2021版新高考数学人教B版一轮核心素养测评 六 指数与指数函数

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核心素养测评六
指数与指数函数
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.函数f(x)=的值域是 ( )
A.(-2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-∞,-2)
【解析】选B.令u=2x-1,则u>-1,且u≠0,y=,则y<-2或y>0.
2.(2019·文昌模拟)已知a=0.24,b=0.32,c=0.43,则 ( )
A.b<a<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.a<b<c
【解析】选B.因为a=0.24=0.001 6,b=0.32=0.09,c=0.43=0.064,所以
b>c>a.
3.(2019·太原模拟)函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0
D.0<a<1,b<0
【解析】选D.由题干图象知f(x)是减函数,
所以0<a<1,
又由图象在y轴上的截距小于1可知a-b<1,即-b>0,所以b<0.
4.(2020·北京模拟)若e a+πb≥e-b+π-a,则有( )
A.a+b≤0
B.a-b≥0
C.a-b≤0
D.a+b≥0
【解析】选D.令f(x)=e x-π-x,则f(x)在R上单调递增,又e a+πb≥
e-b+π-a,所以e a-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.
5.(2019·十堰模拟)定义在[-7,7]上的奇函数f(x),当0<x≤7
时,f(x)=2x+x-6,则不等式f(x)>0的解集为世纪金榜导学号( ) A.(2,7] B.(-2,0)∪(2,7]
C.(-2,0)∪(2,+∞)
D.[-7,-2)∪(2,7]
【解析】选B.当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,
所以f(x)在(0,7]上单调递增,
因为f(2)=22+2-6=0,所以当0<x≤7时,
f(x)>0等价于f(x)>f(2),即2<x≤7,
因为f(x)是定义在[-7,7]上的奇函数,所以-7≤x<0时,f(x)在[-7,0)上单调递增,且f(-2)=-f(2)=0,所以f(x)>0等价于f(x)>f(-2),即-2<x<0,所以不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,7].
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.指数函数y=f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=________. 【解析】设f(x)=a x(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=a m=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.
★★答案★★:
7.若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为________,f(x)的值域为________. 世纪金榜导学号
【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,
所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,
f(x)==1-.
因为2x+1>1,所以0<<2,
所以-1<1-<1,
所以f(x)的值域为(-1,1).
★★答案★★:1 (-1,1)
8.给出下列结论: 世纪金榜导学号
①当a<0时,(a2=a3;
②=|a|(n>1,n∈N*,n为偶数);
③函数f(x)=(x-2-(3x-7)0的定义域是;
④若2x=16,3y=,则x+y=7.
其中正确结论的序号有________.
【解析】因为a<0时,(a2>0,a3<0,所以①错;②显然正确;解
,
得x≥2且x≠,所以③正确;
因为2x=16,所以x=4,
因为3y==3-3,所以y=-3,
所以x+y=4+(-3)=1,所以④错.
故②③正确.
★★答案★★:②③
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b 的值.
【解析】①当a>1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为增函数,由题意得
无解.
②当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为减函数,由题意得
解得
所以a+b=-.
10.已知定义在R上的函数f(x)=2x-.
(1)若f(x)=,求x的值.
(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)当x<0时,f(x)=0,无解;
当x≥0时,f(x)=2x-,
由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,
将上式看成关于2x的一元二次方程,
解得2x=2或2x=-,因为2x>0,所以x=1.
(2)当t∈[1,2]时,2t+
m≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1),
因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1),
因为t∈[1,2],所以-(22t+1)∈[-17,-5],故实数m的取值范围是[-5,+∞).
(15分钟35分)
1.(5分)(2020·太原模拟)已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是( )
A.c<a<b
B.b<a<c
C.a<c<b
D.a<b<c
【解析】选B.把b化简为b=,而函数y=在R上为减函数,又>>,所以<<,即b<a<c.
2.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )
A.a<0,b<0,c<0
B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c
D.2a+2c<2
【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.
因为a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知0<f(a)<1,a<0,c>0,b<1,
所以0<2a<1,2-a>1,
所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,
所以f(c)<1,所以0<c<1,
所以1<2c<2,所以f(c)=|2c-1|=2c-1,
又因为f(a)>f(c),
所以1-2a>2c-1,
所以2a+2c<2.
【变式备选】
(2020·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.[-2,+∞)
D.(-∞,-2]
【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即
f(x)=.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.
3.(5分)(2020·北京模拟)某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为M(t)=ar t+24(a,r为常数).在t=0 min和t=1 min时测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L,那么在t=4 min时,该物质的浓度为____________mg/L;若该物质的浓度小于2
4.001 mg/L,则最小的整数的值为________.
【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24=64,
所以a=100,r=,所以M(t)=100+24;
所以M(4)=100+24=26.56;
由100+24<24.001得:<(0.1)5;
所以lg<lg(0.1)5;
所以tlg<-5;所以t[lg 2-(1-lg 2)]<-5;
所以t(2lg 2-1)<-5,代入lg 2≈0.301得:
-0.398t<-5;
解得t>12.6;所以最小的整数t的值是13.
★★答案★★:26.56 13
【变式备选】
已知a-=3(a>0),求a2+a+a-2+a-1的值.
【解析】因为a-=3,
所以a2+=+2·a·=9+2=11,而=a2++2=13,所以
a+=,所以a2+a+a-2+a-1=11+.
4.(10分)已知函数y=a+b的图象过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交. 世纪金榜导学号
(1)求该函数的解析式，并画出图象.
(2)判断该函数的奇偶性和单调性.
【解析】(1)因为函数y=a+b的图象过原点，所以0=a+b，即a+b=0，所以b=-a.函数y=a-a=a.
又0<≤1，-1<-1≤0.
且y=a+b无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，所以a<0且0≤a<-a，所以-a=2，函数y=-2+2.用描点法画出函数的图象，如图.
(2)显然函数的定义域为R.
令y=f(x)，则f(-x)=-2+2
=-2+2=f(x)，所以f(x)为偶函数.
当x>0时，y=-2+2=-2+2为单调增函数.当x<0时，
y=-2+2=-2+2为单调减函数.
所以y=-2+2在(-∞，0)上为减函数，在(0，+∞)上为增函数.
5.(10分)已知函数f(x)=. 世纪金榜导学号
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,
令g(x)=-x2-4x+3,
由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-
∞,-2].
(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.
(3)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由指数函数的性质知要使
f(x)=的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此
只能a=0(因为若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0,+∞)时,a的值为0.
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