[高一数学]正弦定理和余弦定理习题课PPT课件

x，
sin3
AB＝sBinCA·sin C＝4sin23π－x，x<23π， ∴y＝AB＋BC＋AC
＝4sin23π－x＋2 3＋4sin x
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＝2 3cos x＋6sin x＋2 3
＝4 3sinx＋6π＋2 3，
其定义域为x0<x<23π
.
(2)由(1)得 y＝4 3sinx＋π6＋2 3，
8
[解析] 由正弦定理可得sin1650°＝si1n0B，∴sinB＝ 33，
又因为
b<a，所以
B<A，故
B
为锐角，cosB＝
6 3.
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3．已知△ABC 中，b＝2，c＝ 3，三角形面积 S＝32，
则角 A 等于( )
A．30°
B．60°
C．30°或 150°
D．60°或 120°
∵0<x<23π，
∴π6<x＋6π<56π，
∴当 x＋6π＝π2，即 x＝π3时，y 取得最大值为 6 3.
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6．在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，
c.已知 c＝2，C＝3π.
(1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b；
(2)若 sin B＝2sin A，求△ABC 的面积． 解析： (1)∵S＝12absin C＝12ab·23＝ 3，
• 正弦定理和余弦定理 • 复习课
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• 基础自测
• 1．(2010·湖北理)在ΔABC中，a＝15，b＝ 10，A＝60°，则cosB＝( )
A．－2 3 2
C．－
6 3
22 B. 3
6 D. 3
• [答案] D
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规范解答
解 方法一 由ba＝ccooss BA，得 acos A＝bcos B，
∴a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2，
[3 分]
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
[8 分]
∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴ab＝4.①
∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－2abcos C
＝(a＋b)2－12＝4.
∴a＋b＝4.②
由①②可得 a＝2，b＝2.
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(2)∵sin B＝2sin A，∴b＝2a.
又∵c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－3ab＝4.
∴a＝2 3
3，b＝4
5
5 .
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法二：∵A(3,4)，B(0,0)，∴|AB|＝5. 当 c＝5 时，|BC|＝5. |AC|＝ 5－32＋0－42＝2 5. 由余弦定理得 cosA＝|AB|2＋2|A|ABC||A|2－C||BC|2＝ 55，
sinA＝ 1－cos2A＝
1－
552＝2
5
5 .
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(2)∵A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)， ∴|AC|2＝(c－3)2＋42，|BC|2＝c2. 由余弦定理得 cosA＝|AB|2＋2|A|ABC||A|2－C||BC|2. ∵∠A 为钝角，∴cosA<0， 即|AB|2＋|AC|2－|BC|2<0. ∴52＋(c－3)2＋42－c2＝50－6c<0.∴c>235.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． [12 分]
批阅笔记 (1)利用正弦、余弦定理判断三角形
形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为
纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，
再判断．
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•3．已知△ABC顶点的直角坐标为A(3,4)， B(0,0)，C(c,0)．
•(1)若c＝5，求sinA的值；
3
3 .
∴S＝12absin
C＝2
3
3 .
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• 5．(2011·南京模拟)如图，测量河对岸的 塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面 内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°， ∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔 顶A的仰角为60°，则塔高AB＝
________m.
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∴a＝b 或 a2＋b2＝c2，
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．[12 分]
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方法二 由ab＝ccooss BA，得ssiinn AB＝ccooss BA，
[3 分]
∴sin Acos A＝cos Bsin B，∴sin 2A＝sin 2B.[5 分]
∵A、B 为△ABC 的内角，∴2A＝2B 或 2A＝π－2B， ∴A＝B 或 A＋B＝π2.
解析：在△ABC 中，A＋C＝2B，∴B＝60°. 又∵sinA＝asibnB＝12，∴A＝30°或 150°(舍)， ∴C＝90°，即 sinC＝1.
•答案：1
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例 1 (1)[2011·北京卷] 在△ABC 中，若 b＝5，∠B＝π4，sinA
＝13，则 a＝________. (2)[2011·四 川 卷 ] 在 △ ABC 中 ， sin2A≤sin2B ＋ sin2C －
[解析] (1)由 sinA＋cosA＝ 2sinA＋4π＝ 2得 sinA＋π4＝1，由此及 0<A<π， 即4π<A＋4π<54π，得 A＋π4＝π2，
故
A＝4π，sinA＝
2 2.
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(2)由 S＝12bcsinA＝342c＝3 得 c＝2 2， 由此及余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA ＝9＋8－2×3×2 2× 22＝5， 故 a＝ 5，即 BC＝ 5.
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(2009·天津高考)在△ABC 中，BC＝ 5，AC＝3，sinC ＝2sinA.
(1)求 AB 的值； (2)求 sin(2A－π4)的值．
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•【思路导引】 (1)由正弦定理可求AB；(2)由 余弦定理求cosA，进而求结论．
【解析】 (1)在△ABC 中，根据正弦定理，
•(2)若∠A为钝角，求c的取值范围．
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解析：(1)法一：∵A(3,4)，B(0,0)，∴|AB|＝5.
又∵C(c,0)，∴sinB＝45.
当 c＝5 时，|BC|＝5，
|AC|＝ 5－32＋0－42＝2 5.
由正弦定理得s|BinCA|＝s|AinCB|.
