()0, 1, 1, 1, 1, 0a b =-=，且()
a b a λ+⊥，则实数λ的值是 A . -1 B . 0 C . 1 D . -2
3．曲线x x y 43
-=在点（1，-3）处的切线倾斜角为（ ） A
43π B 4
π
C 32π
D 65π 4．如图，把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是
A. 27
B. 28
C. 29
D. 30 5．“1
4
m <
”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充要条件 B. 充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件
6．在棱长为1的正方体ABCD —1111A B C D 中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 A ．5
2 B ．
5
3 C ．
1010 D ． 5
2-
7．3
2
()32f x ax x =++,若'
(1)4f -=,则a 的值等于
A ．
319 B ．316 C ．313 D ．3
10 8．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O P 、两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是
9．如图所示曲线是函数32
y x bx cx d =+++的大致图象，
则22
12x x +等于
A.
109 B. 89 C. 169 D. 53
10．函数1
2)(+⋅=x e x x f ,[]1,2-∈x 的最大值为
A.14e -
B.0
C. 2e
D. 23e
11．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x 是()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是 A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f D ．0
(3)
(2)
(2)
(3)f f f f
12．若函数)(x f 的导数是)1()(+-='x x x f ，则函数)0)(1()(<-=a ax f x g 的单调减区间是 A ⎪⎭⎫
⎝⎛0,1a B ()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,01,a C ⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 1,2 D ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,12,a a
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分,请将答案填在答题纸上) 13．函数)0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是
14．
2
20
(3)10,x k dx k +==⎰
则 ．
15．21
()ln(2)2
f x x b x =-++在(1,
)上是减函数，则b 的取值范围是
_____________
16．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,
0)
()(2
>-'x x f x f x (0)x >,则不等式
()0xf x >的解集是 .
三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知函数()f x x ax bx 3
2
=+++1的导数'()f x 满足()f a '1=2，()f b '2=-，其中 常数,a b ∈R ，求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程.
18. （本小题满分12分）
已知0a b >>，证明：2
2
()()4a b a b b
--<.
19. （本小题满分12分）
如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，
22==AD AB ，3=BD ，PD ⊥底面ABCD .
(1)证明：平面⊥PBC 平面PBD ； (2)若二面角D BC P --为6
π
，求AP 与平面PBC 所成角的
正弦值。

20. （本小题满分12分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3
1
3812800080
y x x (0x ≤120).已知甲、乙两
地相距100千米。

（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
21. （本小题满分12分） 当*n
N 时，111
11
1234
212n S n n
=-+-+
+
-
-，1111
.1232n T n n n n
=++++
+++ (I)求1212,,,S S T T ;
(II)猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.
22. （本小题满分14分） 已知函数2
1()3(1)ln 2
f x x x a x =
-+-，()g x ax =，()()()3h x f x g x x =-+，其中a ∈R 且1a >.
（I ）求函数()f x 的导函数()f x '的最小值； （II ）当3a =时，求函数()h x 的单调区间及极值； （III ）若对任意的1212,(0,), x x x x ∈+∞≠，函数()h x 满足1212
()()
1h x h x x x ->--，求实数a
的取值范围.
2011-2012学年度高二年级下学期模块笔试（学段调研）
数学试题参考答案
一、选择题
D D A B B A D C C C B A 二、填空题
13．(,)e
1+∞; 14.1 ; 15. (,]-∞-1; 16. (,)
(,)-101+∞.
三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18.证明：因为0a b >>，要证2
2
()()4a b a b b
-<，
2a b b
<
. 即证()()12()2()2a b a b a b
b a b b a b b
-++<
==
--. 即证21a b <+1a
b
<. 由已知，1a
b
<
显然成立. 故2
2
()()4a b a b b
-<成立.
20. 解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了
5.240
100
=小时, 要耗油(
)(5.175.284080
3
4012800013升）=⨯+⨯-⨯.
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. (2)当速度为x 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了
,100
小时x
设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(
880312800013+-x x )·)1200(4
15
800128011002＜＜x x x x -+=,
h '(x)=2
3
3264080800640x
x x x -=- 其中0＜x ≤120 令h '(x)=0，得x=80.
当x ∈(0,80)时，h '(x)＜0,h(x)是减函数;
当x ∈(80,120)时，h '(x)＞0,h(x)是增函数. ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少， 最少为11.25升.
22. 解：（I ）11
()33a a f x x x x x
--'=-+=+-，其中0x >. 因为1a >，所以10a ->，又0x >，所以1
3213a x a x
-+--≥， 当且仅当1x a =
-213a -. ……………………………4分
（II ）当3a =时，21()2ln 32h x x x x =
+-，2(1)(2)
()3x x h x x x x
--'=+-=
. ………………………………………………………..6分 ,(),()x h x h x '的变化如下表：
x
(0, 1) 1
(1, 2)
2
(2, +)∞
()h x '
+
-
+
()h x
5
2
-
2ln 24-
所以，函数()h x 的单调增区间是(0, 1)，(2, +)∞；单调减区间是(1, 2). ……………………………………………………………….8分 函数()h x 在1x =处取得极大值5
2
-
，在2x =处取得极小值2ln 24-. ……………………………………………………………….10分 （III ）由题意，2
1()(1)ln (1)2
h x x a x ax a =+-->. 不妨设12x x <，则由1212
()()
1h x h x x x ->--得1122()()h x x h x x +<+. ……………12分
令2
1()()(1)ln 2
F x h x x x a x ax x =+=
+--+，则函数()F x 在(0,)+∞单调递增.
21(1)1
()(1)0a x a x a F x x a x x ---+-'=--+=≥在(0,)+∞恒成立.
即2
()(1)1
0G x x a x a =--+-≥在(0,)+∞恒成立. 因为1
(0)10,
02
a G a -=->>，因此，只需2(1)4(1)0a a ∆=---≤. 解得15a <≤.
故所求实数a 的取值范围为15a <≤.。