∴sinA＝||BACC||sinB＝2
角 A 的取值范围为0，π3，选择 C.
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5．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 c＝ 2，b＝ 6，B＝120°，则 a＝________
[解析] 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos120°， 即 6＝a2＋2－2a· 2·－12⇒a＝ 2或 a＝－2 2(舍去)．
(1)求角 A 的值；
(2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
解 (1)由 2cos2A2＋cos A＝0，得 1＋cos A＋cos A＝ 0，即 cos A＝－12. ∵0<A<π，∴A＝23π.
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(2)由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝23π，
则 a2＝(b＋c)2－bc，又 a＝2 3，b＋c＝4，
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在△ABC 中，已知内角∠A＝π3，边 BC＝2 3，设内角 ∠B＝x，周长为 y.
(1)求函数 y＝f(x)的解析式和定义域； (2)求 y 的最大值．
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解析： (1)在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝π. 由正弦定理得：
AC＝sBinCA·sin B＝2
3 πsin
x＝4sin
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题型二 利用余弦定理求解三角形 例 2 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、
C 的对边，且ccooss BC＝－2ab＋c. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．
思维启迪 由ccooss CB＝－2ab＋c，利用余弦定理转化 为边的关系求解．
[答案] 15 6
[解析] 由已知可得∠DBC＝135°， 在△DBC 中，由正弦定理可得siBn3C0°＝sinC1D35°， BC＝CsDins1in3350°°＝30s×in1si3n53°0°＝15 2， ∴AB＝BCtan60°＝15 2× 3＝15 6.
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6．在△ABC 中，已知 AC＝3，sinA＋cosA＝ 2. (1)求 sinA 的值； (2)若△ABC 的面积 S＝3，求 BC 的值．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝3π，求△ABC的面积．
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解析： (1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B， 即 a·2aR＝b·2bR，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， ∴a＝b.∴△ABC 为等腰三角形． (2)由题意可知 m·p＝0， 即 a(b－2)＋b(a－2)＝0. ∴a＋b＝ab. 由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4 或 ab＝－1(舍去)． ∴S＝12absin C＝12·4·sin 3π＝ 3.
所以
sin(2A－π4)＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝
2 10 .
•【方法探究】 (1)正弦、余弦定理是处理三 角形有关问题的有力工具，有时还要结合三角 形的其他性质来处理，如大角对大边，三角形 内角和定理等．
•(2)正弦定理中的比值2R在解题中常用．
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变式训练 2 已知 A、B、C 为△ABC 的三个内 角，其所对的边分别为 a、b、c，且 2cos2A2＋ cos A＝0.
由余弦定理知：a＝ b2＋c2－2bccosA＝ 13，
再由正弦定理 2R＝sianA＝
13＝2 3
39 3.
2
即△ABC
外接圆的直径是2
39 3.
[答案]
2 39 3
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已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设 向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
解析：由 S＝12bcsinA 可得 sinA＝ 23， ∴A＝60°或 120°.
•答案：D
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5．(2010·广东高考)已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个 内角 A，B，C 所对的边．若 a＝1，b＝ 3，A＋C＝2B，则 sinC＝_____.
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• [例2] 在△ABC中，A＝60°，b＝1，其 面积为，则△ABC外接圆的直径是 ________．
• [分析] 三角形外接圆直径是和正弦定理 联系在一起的，已经知道了A＝60°，只 要再能求出边a，问题就解决了，结合已 知条件求边a是解决问题的关键．
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[解析] 由题意知，S△ABC＝12bcsinA，所以 c＝4.
sAinBC＝sBinCA.
于是 AB＝ssiinnCABC＝2BC＝2 5.
(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得
cosA＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝2
5
5 .
于是 sinA＝
1－cos2A＝
5 5.
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从而 sin2A＝2sinAcosA＝45， cos2A＝cos2A－sin2A＝35.
有 12＝42－bc，则 bc＝4， 故 S△ABC＝21bcsin A＝ 3.
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易错警示 8．代数化简或三角运算不当致误
试题：(12 分)在△ABC 中，已知 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若ab＝ccooss BA，试确定△ABC 的 形状．
审题视角 判断三角形的形状可以根据边的关系判 断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两 种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边； 二、根据正弦定理，进行边化角．
2010湖北理在abc中a15b10a60则cosb解析由正弦定理可得15sin6010sinbsinb又因为bcb角a为最大角由余弦定理有cosa202124在abc中a60b1其面积为则abc外接圆的直径是分析三角形外接圆直径是和正弦定理联系在一起的已经知道了a60只要再能求出边a问题就解决了结合已知条件求边a是解决问题的关键
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• 9 已知在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5， 求三角形中的最大角及角C的正弦值．
• [解析] ∵a>c>b，∴角A为最大角，
由余弦定理有 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－12，
∴A＝120°，∴sinA＝ 23，
再根据正弦定理，有sianA＝sincC，
∴sinC＝acsinA＝57× 23＝5143.
sinBsinC，则 A 的取值范围是( )
A.0，π6 C.0，π3
B.π6，π D.π3，π
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(2)C【解析】源自(1)由正弦定理有：sinaA＝sinbB，即a1＝
5， 2
32
得
a＝5
3
2 .
(2)根据正弦定理有 a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知 a2＝b2＋c2
－2bccosA，所以 b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，即有 cosA≥12，所以